1、12012 年上海高考数学( 理科) 试卷一、填空题(本大题共有 14 题，满分 56 分)1.计算： = (i 为虚数单位 ).i132.若集合 ， ，则 = .02|xA21|xBBA3.函数 的值域是 .1sinco)(f4.若 是直线 的一个法向量，则 的倾斜角的大小为 (结果用反三角,2ll函数值表示).5.在 的二项展开式中，常数项等于 .6)(x6.有一列正方体，棱长组成以 1 为首项， 为公比的等比数列，体积分别记为21V1,V2,Vn,，则 . )(lim2nnV7.已知函数 (a 为常数 ).若 在区间1,+ )上是增函数，则 a 的取值范围是 .|)xef(xf8.若一个
2、圆锥的侧面展开图是面积为 2的半圆面，则该圆锥的体积为 .9.已知 是奇函数，且 .若 ，则 .2)(fy1)(f 2)(xfg)1(g10.如图，在极坐标系中，过点 的直线 与极轴的夹0,Ml角 .若将 的极坐标方程写成 的形式，则6l )(f.)(f11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).12.在平行四边形 ABCD 中，A= , 边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别是边3BC、CD 上的点，且满足 ，则 的取值范围是 .|CDNBMA13.已知函数 的图像是折线段 ABC，
3、若中 A(0,0)，B( ,5)，C(1,0).函数)(xfy 21的图像与 x 轴围成的图形的面积为 .10)(xf14.如图，AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱，BC=2. 若O M xlABCDxO Ml2AD=2c，且 AB+BD=AC+CD=2a，其中 a、c 为常数，则四面体 ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题(本大题共有 4 题，满分 20 分)15.若 是关于 x 的实系数方程 的一个复数根，则 ( )i102bx(A) . (B) . (C) .(D) .3,2cb3,c1,2c1,2cb16.在 中，若 ，则 的形状是 ( )ABCCBA222sini
4、sinAB(A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定.17.设 ， . 随机变量 取值 、 、 、 、 的概4321100xx51x234x5率均为 0.2，随机变量 取值 、 、 、 、 的概率也为 0.2. 若记21x32x24x51、 分别为 、 的方差，则 ( )1D21(A) . (B) = . (C) 2，且 ，求 x 的值；(4 分),(2)若 X 具有性质 P，求证：1X，且当 xn1 时，x 1=1；(6 分)(3)若 X 具有性质 P，且 x1=1，x 2=q(q 为常数)，求有穷数列 的通项公式.(8nx,21分)2012 年上海高考数学(
5、 理科) 试卷解答一、填空题(本大题共有 14 题，满分 56 分)61.计算： = 12i (i 为虚数单位).i3解析 .ii2143)(2.若集合 ， ，则 = .02|xA|xBBA)3,(21解析 ， ，AB= .,1),()3,(213.函数 的值域是 .sinco)(f ,5解析 .xxxsin2s21,2354.若 是直线 的一个法向量，则 的倾斜角的大小为 arctan2 (结果用反三角)1,(ll函数值表示).解析 方向向量 ，所以 ，倾斜角 =arctan2.),(dlk5.在 的二项展开式中，常数项等于 160 .6)2(x解析 展开式通项 ，令 62r=0 ，得 r=
6、3，rrrrr xCxCT2661 )1(2)( 故常数项为 .0366.有一列正方体，棱长组成以 1 为首项， 为公比的等比数列，体积分别记为2V1,V2,Vn,，则 . )(limnnV 78解析 易知 V1,V2,Vn,是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，所以.78)(li n7.已知函数 (a 为常数 ).若 在区间1,+ )上是增函数，则 a 的取值范|)xef)(xf围是 ( , 1 .解析令 ，则 ，由于底数 ，故 ，|g)(gef 1e)(xf)(g由 的图像知 在区间1,+)上是增函数时，a1.)(8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2的半圆面，则该圆锥的体积为 .3解析
