1、丰台区 20162017 学年度第一学期期末练习 高三数学（理科）2017.01第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 (2)10AxxZ， 2,B1，那么 ABU等于（A） 210， ， ，（B） ， ， （C） ， （D） 12已知 ab，则下列不等式一定成立的是（A） （B） 1ab（C） 1()2ab（D） lnab3如果平面向量 (20)， ()， ，那么下列结论中正确的是（A） ab（B） ab（C） ()（D） /4已知直线 m， n和平面 ，如果 n，那么“ mn”是“
2、”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件5在等比数列 na中， 31， 123+=a9，则 456+a等于（A）9 （B）72 （C）9 或 72 （D） 9 或 726 如果函数 ()sin3cosfxx的两个相邻零点间的距离为 2，那么(1)2(3)(9)fffL的值为（A）1 （B） 1 （C） （D） 37.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷(gu)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中4
3、15.6寸表示 115 寸416分（1 寸=10 分） 节气 冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)清明(白露)谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至已知易经中记录的冬至晷影长为 130.0 寸，夏至晷影长为 14.8 寸，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长应为（A）72.4 寸 （B）81.4 寸 （C）82.0 寸 （D）91.6 寸8.对于任何集合 S，用 |表示集合 S 中的元素个数，用 ()nS表示集合 S 的子集个数. 若集合 A， B 满足条件： |2017，且 ()()nAnBU，则 |AI等于（A）2017 （B）2016 （C
4、）2015 （D）2014第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9. i 是虚数单位，复数 2i1= 10. 设椭圆 C：2+(0)6xya的左、右焦点分别为 1F， 2，点 P 在椭圆 C 上，如果 12|+|0PF，那么椭圆 C 的离心率为 11在 261()x的展开式中，常数项是 （用数字作答） 12若 ， y满足02， ，y+则 =2zxy的最大值为 13如图，边长为 2 的正三角形 ABC 放置在平面直角坐标系 xOy 中， AC 在 x 轴上，顶点 B 与 y 轴上的定点P 重合将正三角形 ABC 沿 x 轴正方向滚动，即先以顶点
5、 C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点 B 落在x轴上时，再以顶点 B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续当 ABC 滚动到 1AC时，顶点 B 运动轨迹的长 度为 ；在滚动 过程中，OBPur的最大值为 晷影长（寸）135 512.64.310.269528.4675.645.3.7625.81.9616.0POy xB1C1A1C(B)ADCB A14已知 ()fx为偶函数，且 0x时， )(xf（ 表示不超过 x 的最大整数） 设()gkR，若 1k，则函数 ()g有_ 个零点；若函数 ()g三个不同的零点，则k的取值范围是_三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明
6、过程15.（本小题共 13 分）如图，在 ABC 中， D 是 BC 上的点， 3AC， 2D， 7A， sinB.（）求角 C的大小；（）求边 AB 的长.16.（本小题共 14 分）如图所示的多面体中，面 ABCD是边长为 2 的正方形，平面 PDCQ平面 AB， PDC，EFG， ，分别为棱 ， ， P的中点.（）求证： E 平面 Q；（）已知二面角 BFC-的余弦值为 6，求四棱锥 PAD-的体积 CBPGFDEQA17.（本小题共 14 分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独
7、水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取 30 名参加问卷调查（）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（）从参加问卷调查的 30 名学生中随机抽取 2 名，求这 2 名学生来自同一所中学的概率；（）在参加问卷调查的 30 名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取 2 名，用 X 表示抽得甲中学的学生人数，求 X 的分布列18.（本小题共 13 分）已知函数 ()exf与函数 21()gxa的图象在点 (0)， 处有相同的切线.（）求 a 的值；（）设 ()()hxfbxR，求函数 ()hx在 12， 上的最小值.19.（本小题共 13 分）已知抛物线 C： 2(
8、0)ypx的焦点为 F，且经过点 (12)，A，过点 F的直线与抛物线 C交于 P，Q两点 .（）求抛物线 的方程；中学 甲 乙 丙 丁人数 30 4 20 1（） O为坐标原点，直线 OP， Q与直线 2px分别交于 S， T两点，试判断 FSTur是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共 13 分）已知无穷数列 nc满足 12nnc.（）若 17，写出数列 的前 4 项；（）对于任意 10c，是否存在实数 M，使数列 nc中的所有项均不大于 M ？若存在，求 M 的最小值；若不存在，请说明理由；（）当 1为有理数，且 1时，若数列 n自某项后是周期数列，写出 1
