1、2017 届北京市朝阳区重点中学高三上学期 10 月月考数学试卷（文科） （解析版）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1已知全集 U=R，集合 A=x|x2 或 x3，B=x|x1 或 x4，那么集合（ UA）B 等于（ ）Ax|2x4 Bx| 2 x3Cx|2x 1 Dx|2x1 或 3x42已知命题 p：xR，x2lgx ，命题 q： xR，x 20，则（ ）A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题C命题 p（q）是真命题 D命题 p（q）是假命题3在等差数列a n中，首项 a1=0，公差 d0，若 am=a1+a2+a9，则 m 的值为（ ）A37 B36
2、C20 D194若点 P 在曲线 y=x33x2+（3 ）x+ 上移动，经过点 P 的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ）A0， ） B0， ） ，） C ，） D0， ）（ ， 5i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi=1+i，则复数 z 的实部与虚部的和是（ ）A0 B1 C2 D36已知 m、n 为两条不同的直线 、 为两个不同的平面，给出下列四个命题若 m，n，则 mn；若 m，n，则 mn；若 m，m，则 ；若 m，n，则 mn其中真命题的序号是（ ）A B C D7已知函数 f（x）满足：4f（x）f（y）=f（x+y）+f （xy） （x，yR ）且 ，则 fA B C D
3、8在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 、 若 m、M 分别为（ + ）（ + + ）的最小值、最大值，其中 i，j，k1，2，3，4，5，r，s，t1，2，3，4，5，则 m、M 满足（ ）Am=0，M 0 Bm0，M0 Cm 0，M=0 Dm0，M0二、填空题：（本大题共 6 小题；每小题 5 分，共 30 分.）9设 mR，m 2+m2+（m 21）i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m= 10已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a3=4，S 3=3，则
4、公差 d= 11若 cosxcosy+sinxsiny= ，则 cos（2x2y）= 12已知函数 若直线 y=m 与函数 f（x）的图象只有一个交点，则实数 m的取值范围是 13如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14，20，则输出的 a= 14已知 A、B 为函数 y=f（x） ，x a，b图象的两个端点，M（x，y）是 f（x）图象上任意一点，其中x=a+（1 ）b，0，1，又已知向量 = +（1） ，若不等式| |k 恒成立，则称函数 f（x）在a，b上“k 阶线性近似”若函数 f（x）=x 在1，2上“ k
5、阶线性近似”，则实数 k 的取值范围为 三、解答题：（本大题 6 小题，共 80 分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15已知数列a n的前 n 项和 Sn=n5an85，（）求a n的通项公式；（） 令 bn=log +log +log ，求数列 的前 n 项和 Tn16已知函数 （）求函数 f（x）的单调递增区间；（）在ABC 中，内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c已知 ，a=2， ，求ABC 的面积17已知a n是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a3a6=55，a 2+a7=16（）求数列a n的通项公式；（）等比数列b n满足：b 1=a1，b 2=a21，若数
6、列 cn=anbn，求数列c n的前 n 项和 Sn18在ABC 中，2cos 2 cosBsin（A B）sinB+cos（A+C）= （1）求 cosA 的值；（2）若 a=4 ，b=5 ，求 在 方向上的投影19已知函数 f（x）= x3bx+c（b，c R）（）若函数 f（x）在点（1 ，f （1） ）处的切线方程为 y=2x+1，求 b，c 的值；（）若 b=1，函数 f（x）在区间（0，2）内有唯一零点，求 c 的取值范围；（）若对任意的 x1，x 21，1，均有|f （x 1） f（x 2）| ，求 b 的取值范围20对于一组向量 ， ， ， （nN *） ，令 = + + +
7、，如果存在（ p1，2，3，n，使得| | |，那么称 是该向量组的“h 向量”（1）设 =（n，x+n） （nN *） ，若 是向量组 ， ， 的“ h 向量”，求实数 x 的取值范围；（2）若 =（ ） n1（1 ） n（n N*） ，向量组 ， ， ， 是否存在“h 向量” ？给出你的结论并说明理由；（3）已知 ， ， 均是向量组 ， ， 的“h 向量” ，其中 =（sinx ，cosx ） ，=（2cosx，2sinx） 设在平面直角坐标系中有一点列 Q1Q 2，Q 3，Q n 满足：Q 1 为坐标原点，Q 2 为的位置向量的终点，且 Q2k+1 与 Q2k 关于点 Q1 对称， Q2
8、k+2 与 Q2k+1（kN *）关于点 Q2 对称，求|的最小值2017 届北京市朝阳区重点中学高三上学期 10 月月考数学试卷（文科） （解析版）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1已知全集 U=R，集合 A=x|x2 或 x3，B=x|x1 或 x4，那么集合（ UA）B 等于（ ）Ax|2x4 Bx| 2 x3Cx|2x 1 Dx|2x1 或 3x4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合 A 的补集，从而求出其和 B 的交集即可【解答】解：集合 A=x|x2 或 x3， UA=x|2x3，B=x|x1 或 x4，（ UA）B=x|2x1