7、 如图， l=2，又 2r2=l=2r=1，21l所以 h= ，故体积 .3331hrV9.已知 是奇函数，且 .若 ，则 1 .2)(xfy)(f 2)(xfg)(g解析 是奇函数，则 ，所以2)(xfy 412f，3)1(f1.10.如图，在极坐标系中，过点 的直线 与极轴的夹角)0,(Ml.若将 的极坐标方程写成 的形式，则6l f.)(f)sin(16解析 的直角坐标也是(2,0) ，斜率 ，所以其直角坐标方程为 ，0,2M31k 23yx化为极坐标方程为： ， ，2sinco1)sinco(231， ，即 .(或 )1)sin(6)sin(16)(f)i(6)f(13xO MlPOr
8、l h P l2r711.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).32解析 设概率 p= ，则 ，求 k，分三步：选二人，让他们选择的nk 73C项目相同，有 种；确定上述二人所选择的相同的项目，有 种；确定另2 13C一人所选的项目，有 种. 所以 ，故 p= .12 18232k27812.在平行四边形 ABCD 中，A= , 边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别3是边 BC、CD 上的点，且满足 ，则 的取值范围是 2, 5 .|CDNBMA解析 如图建系，则 A(0,0)，B(
9、2,0)，D ( , )，C ( , ).213253设 0,1，则 ， ，tCNM| t| t|所以 M(2+ , )，N( 2t, )，2t353故 =(2+ )( 2t)+ = ，tt2 )(6)1(52tftt因为 t0,1，所以 f (t)递减， ( )max= f (0)=5，( )min= f (1)=2.ANMANM评注 当然从抢分的战略上，可冒用两个特殊点： M 在 B(N 在 C)和 M 在 C(N 在 D)，而本案恰是在这两点处取得最值，蒙对了，又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!13.已知函数 的图像是折线段 ABC，若中 A(0,0)，B( ,5)，C(1,0).
10、)(xfy 21函数 的图像与 x 轴围成的图形的面积为 .)1045解析如图 1， ，,)(21xf所以 ，,0)(212xxfy易知，y=xf( x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图 2，封闭图形 MND 与 OMP 全等，面积相等，故所求面积即为矩形 ODMP 的面积 S= .451评注对于曲边图形，上海现行教材中不出微积分，能用微积分求此面积的考生恐是极少的，而对于极大部分考生，等积变换是唯一的出路。14.如图，AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱，BC=2. 若 AD=2c，且 AB+BD=AC+CD=2a，其中 a、c 为常数
11、，则四面体 ABCD 的体积的最大值是 .1232解析 作 BEAD 于 E，连接 CE，则 AD平面 BEC，所以 CEAD，由题设，B 与 C 都是在以 AD 为焦距的椭球上，且 BE、CE 都垂直于焦距 AD，所以 BE=CE. 取 BC 中点 F，连接 EF，则 EFBC，EF=2， ，1221BECSBExyA BCDMNxyABC15图 1N xyO DM15P图 2ABCDEADBE C8四面体 ABCD 的体积 ，显然，当 E 在 AD 中点，12331BESADVcBEC即B 是短轴端点时，BE 有最大值为 b= ，所以 .2a1232maxcVc评注 本题把椭圆拓展到空间，
12、对缺少联想思维的考生打击甚大!当然，作为填空押轴题，区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点：AB=BD(同时 AC=CD)，从而致命一击，逃出生天!二、选择题(本大题共有 4 题，满分 20 分)15.若 是关于 x 的实系数方程 的一个复数根，则 ( B )i2102cbx(A) . (B) . (C) .(D) .3,cb3,1,21,2cb解析 实系数方程虚根成对，所以 也是一根，所以b=2，c=1+2=3，选 B.i116.在 中，若 ，则 的形状是 ( C )ABCCBA222snisinAB(A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D
13、)不能确定.解析 由条件结合正弦定理，得 ，再由余弦定理，得 ，a 0cos2abc所以 C 是钝角，选 C.17.设 ， . 随机变量 取值 、 、 、 、 的4321100xx51x234x5概率均为 0.2，随机变量 取值 、 、 、 、 的概率也为 0.2. 221x3x24x51x若记 、 分别为 、 的方差，则 ( A )1D2(A) . (B) = . (C) 而迅即攻下此题。1D218.设 ， . 在 中，正数的个数是 ( D )251sinannaaS21 1021,S(A)25. (B)50. (C)75. (D)100.xy2121324232627494838379解析
