1、第三章 函数的应用3.2.1 几类不同增长的函数模型,复 习 引 入,讲 授 新 课,例1 假设你有一笔资金用于投资，现在有 三种投资方案供你选择，这三种方案的回 报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前 一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回 报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？,解：设第x天所得回报是y元，,解：设第x天所得回报是y元， 则方案一可以用函数y40(xN*)进行描述；,解：设第x天所得回报是y元， 则方案一可以用函数y40(xN*)进行描述； 方案二可以用函数y10x (xN*)进行 描述；,解：设第x天所得
2、回报是y元， 则方案一可以用函数y40(xN*)进行描述； 方案二可以用函数y10x (xN*)进行 描述； 方案三可以用函数y0.42x1(xN*) 进行描述.,20,40,60,80,100,120,2,4,6,8,10,O,y,x,函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点.,20,40,60,80,100,120,2,4,6,8,10,O,y,x,y40,函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点.,20,40,60,80,100,120,2,4,6,8,10,O,y,x,y40,y10x,函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察，
3、我们用虚线 连接离散的点.,20,40,60,80,100,120,2,4,6,8,10,O,y,x,y40,y10x,y0.42x1,函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点.,20,40,60,80,100,120,2,4,6,8,10,O,y,x,y40,y10x,y0.42x1,函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点.,我们看到，底为 2的指数函数模型 比线性函数模型增 长速度要快得多.从中你对“指数爆 炸”的含义有什么 新的理解？,20,40,60,80,100,120,2,4,6,8,10,O,y,x,y40,y10x,根据
4、以上的分 析，是否应作这样 的选择: 投资5天以 下选方案一，投资 58天选方案二， 投资8天以上选方 案三？,y0.42x1,例2 某公司为了实现1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售部门的奖励方案： 在销售利润达到10万元时，按销售利润进 行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润 x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数 不超过5万元，同时奖金总数不超过利润 的25%，现有三个奖励模型： y0.25x， ylog7x1， y1.002x， 其中哪个模型能符合公司的要求？,分析：某个奖励模型符合公司要求，就是 依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超 过5万元，同时奖金不超过利润的25%
5、， 由于公司总的利润目标为1000万元，所以 部门销售利润一般不会超过公司总的利润. 于是，只需在区间10,1000上，检验三个 模型是否符合公司要求即可.,分析：某个奖励模型符合公司要求，就是 依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超 过5万元，同时奖金不超过利润的25%， 由于公司总的利润目标为1000万元，所以 部门销售利润一般不会超过公司总的利润. 于是，只需在区间10,1000上，检验三个 模型是否符合公司要求即可.,不妨先作出函数图象，通过观察函数 的图象，得到初步的结论再通过具体计算， 确认结果.,8,1,2,3,4,5,6,7,200,400,600,800,1000,O,y,x,
6、图象,8,1,2,3,4,5,6,7,200,400,600,800,1000,O,y,x,y5,图象,8,1,2,3,4,5,6,7,200,400,600,800,1000,y0.25x,O,y,x,y5,图象,8,1,2,3,4,5,6,7,200,400,600,800,1000,y0.25x,ylog7x1,O,y,x,y5,图象,8,1,2,3,4,5,6,7,200,400,600,800,1000,y0.25x,ylog7x1,y1.002x,O,y,x,y5,图象,解： 借助计算机作出函数y0.25x， ylog7x1，y1.002x的图象.观察图象发现，在区间10,1000
7、 上，模型y0.25x，y1.002x的图象都有一部分在 直线y5的上方，只有模型ylog7x1的图象始终 在y5的下方，这 说明只有按模型 ylog7x1进行 奖励时才符合公 司的要求，下面 通过计算确认上 述判断.,首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.,解：,首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.,对于模型y0.25x，它在区间10, 1000上递增， 而且当x20时，y5，因此，当x20时，y5， 所以该模型不符合要求；,解：,首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.,对于模型y0.25x，它在区间10, 1000上递增， 而且当x20时，y5，因此，当x20时，y5， 所以该模型不符合
8、要求；,对于模型y1.002x，由函数图象，并利用计算 器，可知在区间(805, 806) 内有一个点x0满足 1.002x5，由于它在区间10,1000上递增，因此当 xx0时，y5，所以该模型也不符合要求；,解：,首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.,对于模型y0.25x，它在区间10, 1000上递增， 而且当x20时，y5，因此，当x20时，y5， 所以该模型不符合要求；,对于模型y1.002x，由函数图象，并利用计算 器，可知在区间(805, 806) 内有一个点x0满足 1.002x5，由于它在区间10,1000上递增，因此当 xx0时，y5，所以该模型也不符合要求；,对于模型y
9、log7x1，它在区间10,1000 上递 增，而且当x1000时，ylog7100014.555， 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.,解：,再计算按模型 ylog7x1奖励时，奖金是否 不超过利润的25%，即当x10,1000时，是否有,成立.,解：,令f(x)log7x10.25，x10,1000.利用计 算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的， 因此f(x)f(10)0.31670，即log7x10.25x. 所以当x10,1000时，,再计算按模型 ylog7x1奖励时，奖金是否 不超过利润的25%，即当x10,1000时，是否有,成立.,解：,模型ylog7x1奖励时
10、, 奖金不会超过利润的25%.,. 说明按,令f(x)log7x10.25，x10,1000.利用计 算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的， 因此f(x)f(10)0.31670，即log7x10.25x. 所以当x10,1000时，,再计算按模型 ylog7x1奖励时，奖金是否 不超过利润的25%，即当x10,1000时，是否有,成立.,综上所述，模型ylog7x1确实能符合公司 要求.,解：,模型ylog7x1奖励时, 奖金不会超过利润的25%.,. 说明按,归纳总结中学数学建模的主要步骤,(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认 真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背
