1、2017 届北京市丰台区高三上学期期末考试数学（文）试题（word 版）第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 (2)10AxxZ， 2,B1，那么 ABU等于(A) (B) ， (C) 0， ， (D) 210， ， ，2如果 0ab，那么下列不等式一定成立的是(A) (B) 1ab(C) 1()2ab(D) lnab3如图，矩形 ABCD中， 24A， MNPQ，向该矩形内随机投一质点，则质点落在四边形 MNQP内的概率为(A) 13(B) 38(C) 2(D) 44已知直线 m，
2、n和平面 ，如果 n，那么“ mn”是“ ”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件5平面向量 (1)，xa， =b(),y， c(24),-，如果 bc ，且 ()-abc，那么实数 x， y的值分别是(A) 2， -(B) -， (C) 12， (D) 12，6在 ABC中， 4， 2AB， 6C，则 cosB的值为(A) 12(B) 3(C) 12或 3(D) 12或 7. 学校计划在周一至周四的艺术节上展演雷雨 、 茶馆 、 天籁和马蹄声碎四部话剧，每天一部.受多种因素影响，话剧雷雨不能在周一和周四上演；茶馆不能在周一和周
3、三上演；天籁不能在周三和周四上演；马蹄声碎不能在周一和周四上演.那么下列说法正确的是(A) 雷雨只能在周二上演(B) 茶馆可能在周二或周四上演NMQPDCBA(C) 周三可能上演雷雨或马蹄声碎(D) 四部话剧都有可能在周二上演8. 已知函数 ()ln)sifxax给出下列命题：当 0a时， e,，都有 ()0f；当 e时， (+)x，都有 x；当 1时， 02,，使得 0()=f其中真命题的个数是 (A) (B) 1(C) 2(D) 3第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9. 设 i是虚数单位，则复数 21i= 10. 设双曲线 C：2(0
4、)6xya的左、右焦点分别为 1F， 2，点 P 在双曲线 C 上，如果12|0PF，那么该双曲线的渐近线方程为 11若 ，xy满足 0， ，xy+则 =2zxy的最大值为_. 12已知过点 (1),P的直线 l交圆 2:1O于 A， B两点， |2，则直线 l的方程为_ 13. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷(gu)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中415.6寸表示 115 寸416分（1寸=10 分）.节气 冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春
5、(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)清明(白露)谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至晷影长（寸）135.02641.305.269.285.467.564.3.7625.81.96.0已知易经中记录的冬至晷影长为 130.0 寸，夏至晷影长为 14.8 寸，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长应为_寸14如图，边长为 2 的正三角形 ABC 放置在平面直角坐标系 xOy 中， AC 在 x 轴上，顶点 B 与 y 轴上的定点P 重合将正三角形 ABC 沿 x 轴正方向滚动，即先以顶点 C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点 B 落在x轴上时，再以顶点 B 为旋转中心顺时针旋转，如此
6、继续当 ABC 滚动到 1AC时，顶点 B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中， OBPur的最大值为_三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题共 13 分）已知函数 ()fxsin(co3sin)x（）求 6的值；（）求函数 ()fx在区间 02， 上的最值POy xB1C1A1C(B)A16.（本小题共 13 分）已知等差数列 na满足 42a， 38（）求数列 的通项公式；（）数列 nb满足 (2)nan，求数列 nb的前 8 项和17.（本小题共 14 分）如图,三棱柱 1ABC中， ABC， 1A， 60B， D是 AB的中点（）求证：
7、1 平面 D；（）求证： 平面 1；（）若 2ABC， 6，求三棱柱 1ABC的体积18.（本小题共 13 分）近几年， “互联网+”已经影响了多个行业，在线教育作为现代信息技术同教育相结合的产物，也引发了教育领域的变革目前在线教育主要包括在线测评、在线课堂、自主学习、线下延伸四种模式为了解学生参与在线教育情况，某区从 2000 名高一学生中随机抽取了 200 名学生，对他们参与的在线教育模式进行调查，其调查结果整理如下：(其中标记“”表示参与了该项在线教育模式)B1 C1A1DBCA教育模式人数（人）在线测评 在线课堂 自主学习 线下延伸25 45 40 30 40 20 （）试估计该区高一
