2011年北京高考数学理科试题及答案.doc-道客多多

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1、绝密启封并使用完毕前2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合 P=xx 21,M=a.若 PM=P,则 a 的取值范围是A(-, -1 B1, + ） C-1，1 D（-，-1 1，+ ）2复数 1iAi B-i C D435i435i3在极坐标系中，圆 =-2sin的圆心的极坐标系是A B

2、C (1,0) D(1， )(1,)2(1,)24执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为A-3 B- C D212135如图，AD，AE，BC 分别与圆 O 切于点 D，E，F，延长 AF 与圆 O 交于另一点 G。给出下列三个结论： AD+AE=AB+BC+CA；AFAG=ADAEAFB ADG其中正确结论的序号是A BC D6根据统计，一名工作组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，Cxcf,)(为常数）。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 C 和 A 的值分别是A75，25 B75，16 C60，25 D60，167某四

3、面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A8 B 62C10 D 88设 , ， , .0A4B4CttR记为平行四边形 ABCD 内部（不含边界）的整Nt点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为tA B C D9,109,1029,1210,2第二部分（非选择题共 110 分）2、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9在中。若 b=5，，tanA=2，则 sinA=_；a=_。ABC4B10已知向量 a=（，1）， b=（0，-1 ），c =（k，）。若 a-2b 与 c 共线，则 k=_。3311在等比数列a n中，a 1

4、= ，a 4=-4，则公比 q=_； _。212.na12用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有_个。（用数字作答）13已知函数若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根，则数 k 的取值范围是32,()1)xfx_14曲线 C 是平面内与两个定点 F1（-1，0）和 F2（1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹.)1(2a给出下列三个结论：曲线 C 过坐标原点；曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则F PF 的面积大于 a 。其中，所有正确结论的序号是_。1212三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明

5、，演算步骤或证明过程。15（本小题共 13 分）已知函数。()4cosin()16fxx（）求的最小正周期：（）求在区间上的最大值和最小值。()fxf,416（本小题共 14 分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，PABCDABCD.()求证：平面（）若求2,60ABD;,P与所成角的余弦值；PC（）当平面与平面垂直时，求的长.17（本小题共 13 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示。（）如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求

6、这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望。（注：方差，其中为，，的平均数）22221 nsxxxn 1x2nx18（本小题共 13 分）已知函数。（）求的单调区间；2()xkfxe()fx（）若对于任意的，都有，求的取值范围。(0,x119（本小题共 14 分）椭圆 .过点（m,0）作圆的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点.2:14xGy21xy（I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；（II）将表示为 m 的函数，并求的最大值.ABAB20（本小题共 13 分）若数列满足，数列为12,.()nnAa1(,2.1)naknnA数列，记 = （）写出一个满

7、足，且 0 的数列；E()nS12.assSAE（）若，n=2000 ，证明： E 数列是递增数列的充要条件是 =2011；1n n（）对任意给定的整数 n（n2），是否存在首项为 0 的 E 数列，使得 =0？如果存在，写出一个满足条件的 E 数列；如果不存在，说明理由。A参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （2）A （3）B （4）D （5）A （6）D （7）C （8）C二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）（10）1 （11）2 （12）14 （13）（0，1）（14）05 21n三、解答题（共 6 小

8、题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（）因为 1)6sin(co4)(xxf 1)cos2sin3(co4xx1cos2sin3x2si3i所以的最小正周期为)(f（）因为 .36,46xx所以于是，当时，取得最大值 2；2即 )(f当取得最小值1.,6,2xxx时即（16）（共 14 分）证明：（）因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD.又因为 PA平面 ABCD.所以 PABD.所以 BD平面 PAC.（）设 ACBD=O.因为 BAD=60，PA=PB=2,所以 BO=1，AO=CO= .3如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Oxyz，则P（0，

9、， 2），A（0，，0），B （1，0，0），C（0，，0）.33所以设 PB 与 AC 所成角为，则).,2(),1(CB .463|cosAP（）由（）知设 P（0，，t ）（t0），则).,1(3),31(tBP设平面 PBC 的法向量 ,则zyxm0,mBC所以令则所以03,tzyx,3.6,tz)6,3(t同理，平面 PDC 的法向量因为平面 PCB平面 PDC,),(tn所以 =0，即解得所以 PA=nm 0362t6t6（17）（共 13 分）解（1）当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为 ;451

10、x方差为 .16)4350()()3()45( 22222 s（）当 X=9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 44=16 种可能的结果，这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17，18，19，20，21 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能的结果，因此 P（Y=17）= .8162同理可得 ;41)(P;41)9(Y)(;4)20(YY所以随机变量 Y 的分布列为：Y 17 18 19 20 21P 8141481E

11、Y=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19 ）+20P （Y=20）+21P（Y=21）=17 +18 +19 +20 +21 =19814（18）（共 13 分）解：（）令，得 )(1)12xekxf 0fkx当 k0 时，的情况如下()fx与x ( )k,k( ,k)kk ),(k)(f+ 0 0 +xf124ek 0 所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当 k0 时，因为，所以不会有ekfk1)( .1,0exfx当 k0 时，由（）知在（0，+ ）上的最大值是)(xf .4)(2kf所以等价于解得 .efx1)(,0(.14)(2ekf0

13、 .3|2m由于当时，所以 .3m,3| ),3|2 mAB因为且当时，|AB|=2，所以|AB| 的最大值为 2.,2|3|4|34|2mAB3（20）（共 13 分）解：（）0，1，2，1，0 是一具满足条件的 E 数列 A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5）（）必要性：因为 E 数列 A5 是递增数列，所以 .)19,2(1kak所以 A5 是首项为 12，公差为 1 的等差数列. 所以 a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于 a2000a10001， a2000a10001 a2a11所以 a2000a19999，即

14、 a2000a1+1999. 又因为 a1=12，a 2000=2011, 所以 a2000=a1+1999.故是递增数列. 综上，结论得证。nnk即),9,2(011（）令 .,Akk cc 则因为 21112 caa,121nnca所以 3)()()()( n cAS ).2 121 ncc因为 ).,1(, nkckk 为偶数所以所以为偶数,()()*21 ccn所以要使为偶数,0(AS必须使即 4 整除 .*)(14) Nmn或亦即当 ,1,0,*(1 2414 kkkaaAENmn的项满足数列时 4k时，有),2(k;0)(1nSa;)(,144 nkSa有时当的项满足，nAENmn数列时 ,*)( ,1,024314kkkaa当不能被 4 整除，此时不存在 E 数列 An，)(,)(32m时或使得 .0)(,1nSa

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