1、2016 届北京市海淀区重点中学高三上学期 10 月月考数学试卷（理科） （解析版）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1设集合 M=x|x2+x60，N=x|1x3，则 MN=（ ）A1，2） B1，2 C （2，3 D2，32 “x2 ”是“x 24”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3设集合 A=x|1x2，B=y|1y4，则下述对应法则 f 中，不能构成 A 到 B 的映射的是（ ）Af：x y=x2 Bf：xy=3x2 Cf：xy=x+4 Df ：xy=4 x24下列各图形中，不可能是某函数 y=f（x）的图象的是（
2、 ）A B C D5若函数 f（x）=x 2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f（x）的图象是（ ）A B C D6函数 f（x）=x 33x2+1 是减函数的区间为（ ）A （2，+） B （ ，2） C （ ，0） D （0，2）7若 f（10 x）=x，则 f（3）的值为（ ）Alog 310 Blg3 C10 3 D3 108已知定义在 R 上的偶函数 f（x） ，满足 f（x）= f（4 x） ，且当 x2，4）时，f（x）=log 2（x 1） ，则 f的值为（ ）A2 B1 C1 D2二、填空题9函数 f（x）=x 33x2+7 的极大值是 10幂函数 y=f（x）的图
3、象经过点（2， ） ，则满足 f（ x）=27 的 x 值是 11函数 f（x）=x 3+ax2+3x9，已知 f（x）在 x=3 时取得极值，则 a 等于 12若函数 y=x2+（2a1）x+ 1 在区间（ ，2上是减函数，则实数 a 的取值范围是 13函数 y=（ ） |x1|的单调递减区间是 14已知函数 f（x）= ，若关于 x 的方程 f（ x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是 三、解答题15设集合 A=x|xa|2， B=x| 1，若 AB=A，求 实数 a 的取值范围16已知函数 f（x）=x 33x 及曲线 y=f（x）上一点 P（1， 2） ，（I）
4、 求与 y=f（x）相切且以 P 为切点的直线方程；（）求过点 P 并与 y=f（x）相切且切点异于 P 点的直线方程17已知函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c 在 x=2 处取得极值，并且它的图象与直线 y=3x+3 在点（1，0）处相切，（1）求 f（x）的解析式； （2）求 f（x）的单调区间18已知函数 f（x）=x 2ax+lnx，a R（）若函数 f（x）在（1， f（1） ）处的切线垂直于 y 轴，求实数 a 的值；（） 在（I）的条件下，求函数 f（x）的单调区间；（） 若 x1 时，f（x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围19已知曲线 C：y=e ax（）若曲线 C
5、 在点（0，1）处的切线为 y=2x+m，求实数 a 和 m 的值；（）对任意实数 a，曲线 C 总在直线 l：y=ax+b 的上方，求实数 b 的取值范围20国庆“黄金周” 及其前后是旅游旺季某宾馆通过对 9 月 26 日至 10 月 15 日这 20 天的调查，得到部分日经济收入 Q 与这 20 天中的第 t 天（t N*）的部分数据如下表：天数 T（单位：天） 1 3 8 12 15日经济收入 Q（单位：万元） 218 248 288 284 260（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述 Q 与 t 的变化关系：Q=at+b，Q=t 2+at+b，Q=a bt，Q=al
6、og bt，并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1设集合 M=x|x2+x60，N=x|1x3，则 MN=（ ）A1，2） B1，2 C （2，3 D2，3【考点】交集及其运算【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合 M，将 M，N 化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出 MN 的结果【解答】解：M=x|x 2+x60=x|3x2=（3，2 ） ，N=x|1x3= 1，3，M N=1，2）故选 A2 “x2 ”是“x 24”
7、的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由 x24，解得 x2，或 x2即可判断出结论【解答】解：由 x24，解得 x2，或 x2“x 2 ”是“x 24”的充分不必要条件故选：B3设集合 A=x|1x2，B=y|1y4，则下述对应法则 f 中，不能构成 A 到 B 的映射的是（ ）Af：x y=x2 Bf：xy=3x2 Cf：xy=x+4 Df ：xy=4 x2【考点】映射【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A 中的每个元素在集合 B 中都有唯一的确定的一个元素与之对应 判断题中各个对应