8、学生中参与在线课堂教育模式的人数；（）在样本中用分层抽样的方法从参与自主学习的学生中抽取 5 人，现从这 5 人中随机抽取 2 人，求这2 人都参与线下延伸教育模式的概率19.（本小题共 13 分）已知椭圆 C：21(0)xyab的右焦点为 (10)，F，离心率为 12（）求椭圆 的方程； （）过 F 且斜率为 1 的直线交椭圆于 M， N 两点， P 是直线 4x上任意一点求证：直线 PM， PF， PN 的斜率成等差数列20.（本小题共 14 分）已知函数 3()fxa()R()求曲线 yf在点 0,f处的切线方程；()若函数 ()fx在区间 (12)-， 上仅有一个极值点，求实数 a的取
9、值范围；()若 1a，且方程 fax在区间 0,a上有两个不相等的实数根，求实数 a的最小值丰台区 20162017 学年度第一学期期末练习高三数学（文科）参考答案及评分参考201701一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C D B B A D C B二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 i1 10 xy54 114 12 0yx或 01yx 1382 14 83；2 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题共 13 分）解：（）由题意可知， xxf 2sin3cosin
10、)()cos1(i1x2 分23cos2sin1xx3sin2+)(x4 分由此可知， 60f(). 6 分（）由 20x可知，4+33，进而 sin213x， 8 分当 02x时， 1,)(xf， 9 分所以函数 )(f在区间 20,上的最大值为 23，最小值为 3 13 分16 （本小题共 13 分）解：（）因为 424da，所以 2 分又 813，可得 1a， 4 分从而 2na. 6 分 （）因为 12nab 7 分 所以数列 n的前 8 项和为1024)(2188S13 分 17 （本小题共 14 分）证明：（）连接 1AC交 于 O，连接 D， 因为 ， 分别为 1AC， B的中点
11、，所以 OD 1BC 2 分OA CBDA1 C1B1又因为 1C平面 1A， OD平面 1A， 所以 平面 C. 4 分（）因为 B， 是 的中点，所以 A. 5 分又因为 1， 60，所以 B为等边三角形，所以 1ADB 7 分因为 1ADCI，所以 平面 C 9 分（）因为 与 都是边长为 2 的正三角形，所以 13，因为 6AC，所以 221D=， 所以 ， 11 分又因为 1AB ， CDI， 所以 平面 A， 即 1是三棱柱的高， 13 分故三棱柱的体积 =3.BCVS 14 分18 （本小题共 13 分）解：（）因为在样本 200 人中参与在线测试的共 150 人 2 分所以全区
12、 2000 名高一学生中参与在线课堂的人数为 1502=人 5 分（）记“抽取参加测试的 2 人都参加了线下延伸”为事件 A 6 分用分层抽样抽取的 5 人中，有 3 人参加了自主学习和线下延伸，记为 1，2，3；有 2 人参加了自主学习和在线测评，记为 a,b. 8 分6 人中抽取 2 人，共有（1，2） （1，3） （1， a） （1， b） （2，3） （2， a） （2， b） （3， a） （3， b） （ a， b）10 种取法 10 分其中事件 A 包含 3 个 11 分所以 ()10P 13 分19 （本小题共 13 分）解：（）由已知得： 2a， c，所以 23b 所以椭圆的
13、标准方程为214xy4 分（）设 1(),Mxy， 2(),Nx， (),Pn设直线 MN 的方程为： 1yx 6 分由 2143yx得： 2780x 7 分128x， 12 8 分1221121()4+()4+ =4-PMNynynxynxkx9 分12121228()()()=46nxx68+77832123n 因为 PFk ，所以 2PFMPNkk 12 分所以直线 PM， PF， PN 的斜率成等差数列. 13 分20 （本小题共 14 分）解：（）因为 2()3)fxa,所以 (0)3fa，因为 0，所以曲线 ()yfx在点 0， ()f处的切线方程为 3yax. 4分（）因为 2(
14、)3fxa，所以，当 0a时， ()f在 R上恒成立，所以 x在 上单调递增， ()fx没有极值点，不符合题意；5分当 0a时，令 ()0f得 a，当 x变化时， ()fx与 f的变化情况如下表所示：当7分因为函数 ()fx在区间 (1， 2)仅有一个极值点，所以 2,.a所以 4a. 9分() 令 3()(1)hxfxa，(-, a) ( a, ) a( ,+)()fx+ 0 - 0 + 极大值 极小值 方程 ()fxa在 0， 上恰有两个实数根等价于函数 ()hx在 0，a上恰有两个零点.231)h， 因为 a，令 (0hx，得 13a， 10分所以(0)1().3ha,所以 32011()(3)0.,aa，所以012()0.3,或aa12分因为 1a，所以 21()3恒成立.所以 2，所以实数 a的最小值为2. 14分()03a恒成立，证明如下：令 12()t，所以 23at， 3211()=aat令 2()ptt， 2()6ptt，当 3t时， ()03t，所以 ()pt在 2)， 上单调递增，所以 32()107t.（若用其他方法解题，请酌情给分）
