1、2018 届安徽省蚌埠市高三上学期第一次教学质量检查考试数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ， ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意可知 是集合 的元素，即 ，解得 ，由 ，解得 .2. 设是复数的共轭复数，且 ，则 （ ）A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D【解析】 ，故 .3. 若 满足约束条件 则 的最小值为（ ）A. -3 B. 0 C. -4 D. 1【答案】A【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点 处
2、取得最小值为 .4. “直线 不相交”是“直线 为异面直线”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B5. 已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 （ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】设等差数列 的公差为 , ,联立解得，则 ，故选 B.6. 已知 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，由于角为第三象限角，故 ， .7. 已知 ，则 （ ）A. 18 B. 24 C. 36 D. 56【答案】B【解析】 ，故 ， .8. 已知 ，下列程序框图设计的是求 的值，在“”中应填的执
3、行语句是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】不妨设 ，要计算 ，首先 ，下一个应该加 ，再接着是加 ，故应填 .9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥和一个三棱锥组合而成.故体积为.10. 已知 为双曲线 的左焦点，直线经过点 ，若点 ， 关于直线对称，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】点 ， 关于直线对称， ，又 直线经过点 ，直线的方程为 ， 的中点坐标为 ， ，化简整理得 ，即 ，解得 ， （舍去） ，故选 C.1
4、1. 已知 ，顺次连接函数 与 的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当正弦值等于余弦值时，函数值为 ，故等边三角形的高为 ，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故 .【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可.再根据 可知等边三角形的高，由此求得边长即函数的周期，再由周期公式求得 的值.12. 定义在 上的奇函数 满足：当 时， （其中 为 的导函数）.则 在 上零点的个数为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5、【答案】D【解析】构造函数 ， ，由于当 时， ，故当时， 为增函数.又 ，所以当 时， 成立，由于 ，所以 ，由于 为奇函数，故当 时， ，即 只有一个根就是 .【点睛】本题考查了零点的判断，考查了函数的奇偶性，和利用导数来研究函数的单调性.本题的难点在于构造新函数 ，然后利用导数来判断新函数的最值，进而判断出 的取值.如何构造函数，主要靠平时积累，解题时要多尝试.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ， 是两个不同的平面向量，满足： ，则 _【答案】【解析】 ， ，解得 ，当 时，两个是相同的向量，故舍去，所以 .14. 已知函数
6、图象关于原点对称.则实数的值为_【答案】【解析】依题意有 ， ， ，故.15. 已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 是坐标原点， 的延长线交 轴于点 ，若，则 点的纵坐标为_【答案】【解析】由于三角形 为直角三角形，而 ，即 为 中点，设 ，而 ，故 ，代入抛物线方程得 ，即 点的纵坐标为 .【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直角三角形斜边的中线等于斜边一半这一几何性质.首先根据题目所给的条件画出图像，突破口就在题目所给条件 ，这就联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半这一几何性质，可得 是 的中点，设出坐标，代入抛物线方程即可得到所求的结果.16. 已知 满足 ， ， ，则_
7、 （用 表示）【答案】【解析】依题意 ，与已知条件相加可得三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 在 中，角 的对边分别为 ，且 ，（1）求 的面积；（2）若 ，求 的周长.【答案】(1) （2） 的周长为【解析】 【试题分析】 （1）根据余弦定理，由 得到 ， ，在利用三角形面积公式可求得面积.（2）利用三角形内角和定理，有 ,展开后结合已知条件可求得 .利用正弦定理求得 ，利用配方法可求得 由此求得周长为 .【试题解析】（1） ， ，即 ， ；（2） ，由题意， ， ， ， ， 的周长为 18. 如图，在四棱锥 中， 是等边三角形，
8、 ， .（1）求证：平面 平面 ；（2）若直线 与 所成角的大小为 60，求二面角 的大小.【答案】(1)见解析（2）90【解析】 【试题分析】 （1）由于 是等边三角形，结合勾股定理，可计算证明 三条直线两两垂直，由此证得 平面 ，进而得到平面 平面 .（2）根据（1）证明 三条直线两两垂直，以 为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用 和 所成角为 计算出 点的坐标，然后通过平面 和平面 的法向量计算二面角的余弦值并求得大小.【试题解析】（1） ，且 是等边三角形 ， ， 均为直角三角形，即 ， ， 平面 平面平面 平面（2）以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 令 ， ， ，
9、， ， 设 ，则 ， 直线 与 所成角大小为 60，所以，即 ，解得 或 （舍） ， ，设平面 的一个法向量为 ， ，则即令 ，则 ，所以 平面 的一个法向量为 ， ， ，则即令 ，则 ， ， ，故二面角 的大小为 9019. 为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 10 件零件，度量其内径尺寸（单位： ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布 .（1）假设生产状态正常，记 表示某一天内抽取的 10 个零件中其尺寸在 之外的零件数，求及 的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：计算这一天平均值
10、 与标准差 ；一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了 5 个零件，度量其内径分别为（单位： ）：85,95,103,109,119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据： ， ， ， ， ， .【答案】(1) （2） 生产线异常，需要进一步调试【解析】 【试题分析】 （1）依题意可知 满足二项分布，根据二项分布的公式计算出 ，然后用减去这个值记得到 的值 .利用二项分布的期望公式，直接计算出 的值.（2）分别计算出均值和标准差，计算 的范围，发现 不在这个范围内，根据 原理可知需要进一步调试.【试题解析】（1）由题意知：或， ， ；（2）所以结论：需要进一步调试理由如下：如果生产线正常工作，则 服从正态分布 ，