11、景和意义，设法用数学语言来描述问题. (2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领 悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的 简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题 中关键或主要的变量. (3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联 想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的 数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符 号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、 不等式、函数.,归纳总结中学数学建模的主要步骤,(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认 真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背 景和意义，设法用数学语言来描述问题. (2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领 悟背景中反映的实质
12、，需要对问题作必要的 简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题 中关键或主要的变量. (3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联 想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的 数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符 号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、 不等式、函数.,归纳总结中学数学建模的主要步骤,(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认 真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背 景和意义，设法用数学语言来描述问题. (2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领 悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的 简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题 中关键或主要的变量. (3) 数学建模
13、：把握新信息，勇于探索，善于联 想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的 数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符 号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、 不等式、函数.,归纳总结中学数学建模的主要步骤,(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具对建 立的数学模型进行求解. (5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检 验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定 模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建 模. (6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻 合，要对计算的结果作出解释并给出其实际 意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果 模型与实际问题有较大出入，则要对模型改 进并重复上述步骤.,归纳
14、总结中学数学建模的主要步骤,(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具对建 立的数学模型进行求解. (5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检 验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定 模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建 模. (6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻 合，要对计算的结果作出解释并给出其实际 意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果 模型与实际问题有较大出入，则要对模型改 进并重复上述步骤.,归纳总结中学数学建模的主要步骤,(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具对建 立的数学模型进行求解. (5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检 验，对模拟的结果与实际情形比较，以
15、确定 模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建 模. (6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻 合，要对计算的结果作出解释并给出其实际 意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果 模型与实际问题有较大出入，则要对模型改 进并重复上述步骤.,归纳总结中学数学建模的主要步骤,理解问题 (2) 简化假设 (3) 数学建模 (4) 求解模型 (5) 检验模型 (6) 评价与应用,归纳总结中学数学建模的主要步骤,知识讲 授,观察函数,与,的图象，说明在不同区间内，函数增长 的快慢情况.,在0,)上,观察函数,与,6,4,2,16,x,y,O,的图象，说明在不同区间内，函数增长 的快慢情况.,在0,)上,
16、知识讲 授,观察函数,与,6,4,2,16,x,y,O,的图象，说明在不同区间内，函数增长 的快慢情况.,在0,)上,知识讲 授,观察函数,与,6,4,2,16,x,y,O,的图象，说明在不同区间内，函数增长 的快慢情况.,在0,)上,知识讲 授,观察函数,与,6,4,2,16,x,y,O,的图象，说明在不同区间内，函数增长 的快慢情况.,在0,)上,知识讲 授,比较函数,的增长快慢.,比较函数,的增长快慢.,8,6,4,2,-2,2,4,6,8,x,y,O,比较函数,的增长快慢.,8,6,4,2,-2,2,4,6,8,x,y,O,比较函数,的增长快慢.,8,6,4,2,-2,2,4,6,8,
17、x,y,O,比较函数,的增长快慢.,8,6,4,2,-2,2,4,6,8,x,y,O,比较函数,的增长快慢.,8,6,4,2,-2,2,4,6,8,x,y,O,你能分别求出使,成立的x的取值 范围吗？,30,28,26,24,22,20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,5,10,x,y,O,放大后 的图象, 一般地，对于指数函数yax(a1)和 幂函数yxn(n0)，在区间(0, )上， 无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范 围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于 xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0 时，就会有axxn.,规律总结,对于对数函数ylogax (a1)和
18、幂函数 yxn(n0)在区间(0, )上，随着x的 增大，logax增长得越来越慢.在x的一定 变化范围内，logax可能会大于xn，但由 于logax的增长慢于xn的增长，因此总存 在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn.,规律总结,在区间(0, )上，尽管函数yax (a1)，ylogax(a1)和y = xn(n0) 都是增函数，但它们的增长速度不同， 而且不在同一个“档次”上.随着x的增 长，yax(a1)的增长速度越来越快， 会超过并远远大于yxn(n0)的增长 速度，而ylogax(a1)的增长速度则 会越来越慢.因此，总会存在一个x0， 当xx0时，就有logaxxnax.
