1、丰台区 20172018 学年度第一学期期末练习高三数学（文科）第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 ， ，所以 .故选 C.2. “ ”是“ ”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解 可得 ，易知“ ”是“ ”的充分而不必要条件，所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件.故选 A.3. 执行如图所示的程序框图，若输入的 的值为-3.7，则输出的
2、 值是（ ）A. -0.7 B. 0.3 C. 0.7 D. 3.7【答案】B【解析】执行程序框图，输入 ，不满足 ，所以 ；不满足 ，所以 ；不满足 ，所以 ；不满足 ，所以 .故选 B.4. 若 满足 则 的最大值是（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】D【解析】画出不等式组的可行域如图所示：可变形为：斜率为 ， ，平移该直线，当直线经过点 时， 最小，最大.此时 .故选 D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标
3、函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.5. 已知向量 ， ，则向量与 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】向量 ， ，所以 .所以 .设向量与 的夹角为，则 .解得 ，所以 .故选 D.6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（ ）A. 3 B. C. D. 2【答案】A【解析】由三视图可得几何体的直观图如图所示：有： 面 ABC， ABC 中， ， 边上的高为 2，所以 .该三棱锥最长的棱的棱长为 .故选 A.点睛; 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，
4、长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 轴上，线段 的中点 在抛物线上，则 （ ）A. 1 B. C. 3 D. 6【答案】C【解析】抛物线 的焦点为 ，设 ，则线段 的中点 .由 在抛物线上，得 ，解得 .故选 C.8. 全集 ，非空集合 ，且 中的点在平面直角坐标系 内形成的图形关于 轴、轴和直线 均对称.下列命题中不
5、正确的是：A. 若 ，则B. 若 ，则 中元素的个数一定为偶数C. 若 ，则 中至少有 8 个元素D. 若 ，则【答案】C【解析】 中的点在平面直角坐标系 内形成的图形关于 轴、 轴和直线 均对称.所以当 ，则有 ， ， ，进而有： ， ， ，A.若 ，则 ，正确；B.若 ，则 ， ， ，能确定 4 个元素，不正确；C.根据题意可知， ，若 能确定 4 个元素，当 也能确定四个，当 也能确定 8 个所以 ，则 中元素的个数一定为偶数正确；D.若 ，由 中的点在平面直角坐标系 内形成的图形关于 轴、 轴和直线均对称可知， ， ，即 ，故正确，故选 C.点睛：点睛：图象的变换：（1）平移：左加右减
6、，上加下减；（2）对称： 变为 ，则图象关于 y 轴对称； 变成 ，则图象关于 x 轴对称； 变成 ，则图象关于原点对称； 变成 ，则将 x 轴正方向的图象关于 y 轴对称； 变成 ，则将 x 轴下方的图象关于 x 轴对称.第卷（共 110 分）二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9. 复数 在复平面内所对应的点在第_象限【答案】二【解析】复数 ，在复平面内所对应的点为( 在第二象限.答案为：二.【答案】6【解析】年龄在 2035 岁, ，3550 岁, 5060 岁的人数比为： .3550 岁年龄段占 .所以从该单位抽取 20 人进行调查，那么在 3550 岁年龄段
7、应抽取 人.答案为：6 人11. 已知 ， ，则 _【答案】【解析】 ， ，所以 .答案为: .12. 已知直线 和圆 交于 两点，则 _【答案】2【解析】圆 ，表示圆心为(1,0)，半径为 1 的圆.圆心（1，0）满足直线 ，即该直线过圆心，所以 .答案为：2.13. 能够说明“方程 的曲线不是双曲线”的一个 的值是_【答案】 之间的数即可【解析】方程 ，当 或 3 时，曲线不是双曲线；当 且 时，化简为： ，若曲线为双曲线，则 ，解得 或 .综上，当 或 时，曲线是双曲线，当 时，曲线不是双曲线.答案为： .点睛：对于方程 有：（1） 表示为焦点在 轴上的双曲线；（2） 表示为焦点在 轴上
8、的双曲线；（3） 则表示椭圆.14. 设函数 的周期是 3，当 时， _；若 有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】函数 的周期是 3，所以 ;当 时， 为增函数，所以 ,当 时， 为减函数，所以 .若 有最小值，且无最大值，则 ，解得 .实数的取值范围是 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15. 在 中， （）求角 的值；（）若 ， ，求的值.【答案】 （1） （2）6【解析】试题分析：（）根据二倍角公式化简得 ，进而得 ；（）利用余弦定理可得 即可得的值.试题解析：解：（）因为 ，所以 .因
9、为 ，所以 ，所以 ，所以 .（）由余弦定理可得 ，所以 ，解得 或 （舍）.解得 .16. 在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 底面 ， 分别是 的中点， .（）求证： 平面 ；（）求证： 平面 ；（）若 ， ，求三棱锥 的体积【答案】 （1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析：（）由中位线定理可得 ，进而得线面平行；（）易证得 ， 从而证得线面垂直；（）由 平面 ，点 是 的中点，所以点 到平面 的距离等于 ，利用即可求解.试题解析：解：（）证明：连接 ，因为 分别是 的中点，所以 .又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（）证明：因为 ， 为 中点.所以 .又因为 是矩形，所以 .