8、是否满足映射的定义，从而得到结论【解答】解：对于对应 f：xy=x 2，当 1x2 时，1x 24，在集合 A=x|1x2任取一个值 x，在集合 B=y|1y4中都有唯一的一个 y 值与之对应，故 A 中的对应能构成映射对于对应 f：xy=3x 2，当 1x2 时，13x24，在集合 A=x|1x2任取一个值 x，在集合 B=y|1y4中都有唯一的一个 y 值与之对应，故 B 中的对应能构成映射对于对应 f：xy= x+4，当 1x2 时，2x+43，在集合 A=x|1x2任取一个值 x，在集合 B=y|1y4中都有唯一的一个 y 值与之对应，故 B 中的对应能构成映射对于对应 f：xy=4
9、x2 ，当 x=2 时，y=0，显然 y=0 不在集合 B 中，不满足映射的定义，故 D 中的对应不能构成 A 到 B 的映射故选 D4下列各图形中，不可能是某函数 y=f（x）的图象的是（ ）A B C D【考点】函数的图象【分析】根据函数的定义可知，B 中不满足 y 值的唯一性【解答】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的每一个 x，都要唯一的 y 与 x 对应，A，C，D 满足函数的定义B 中当 x0 时，对应的 y 值有两个，所以不满足函数的定义，所以 B 不是函数的图象故选 B5若函数 f（x）=x 2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f（x）的图象是（ ）A B C D【
10、考点】函数的单调性与导数的关系【分析】先判断函数 f（x）的单调性，根据当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减得到答案【解答】解：函数 f（x）=x 2+bx+c 是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于 0根据函数 f（x）在对称轴左侧单调递减，导函数小于 0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于 0 知，A 满足条件故选 A6函数 f（x）=x 33x2+1 是减函数的区间为（ ）A （2，+） B （ ，2） C （ ，0） D （0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出 f（x）令其小于 0 即可得到函数是减函数的区间【解答】解：由 f
11、（x）=3x 26x0，得 0x2函数 f（x）=x 33x2+1 是减函数的区间为（0，2） 故答案为 D7若 f（10 x）=x，则 f（3）的值为（ ）Alog 310 Blg3 C10 3 D3 10【考点】函数的值【分析】法一：根据题意可得 f（3）=f（10 lg3） ，代入已知函数解析式可求法二：利用换元法可求出函数解析式，然后把 t=3 代入即可求解函数值【解答】解：法一：f（10 x）=x ，f（3）=f（10 lg3）=lg3故选 B法二：f（10 x）=x，令 t=10x，则 x=lgtf（t）= lgtf（3）=lg3故选 B8已知定义在 R 上的偶函数 f（x） ，满
12、足 f（x）= f（4 x） ，且当 x2，4）时，f（x）=log 2（x 1） ，则 f的值为（ ）A2 B1 C1 D2【考点】函数奇偶性的性质【分析】由题设条件知本题中所给的函数是一个周期性函数，故可以利用周期性与函数是偶函数这一性质将要求的函数值转化到区间2，4）上求解【解答】解：定义在 R 上的偶函数 f（x） ，满足 f（x）=f（4x）恒成立，故可得 f（x）=f（x8） ，可得此函数的周期是 8又当 x2，4）时，f（x）=log 2（x 1） ，由此 f=f（2）+f（3）=log 2（2 1）+log 2（3 1）=1 ，故选：C二、填空题9函数 f（x）=x 33x2+
13、7 的极大值是 7 【考点】利用导数研究函数的极值【分析】令 f（ x）=0，可得 x=0 或 x=2，根据导数在 x=0 和 x=2 两侧的符号，判断故 f（0）为极大值【解答】解：f（x）=3x 26x=3x（x2） ，令 f（x）0，解得： x2 或 x0，令 f（x）0，解得： 0x2，函数 f（x）在（，0）是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+）是增函数，函数 f（x）在 x=0 时取得极大值 7，故答案为：710幂函数 y=f（x）的图象经过点（2， ） ，则满足 f（ x）=27 的 x 值是 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】先设出幂函数的解析式，把点（
14、2， ）代入求出 的值，再把 27 代入解析式求出 x 的值【解答】解：设幂函数 y=f（x）=x ，过点（2， ） ， =（ 2） ，解得 =3，f（x）=x 3，f（x）=27=x 3，解得 x= 故答案为： 11函数 f（x）=x 3+ax2+3x9，已知 f（x）在 x=3 时取得极值，则 a 等于 5 【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】先对函数进行求导，根据函数 f（x）在 x=3 时取得极值，可以得到 f（ 3）=0，代入求 a 值【解答】解：对函数求导可得，f（x）=3x 2+2ax+3f（x）在 x=3 时取得极值 f（ 3）=0a=5故答案为：512若函数 y=x2+（