14、 对于 1k25，a k0(唯 a25=0)，所以 Sk(1k25)都为正数.当 26k49时，令 ，则 ，画出 k终边如右，2525其终边两两关于 x 轴对称，即有 ，)50sin(si所以 + + + +0sin1kSi131241+ + +6272k= + + + +isisi)(264 23sin)(7123+ ，其中 k=26,27,49，此时 ，50)(150k k50所以 ，又 ，所以 ，4)i(从而当 k=26,27,49 时，S k 都是正数，S 50=S49+a50=S49+0=S490.对于 k 从 51 到 100 的情况同上可知 Sk 都是正数. 综上，可选 D.评注
15、 本题中数列难于求和，可通过数列中项的正、负匹配来分析 Sk 的符号，为此，需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想。而重中之重，是看清楚角序列的终边的对称性，此为攻题之关键。三、解答题(本大题共有 5 题，满分 74 分)19.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，E 是 PC 的中点.已知 AB=2，AD=2 ，PA=2.求：(1)三角形 PCD 的面积；(6 分 )(2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.(6 分)解(1)因为 PA底面 ABCD，所以 PACD，又 ADCD，所以 CD平面 PAD，从而 CDPD. 3 分因为 PD
16、= ，CD=2，32)(2所以三角形 PCD 的面积为 . 6 分1(2)解法一 如图所示，建立空间直角坐标系，则 B(2, 0, 0)，C(2, 2 ,0)，E(1, , 1)， . 8 分),1(AE)0,(设 与 的夹角为 ，则， = .224|cosBC4由此可知，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 12 分4解法二 取 PB 中点 F，连接 EF、AF，则EFBC，从而 AEF(或其补角)是异面直线BC 与 AE 所成的角 8 分在 中，由 EF= 、 AF= 、AE=2AE2知 是等腰直角三角形，所以AEF = . 4因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 12 分
17、420.已知函数 .)1lg()xf(1)若 ，求 的取值范围；(6 分)21(0f(2)若 是以 2 为周期的偶函数，且当 时，有 ，求函数xg 10x)(xfg的反函数 .(8 分)y),解(1)由 ，得 .01x由 得 . 3 分1lg)l()2lg(02x 102xAB CDPEAB CDPExyz10因为 ，所以 ， .01x 1021xx 312x由 得 . 6 分3232(2)当 x1,2时，2x0,1，因此. 10 分)3lg()2()()() xfxggy 由单调性可得 .l,0y因为 ，所以所求反函数是 ， . 14 分13y102l,21.海事救援船对一艘失事船进行定位：
18、以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ，则救援船恰在失事船的正南方向 12 海里 A 处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线 ；定位后救援船即刻沿直线匀速前往249xy救援；救援船出发 小时后，失事船所在位置的横坐标为.t(1)当 时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时5.0t两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6 分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8 分)解(1) 时， P 的横坐标 xP= ，代入抛物线方程.t 27t2491xy中，得 P 的纵坐标 yP=3. 2 分由|AP|= ，