10、因为 底面 ，所以 .因为 ，所以 平面 .因为 平面 ，所以 .又因为 ，所以 平面 .（）由（）知 平面 .因为 ，所以 平面 .因为点 是 的中点，所以点 到平面 的距离等于 .所以 ，即 .点睛：证明线面平行有两种方法，一是利用线面平行的判定定理，常常利用三角形的中位线定理或者利用平行四边形得出线线平行，进而得出线面平行；二是面面平行，证明直线所在的平面与另一个平面平行，进而说明线面平行；求体积除了直接计算外，大多都使用体积变换，利用变换顶点，转化底面，平行转化、对称转化、比例转化等，然后在进行体积计算.17. 等差数列 中， ， ，等比数列 的各项均为正数，且满足 .（）求数列 的通
11、项公式及数列 的公比 ；（）求数列 的前 项和 .【答案】 （1） , （2）【解析】试题分析：（）利用等差数列的基本量运算即可得数列 的通项公式，设等比数列 的公比为 ，由由 ，得 作比即可得公比；（）求得 ，得 ，采用分组求和 即可.试题解析：解：（）设等差数列 的公差为 .依题意 ，解得 .所以 .设等比数列 的公比为 ，由 ，得 .因为 ，且 ，所以 .因为数列 的各项均为正数，所以 .（）因为 ，令 ，得 ，因为 ，所以 ，所以 .所以.所以 .18. 某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017 年 12 月，该校“慈善义工社”为学生提供了 4 次参加公益活动
12、的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这 4 次活动的情况，该校随机抽取 100 名学生进行调查，数据统计如下表，其中“”表示参加， “”表示未参加.（）从该校所有学生中任取一人，试估计其 2017 年 12 月恰参加了 2 次学校组织的公益活动的概率；（）若在已抽取的 100 名学生中，2017 年 12 月恰参加了 1 次活动的学生比 4 次活动均未参加的学生多17 人，求 的值；（）若学生参加每次公益活动可获得 10 个公益积分，试估计该校 4000 名学生中，2017 年 12 月获得的公益积分不少于 30 分的人数.【答案】 （1） （2） (3)1080【解析】
13、试题分析：（）利用频率估计概率进行计算即可；（）依题意 ，即可得 的值；（）由 即可得解.试题解析：解：（）设“从该校所有学生中任取一人，其 2017 年 12 月恰有 2 次参加公益活动”为事件 ，则 .所以从该校所有学生中任取一人，其 2017 年 12 月恰有 2 次参加公益活动的概率为 .（）依题意 ，所以 .（） .所以估计该校 4000 名学生中，12 月获得的公益积分不少于 30 分的人数约为 1080 人.19. 已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，点 在椭圆 上， 是等边三角形.（）求椭圆 的标准方程；（）点 在椭圆 上，线段 与线段 交于点 ，若 与 的面积之比为 ，求点 的坐
14、标.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（）由椭圆 短轴上的顶点得 ，由 是正三角形得 即 ，从而求得方程；（）设 ， ，因为 ，所以 ，且 ，从而得即 ，代入椭圆方程得 ，将 代入直线 的方程得到 ，即可得解.试题解析：解：（）由题意 是椭圆 短轴上的顶点，所以 ，因为 是正三角形，所以 ，即 .由 ，所以 .所以椭圆 的标准方程是 .（）设 ， ，依题意有 ， ， ， .因为 ，所以 ，且 ，所以 ， ，即 .因为点 在椭圆上，所以 ，即 .所以 ，解得 ，或 .因为线段 与线段 交于点 ，所以 ，所以 .因为直线 的方程为 ，将 代入直线 的方程得到 .所以点 的坐标为 .20.
15、已知函数 .（）求函数 的单调区间；（）当 时，若 在 上有零点，求实数的取值范围.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（） ，结合定义域讨论导数的正负求单调区间即可；试题解析：解：（）函数 的定义域为 ，.由 得 或 .当 时， 在 上恒成立，所以 的单调递减区间是 ，没有单调递增区间.当 时， 的变化情况如下表：所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .当 时， 的变化情况如下表：所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .（）当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .所以 在 上有零点的必要条件是 ，即 ，所以 .而 ，所以 .若 ， 在 上是减函数， ， 在 上没有零点.若 ， ， 在 上是增函数，在 上是减函数，所以 在 上有零点等价于 ，即 ，解得 .综上所述，实数的取值范围是 .点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