15、2a1）x+ 1 在区间（ ，2上是减函数，则实数 a 的取值范围是 【考点】二次函数的性质【分析】有顶点公式可得出对称轴，对称轴应在（，2 的右侧，可得不等式，求解【解答】解：函数 y=x2+（2a1）x+1 的对称轴为 x= a，又函数 y=x2+（2a1）x+1 在区间（ ，2上是减函数， a2，a ，故答案为（ ， 13函数 y=（ ） |x1|的单调递减区间是 1，+） 【考点】复合函数的单调性；指数函数的图象变换【分析】利用指数函数的单调性的性质，结合分段函数的单调性的性质即可得到结论【解答】解：当 x1 时，y=（ ） |x1|=（ ） x1，此时函数单调递减，当 x1 时，y=
16、（ ） |x1|=（ ） （x 1） =2x1，此时函数单调递增，故函数的递减区间为1，+） ，故答案为：1，+） 14已知函数 f（x）= ，若关于 x 的方程 f（ x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是 （0， ） 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】作出函数 f（x）的图象，关于 x 的方程 f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为直线y=a（x+1）与曲线 y= 相交时，与 f（x）的图象有三个交点，求出直线与曲线 y= 相切时的斜率，即可得到 a 的取值范围【解答】解：作出函数 f（x）的图象，如右图：作出直线 y=a（x+1） ，则直线恒过（1
17、，0） ，关于 x 的方程 f（x）=a（x+1 ）有三个不相等的实数根，即为当直线与曲线 y= 相交时，与 f（x）的图象有三个交点，当直线与曲线 y= 相切时，设切点为（m， ） ，则 y= ，则切线斜率为 =a，又 a（m+1）= ，由此解得，a= （负的舍去） ，故 a 的取值范围是（0， ） 故答案为（0， ） 三、解答题15设集合 A=x|xa|2， B=x| 1，若 AB=A，求 实数 a 的取值范围【考点】集合关系中的参数取值问题【分析】解绝对值不等式可求出集合 A，解分式不等式可以求出集合 B，由 AB=A 可得 AB，结合集合包含关系定义，可构造关于 a 的不等式组，解得实
18、数 a 的取值范围【解答】解：若|xa |2，则2xa2，即 a2xa+2故 A=x|xa|2= x|a2xa+2若 ，则 ，即 ，即2x3因为 AB=A，即 AB，所以 解得 0a1，故实数 a 的取值范围为0，116已知函数 f（x）=x 33x 及曲线 y=f（x）上一点 P（1， 2） ，（I） 求与 y=f（x）相切且以 P 为切点的直线方程；（）求过点 P 并与 y=f（x）相切且切点异于 P 点的直线方程【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （I） 求出 f（x）的导数，可得 P 处切线的斜率，可得切线方程；（）设切点为（m，n） （异于 P 点） ，代入 f（x）可得
19、 n=m33m，求得切线的斜率和方程，代入（1，2） ，可得 m 的方程，解得 m，即可得到所求切线的方程【解答】解：（I） 函数 f（x）=x 33x 的导数为 f（x）=3x 23，点 P（1，2）处的切线斜率为 33=0，则与 y=f（x）相切且以 P 为切点的直线方程为 y=2；（）设切点为（m，n） （异于 P 点） ，且 n=m33m，可得切线的斜率为 3m23，切线的方程为 yn=（3m 23） （xm ） ，点 P（1，2）代入上式，可得2m3+3m=（3m 23） （1 m） ，整理可得 2m33m2+1=0，即为（m1） 2（2m+1）=0 ，解得 m= （1 舍去） ，可
20、得切线的斜率为 ，则所求切线的方程为 y+2= （x1） ，即为 9x+4y1=017已知函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c 在 x=2 处取得极值，并且它的图象与直线 y=3x+3 在点（1，0）处相切，（1）求 f（x）的解析式； （2）求 f（x）的单调区间【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性【分析】 （1）求出 f（x） ，因为函数在 x=2 处取得极值，所以 f（2）=0，又因为函数与直线在点 （1，0 ）处相切，所以 f（1）=3，代入求得两个关于 a 与 b 的二元一次方程，求出解集得到 a 和 b，又因为函数过点（1，0） ，代入求出 c 的值即可（
21、2）由（1）求出的值可得导函数的解析式，分别令其大于、小于 0 可求增、减区间【解答】解：（1）f（x）=3x 2+2ax+b，f（ 2）=3（ 2） 2+2a（ 2）+b=0124a+b=0 又 f（1）=3 +2a+b=3 ，由 解得 a=1，b=8又 f（x）过点（1，0） ，1 3+a12+b1+c=0，c=6所以 f（x）的解析式为：f（x）=x 3+x28x+6（2）由（1）知：f（x）=x 3+x28x+6，所以 f（x）=3x 2+2x8令 3x2+2x80 解得 ，令 3x2+2x80 解得 x2，或故 f（x）的单调递增区间为（ ，2）和（ ，+） ，f（x）的单调递减区间
22、为（2， ）18已知函数 f（x）=x 2ax+lnx，a R（）若函数 f（x）在（1， f（1） ）处的切线垂直于 y 轴，求实数 a 的值；（） 在（I）的条件下，求函数 f（x）的单调区间；（） 若 x1 时，f（x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】 （I）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得斜率为 0，可得 a=3：（II）求出导数，令导数大于 0，可得增区间，令导数小于 0，可得减区间；（）运用参数分离，可得 a 在 x1 时恒成立，令 h（x）=1+x 2lnx，求得导数，判断函数的单调性，运用单调