9、c的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区 20162017 学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分参考201701一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D C B D A C B二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 1i 10 3 11 15124 13 8； 2 142； 1,342U三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题共 13 分）解：（）在 ADC中，由余弦定理，得A2cos2.2 分2137.4 分因为 0C，所以 3. .6 分（）因为
10、3，所以 2sin. .8 分在 AB中，由正弦定理，得 CABsini， .10 分即 21，所以边 的长为 213. .13分16.（本小题共 14 分）证明：（）取 PD中点 H，连接 G， C，因为 ABC是正方形，所以 AD B， =.因为 G,分别是 , 中点，所以 H A,12GD.又因为 E 且 12=，所以 H C， E，所以四边形 是平行四边形, .3 分所以 EG . 又因为 平面 PDCQ， H平面 PDCQ所以 平面 .5 分（）因为平面 平面 AB，平面 PDCQI平面 CD=， 平面 PQ，所以 平面 AB .6 分如图，以 D 为原点，射线 DA， DC， DP
11、 分别为 x,y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系设 Pa=，则 ()()()00201 ,aF,B， ， 7 分因为 底面 ABC，所以平面 ACD的一个法向量为 (0,1)m. .8 分设平面 PFB 的一个法向量为 (,)xyzn，()10 PF,aur=-()120 ,ur=,则,.Brn即0+2=xazy令 x=1，得1,2z，所以1(,)2an .10 分由已知，二面角 PBFC-的余弦值为 6，所以得 21cos|654amn， .11 分解得 a =2,所以 2PD= .13 分因为 是四棱锥 ABC-的高，所以其体积为 1843PDV .14 分17 （本小题共 14 分）解
12、：（）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为 100 名，抽取的样本容量与总体个数的比值为 301，所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为 9，12，6，3. 3 分（）设“从 30 名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件 A，从 30 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 23045C种， 5 分来自同一所中学的取法共有 29161 7 分所以 1208()435PA 答：从 30 名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为 829 8 分yz xCBPGFDEQAH（）由（）知，30 名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为 9，6依题意得，
13、X的可能取值为 0,12， 9 分2615(0)7CP，196258()3CPX，2915()3CPX 12 分所以 的分布列为：.14 分18 （本小题共 13 分）解：（ ）因为 ()exf，所以 (0)1f. .2分因为 ()gxa，所以 ()ga. .4 分因为 f与 的图象在（ 0,0）处有相同的切线，所以 (0)fg，所以 1a. .5 分（）由（）知, 21()x,令 2()exhxfbgbx， 1,2，则 e(1)()x .6 分(1)当 0时， ,2， 0hx，所以 hx在上是增函数，故 ()hx的最小值为3(1)=eb； .7 分 (2)当 0b时，由 0x得， ln， .
14、8 分若 ln1，即 eb，则 1,2x， ()0hx，所以 ()hx在上是增函数，故 ()hx的最小值为3()=h. .9 分 若 1ln2b，即 2eb，则 (1,ln)xb， (0hx， (ln2)b， ， (0hx，所以 ()x在 ,l)上是减函数，在 ， 上是增函数，X0 1 2P7835故 ()hx的最小值为21(ln)=lhb； .11 分若 ln2b，即 2e，则 ,x， ()0hx，所以 ()hx在 1,2上是减函数，故 ()hx的最小值为 ()4hb. .12分综上所述，当 eb时， ()x的最小值为 3(1)=e2，当 2时， h的最小值为 lnb，当 e时， ()x的最
15、小值为 2e4. .13 分19.（本小题共 13 分）解：（）把点 (1,2)A代入抛物线 C的方程 2ypx，得 2，解得 2p，所以抛物线 的方程为 24. .4 分（）因为 2p，所以直线 px为 1，焦点 F的坐标为 (1,0)设直线 PQ的方程为 ty，21(,)4Py，2(,)Qy，则直线 O的方程为 1xy,直线 O的方程为 24xy. .5 分由 14,yx得 14(,)S，同理得 2(1,)T .7 分所以 1(2,)Fyur， 2(,)Fyur，则 1264FSyur .9 分由 2,4xty得 240t，所以 12， .11 分则 16()FSTur所以， r的值是定值
16、，且定值为 0. .13 分20 （本小题共 13 分）解：（）1246,7.4分（）存在满足题意的实数 M, 且 的最小值为 1.解法一：猜想 10nc，下面用数学归纳法进行证明.（1）当 时, ，结论成立.（2）假设当 )(*Nk时结论成立，即 10kc，当 1n时,02kc ,所以 12kc,即 ,所以 01,故 1kc.又因为 +=2k,所以 10c,所以 kn时结论也成立.综上,由（1）,（2）知, 10nc成立所以 M,当 12c时,可得当 2时, nc,此时, M的最小值为 1故 的最小值为 1. 解法二：当 n时，若存在 ,34.k满足 1k,且 k.显然 1,201kc，则2时， 1kkc与 k矛盾；1kc时， 与 矛盾；所以 0(2)n