19、,规律总结,例3 同一坐标系中，函数 yx27和y2x的图象 如图.试比较x27与2x的 大小.,50,40,30,20,10,5,10,yx27,y2x,x,y,O,例4 已知函数yx2和ylog2(x1)的图象 如图，试比较x2与log2(x1)的大小.,4,3,2,1,-1,2,4,x,y,O,yx2,ylog2(x1),1. 下列说法不正确的是 ( C ),A. 函数y2x在(0，)上是增函数 B. 函数yx2在(0，)上是增函数 C. 存在x0，当xx0时，x22x恒成立 D. 存在x0，当xx0时，2xx2恒成立,练习,1. 下列说法不正确的是 ( C ),A. 函数y2x在(0，
20、)上是增函数 B. 函数yx2在(0，)上是增函数 C. 存在x0，当xx0时，x22x恒成立 D. 存在x0，当xx0时，2xx2恒成立,练习,2.比较函数yxn(n0)和yax(a0)， 下列说法正确的是 ( B ),A. 函数yxn比yax的增长速度快 B. 函数yxn比yax的增长速度慢 C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数yxn与yax的增长速度 D. 以上都不正确,练习,2.比较函数yxn(n0)和yax(a0)， 下列说法正确的是 ( B ),A. 函数yxn比yax的增长速度快 B. 函数yxn比yax的增长速度慢 C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数yxn
21、与yax的增长速度 D. 以上都不正确,练习,3. 函数ylogax(a1)、ybx(b1)和 yxc(c0)中增长速度最快的是( B ),A. ylogax(a1) B. ybx(b1) C. yxc(c0) D. 无法确定,练习,3. 函数ylogax(a1)、ybx(b1)和 yxc(c0)中增长速度最快的是( B ),A. ylogax(a1) B. ybx(b1) C. yxc(c0) D. 无法确定,练习,4已知幂函数yx1.4、指数y2x和对数 函数ylnx的图象. 如图，则A表示函数的图象， B表示函数 . 的图象，C表示函 数 的图象.,5,4,3,2,1,2,4,x,y,O
22、,A,B,C,练习,y2x,5,4,3,2,1,2,4,x,y,O,A,B,C,练习,4已知幂函数yx1.4、指数y2x和对数 函数ylnx的图象. 如图，则A表示函数的图象， B表示函数 . 的图象，C表示函 数 的图象.,5,4,3,2,1,2,4,x,y,O,A,B,C,练习,4已知幂函数yx1.4、指数y2x和对数 函数ylnx的图象. 如图，则A表示函数的图象， B表示函数 . 的图象，C表示函 数 的图象.,y2x,yx1.4,y2x,yx1.4,5,4,3,2,1,2,4,x,y,O,A,B,C,ylnx,练习,4已知幂函数yx1.4、指数y2x和对数 函数ylnx的图象. 如图，则A表示函数的图象， B表示函数 . 的图象，C表示函 数 的图象.,课 堂 小 结,1. 幂函数、指数函数、对数函数增长 快慢的差异；,课 堂 小 结,1. 幂函数、指数函数、对数函数增长 快慢的差异； 2. 直线上升、指数爆炸、对数增长 等不同函数类型增长的含义.,