9、，故选：C2已知命题 p：xR，x2lgx ，命题 q： xR，x 20，则（ ）A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题C命题 p（q）是真命题 D命题 p（q）是假命题【考点】全称命题；复合命题的真假【分析】先判断出命题 p 与 q 的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论【解答】解：由于 x=10 时，x2=8，lgx=lg10=1，故命题 p 为真命题，令 x=0，则 x2=0，故命题 q 为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题 pq 是真命题，命题 pq 是假命题，q 是真命题，进而得到命题 p（q）是真命题，命题 p（q）是真命题故答案为 C3在等差数
10、列a n中，首项 a1=0，公差 d0，若 am=a1+a2+a9，则 m 的值为（ ）A37 B36 C20 D19【考点】数列的求和；等差数列【分析】利用等差数列的通项公式可得 am=0+（m 1）d，利用等差数列前 9 项和的性质可得a1+a2+a9=9a5=36d，二式相等即可求得 m 的值【解答】解：a n为等差数列，首项 a1=0，a m=a1+a2+a9，0+（m1）d=9a 5=36d，又公差 d0，m=37，故选 A4若点 P 在曲线 y=x33x2+（3 ）x+ 上移动，经过点 P 的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ）A0， ） B0， ） ，） C ，） D0，
11、）（ ， 【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角【分析】先求出函数的导数 y的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围【解答】解：函数的导数 y=3x26x+3 =3（x1） 2 ，tan ，又 0 ，0 或 ，故选 B5i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi=1+i，则复数 z 的实部与虚部的和是（ ）A0 B1 C2 D3【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的乘法求出复数 z，然后求解结果即可【解答】解：复数 z 满足 zi=1+i，可得 z= = =1+i复数 z 的实部与虚部的和是：1+1=2
12、故选：C6已知 m、n 为两条不同的直线 、 为两个不同的平面，给出下列四个命题若 m，n，则 mn；若 m，n，则 mn；若 m，m，则 ；若 m，n，则 mn其中真命题的序号是（ ）A B C D【考点】平面的基本性质及推论【分析】m，n，则 mn 或 m 与 n 是异面直线；若 m ，则 m 垂直于 中所有的直线，n，则n 平行于 中的一条直线 l，故 ml ，mn；若 m，m，则 ；m，n ，则 mn，或m，n 相交，或 m，n 异面【解答】解：m，n，则 mn 或 m 与 n 是异面直线，故不正确；若 m，则 m 垂直于 中所有的直线，n ，则 n 平行于 中的一条直线 l，ml，故
13、 mn故正确；若 m，m，则 这是直线和平面垂直的一个性质定理，故成立；m，n，则 mn，或 m，n 相交，或 m，n 异面故 不正确，综上可知正确，故答案为：7已知函数 f（x）满足：4f（x）f（y）=f（x+y）+f （xy） （x，yR ）且 ，则 fA B C D【考点】抽象函数及其应用【分析】由 ，令 y=1 代入题中等式得 f（x）=f（ x+1）+f （x 1） ，由此证出 f（x+6）=f（x） ，可得函数 f（x）是周期 T=6 的周期函数令 y=0 代入题中等式解出 f（0）= ，再令 x=y=1 代入解出 f（2）=，同理得到 f（4）= 从而算出 f=f（4）= 【解
14、答】解： ，令 y=1，得 4f（x）f （1）=f （x+1）+f（x1） ，即 f（x）=f（x+1）+f（x1） ，即 f（x+1）=f（x）f（x1）用 x+1 替换 x，得 f（x+2）=f （x+1）f （x） ，+得：f（x+2）= f（x 1） ，再用 x+1 替换 x，得 f（x +3）= f（x） f（x+6）=f（x+3）+3= f（x+3）= f（x）=f（x） ，函数 f（x）是周期 T=6 的周期函数因此，f=f（4） 4f（x）f （y）=f（x+y）+f（xy）令 y=0，得 4f（x）f（0）=2f（x） ，可得 f（0）= 在 4f（x）f （y）=f（x+
15、y）+f（xy）中令 x=y=1，得 4f2（1）=f（2）+f （0） ，4 =f（2 ）+ ，解之得 f（2）=同理在 4f（x）f（y）=f（x+y）+f（xy）中令 x=y=2，解得 f（4）= f= 故选：A8在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 、 若 m、M 分别为（ + ）（ + + ）的最小值、最大值，其中 i，j，k1，2，3，4，5，r，s，t1，2，3，4，5，则 m、M 满足（ ）Am=0，M 0 Bm0，M0 Cm 0，M=0 Dm0，M0【考点