23、性即可求得 a 的取值范围【解答】解：（I）f（x）=x 2ax+lnx，aR定义域为（0，+） ，导数 依题意，f （1） =0所以 f（1）=3a=0，解得 a=3； （II）a=3 时，f（x）=lnx +x23x，定义域为（0，+） ，f（x）= +2x3= ，当 0x 或 x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0，故 f（x）的单调递增区间为（ 0， ） ， （1，+） ，单调递减区间为（ ，1） ；（III）由 f（x）0，得 a 在 x1 时恒成立，令 g（x）= ，则 g（x）= ，令 h（x）=1+x 2lnx，则 h（x）=2x = ，所以 h（x）在（1，+）为增函
24、数，h（x）h（1）=20故 g（x）0，故 g（x）在（1，+）为增函数，即有 g（x）g（1）=1，所以 a1，即实数 a 的取值范围为（ ，119已知曲线 C：y=e ax（）若曲线 C 在点（0，1）处的切线为 y=2x+m，求实数 a 和 m 的值；（）对任意实数 a，曲线 C 总在直线 l：y=ax+b 的上方，求实数 b 的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （）根据导数的几何意义，y=e ax 在 x=0 处的切线方程为 y1=y（0）x，再比较已知条件，可得；（）原题意可转化为对于x，a R，e axax +b 恒成立，法
25、 1：进一步转化为x，aR，e axaxb0 恒成立，令 g（x）=e axaxb，分别从 a=0 和 a0 两种情况通过求导的方式进一步分析；法 2：进一步转化为x，aR ，be axax 恒成立，再令 t=ax，则等价于t R， be tt 恒成立，再通过研究函数 g（t）=e tt 的性质求解【解答】解：（）y=ae ax，因为曲线 C 在点（0，1）处的切线为 L：y=2x+m ，所以 1=20+m 且 y|x=0=2解得 m=1，a=2（）法 1：对于任意实数 a，曲线 C 总在直线的 y=ax+b 的上方，等价于x，aR ，都有 eaxax +b，即x，aR ，e axaxb0 恒
26、成立，令 g（x）=e axaxb，若 a=0，则 g（x）=1 b，所以实数 b 的取值范围是 b1；若 a0，g（x）=a（e ax1） ，由 g（x）=0 得 x=0，g（x） ，g（x）的情况如下：x （， 0）0 （0，+ ）g（x） 0 +g（x） 极小值 所以 g（x）的最小值为 g（0）=1b，所以实数 b 的取值范围是 b1；综上，实数 b 的取值范围是 b1法 2：对于任意实数 a，曲线 C 总在直线的 y=ax+b 的上方，等价于x，aR ，都有 eaxax +b，即x，aR ，be axax 恒成立，令 t=ax，则等价于tR，b ett 恒成立，令 g（t）=e tt
27、，则 g（t）=e t1，由 g（t ）=0 得 t=0，g（t） ，g（t）的情况如下：t （， 0）0 （0，+ ）g（t） 0 +g（ t） 极小值 所以 g（t）=e tt 的最小值为 g（0）=1，实数 b 的取值范围是 b120国庆“黄金周” 及其前后是旅游旺季某宾馆通过对 9 月 26 日至 10 月 15 日这 20 天的调查，得到部分日经济收入 Q 与这 20 天中的第 t 天（t N*）的部分数据如下表：天数 T（单位：天） 1 3 8 12 15日经济收入 Q（单位：万元） 218 248 288 284 260（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述 Q
28、 与 t 的变化关系：Q=at+b，Q=t 2+at+b，Q=a bt，Q=alog bt，并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入【考点】函数模型的选择与应用【分析】 （1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入 Q 与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，也不可能是单调函数，故选取二次函数 Q=at2+bt+c 进行描述，将（1，218） 、 （8，288）代入 Q=t2+at+b，代入 Q，即得函数解析式；（2）由二次函数的图象与性质，利用配方法可求取最值【解答】解：（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入 Q 与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，从而用四个中的任意一个进行描述时都应有，而 Q=at+b，Q=ab t，Q=alog bt 三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，选取二次函数进行描述最恰当将（1，218） 、 （8，288）代入 Q=t2+at+b，可得 ，解得 a=19，b=200Q= t2+19t+200， （1t20，t N*） ；（2）Q= t2+19t+200=（t ） 2+ ，1t20，tN *，t=9 或 10 时， Q 取得最大值 290 万元2016 年 11 月 30 日