19、得救援船速度的大小为 海里/时. 4 分2 94由 tanOAP= ，得OAP=arctan ，故救援船速度的方向30712 307为北偏东 arctan 弧度. 6 分(2)设救援船的时速为 海里，经过 小时追上失事船，此时位置为 .vt )12,7(t由 ，整理得 .10 分22)()ttv 3)(14212tv因为 ，当且仅当 =1 时等号成立，21t所以 ，即 .25374因此，救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. 14 分22.在平面直角坐标系 中，已知双曲线 .xOy12:1yxC(1)过 的左顶点引 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成1C1的三角
20、形的面积；(4 分)(2)设斜率为 1 的直线 l 交 于 P、Q 两点，若 l 与圆 相切，求证：2OPOQ ；(6 分)(3)设椭圆 . 若 M、N 分别是 、 上的动点，且 OMON，4:22yx12求证：O 到直线 MN 的距离是定值 .(6 分)解(1)双曲线 ，左顶点 ，渐近线方程： .112C)0,(2Axy2过点 A 与渐近线 平行的直线方程为 ，即 .)(2xy1解方程组 ，得 . 2 分xy214y所以所求三角形的面积 1 为 . 4 分82|OAS(2)设直线 PQ 的方程是 .因直线与已知圆相切，bxOyPA11故 ，即 . 6 分12|b2由 ，得 .yx012bx设
21、 P(x1, y1)、Q (x2, y2)，则 .21又 ，所以2b212121)(bxO，0)(b故 OPOQ . 10 分(3)当直线 ON 垂直于 x 轴时，|ON|=1， |OM|= ，则 O 到直线 MN 的距离为 .2 3当直线 ON 不垂直于 x 轴时，设直线 ON 的方程为 (显然 )，则直线 OM 的方程为 .ky2|xyk1由 ，得 ，所以 .142xky241k241|kN同理 . 13 分2|kOM设 O 到直线 MN 的距离为 d，因为 ，222 |)|(| ONMdO所以 ，即 d= .31|1|1222 kONd 3综上，O 到直线 MN 的距离是定值 . 16
22、分23.对于数集 ，其中 ， ，定义向量集,nxX nxx210. 若对于任意 ，存在 ，使得 ，则称 X),(| tstaYYa021a具有性质 P. 例如 具有性质 P.2,1(1)若 x2，且 ，求 x 的值；(4 分),(2)若 X 具有性质 P，求证：1X，且当 xn1 时，x 1=1；(6 分)(3)若 X 具有性质 P，且 x1=1，x 2=q(q 为常数) ，求有穷数列 的通nx,21项公式.(8 分)解(1)选取 ，Y 中与 垂直的元素必有形式 . 2 分),(1aa),(b所以 x=2b，从而 x=4. 4 分(2)证明：取 .设 满足 .,1Yts),(2 021a由 得
23、 ，所以 、 异号.0)(1tsts因为1 是 X 中唯一的负数，所以 、 中之一为1，另一为 1，故 1X. 7 分假设 ，其中 ，则 .kxnknx0选取 ，并设 满足 ，即 ，Yan),(1 Ytsa),(2 021a01ntxs则 、 异号，从而 、 之中恰有一个为 1.stst若 =1，则 ，矛盾；1x若 = 1，则 ，矛盾.nnx1所以 x1=1. 10 分(3)解法一 猜测 ，i=1, 2, , n. 12 分iq12记 ，k=2, 3, , n.,12kxA先证明：若 具有性质 P，则 也具有性质 P.kkA任取 ， 、 .当 、 中出现1 时，显然有 满足 ；),(1tsat
24、kst 2a021当 且 时， 、 1.因为 具有性质 P，所以有 ， 、 ，使得 ，k ),(2as1tkA从而 和 中有一个是1，不妨设 =1.st 1假设 且 ，则 .由 ，得 ，与kAk1kxt 0),(,kx1kxts 矛盾.所以 .从而 也具有性质 P. 15 分1A现用数学归纳法证明： ，i=1, 2, , n.iq当 n=2 时，结论显然成立；假设 n=k 时， 有性质 P，则 ，i=1, 2, , k；,2kkx 1iqx当 n=k+1 时，若 有性质 P，则,11k ,2kkxA也有性质 P，所以 .,kqA取 ，并设 满足 ，即 .由此可得 s 与 t 中有且),(1qx
25、ak)(2tsa021a01tsxk只有一个为1.若 ，则 ，所以 ，这不可能；tsqxsk1所以 ， ，又 ，所以 .kkt1 1kxkqx1综上所述， ，i=1, 2, , n. 18 分iiqx解法二 设 ， ，则 等价于 .),(1tsa)(22tsa021a21stts记 ，则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于原点对称. |XBts14 分注意到1 是 X 中的唯一负数， 共有 n1 个数，,),(32xxB所以 也只有 n1 个数.),0(由于 ，已有 n1 个数，对以下三角数阵221 xxnn 1x n3121xxnnn 1x注意到 ，所以 ，从而数列的通项公式为121xxn 12211xxnn，k=1, 2, , n. 18 分1)(2kkq