16、】平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理【分析】利用向量的数量积公式，可知只有 ，其余数量积均小于等于 0，从而可结论【解答】解：由题意，以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 、 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 、 ，利用向量的数量积公式，可知只有 ，其余数量积均小于等于 0，m、M 分别为（ + + ） （ + + ）的最小值、最大值，m0，M0故选 D二、填空题：（本大题共 6 小题；每小题 5 分，共 30 分.）9设 mR，m 2+m2+（m 21）i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m= 2 【考点】复数的基本概念【分析】根据纯虚数的
17、定义可得 m21=0，m 210，由此解得实数 m 的值【解答】解：复数 z=（m 2+m2）+（m1）i 为纯虚数，m 2+m2=0，m 210，解得 m=2，故答案为：210已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a3=4，S 3=3，则公差 d= 3 【考点】等差数列的前 n 项和【分析】由等差数列的性质可得 S3=3a2=3，解得 a2 的值，由公差的定义可得【解答】解：由等差数列的性质可得 S3= = =3，解得 a2=1，故公差 d=a3a2=41=3故答案为：311若 cosxcosy+sinxsiny= ，则 cos（2x2y）= 【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余
18、弦【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出 cos（xy）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将 cos（xy）的值代入计算即可求出值【解答】解：cosxcosy+sinxsiny=cos（xy）= ，cos（2x 2y）=cos2（x y）=2cos 2（xy） 1= 故答案为： 12已知函数 若直线 y=m 与函数 f（x）的图象只有一个交点，则实数 m的取值范围是 m2 或 m=0 【考点】分段函数的应用【分析】作出函数 f（x）的图象，判断函数的单调性和取值范围，利用数形结合进行判断即可【解答】解：作出函数 f（x）的图象如图，则当 x1 时，f（x）（0，
19、2） ，当 x1 时，f（x）0，则若直线 y=m 与函数 f（x）的图象只有一个交点，则 m2 或 m=0，故答案为：m2 或 m=013如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14，20，则输出的 a= 2 【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当 a=14，b=20 时，满足 ab，但不满足 ab，执行 b=ba 后，a=14，b=6，当 a=14，b=6 时，满足 ab，且满足 ab，
20、执行 a=ab 后，a=8，b=6，当 a=8，b=6 时，满足 ab，且满足 ab，执行 a=ab 后，a=2，b=6，当 a=2，b=6 时，满足 ab，但不满足 ab，执行 b=ba 后，a=2，b=4，当 a=2，b=4 时，满足 ab，但不满足 ab，执行 b=ba 后，a=2，b=2，当 a=2，b=2 时，不满足 ab，故输出的 a 值为 2，故答案为：214已知 A、B 为函数 y=f（x） ，x a，b图象的两个端点，M（x，y）是 f（x）图象上任意一点，其中x=a+（1 ）b，0，1，又已知向量 = +（1） ，若不等式| |k 恒成立，则称函数 f（x）在a，b上“k
21、阶线性近似”若函数 f（x）=x 在1，2上“ k 阶线性近似”，则实数 k 的取值范围为 【考点】平面向量的综合题【分析】先得出 M、N 横坐标相等，再将恒成立问题转化为求函数的最值问题【解答】解：由题意，M、N 横坐标相等， 恒成立，即 ，由 N 在 AB 线段上，得 A（1，0） ，B（2， ） ，直线 AB 方程为 y= （x1） =y1y2= （x1）= （ + ） （当且仅当 x= 时，取等号）x1，2，x= 时，故答案为：三、解答题：（本大题 6 小题，共 80 分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15已知数列a n的前 n 项和 Sn=n5an85，（）求a n的通项公
22、式；（） 令 bn=log +log +log ，求数列 的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （I）利用 Sn=n5an85，S n+1=（n+1）5a n+185，两式相减得 an+1=15an+1+5an，化为，再利用等比数列的通项公式即可得出（2）利用对数的运算可得 =n，利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 bn，再利用“ 裂项求和” 即可得出 Tn【解答】解：（） 当 n=1 时，a 1=S1=15a185，解得 a1=14S n=n5an85，S n+1=（n+1）5a n+185，两式相减得 an+1=15an+1+5an，即 ，从而a n1为等比数列，首项 a11=15，公比为 ，即 a n的通项公式为 （） 由（）知 ， =n，b n=1+2+3+n= ，T n= = 16已知函数 （）求函数 f（x）的单调递增区间；（）在ABC 中，内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c已知 ，a=2， ，求ABC 的面积【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理
