1、2007 年山东高考数学理科第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项（1）若 （i 为虚数单位） ，则使 的 值可能是（ ）cosnz21zA B C D643（2）已知集合 ， ，则 （ ）1M， 124xNZ， MNA B C D1， 00，（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A B C D（4）设 ，则使函数 的定义域为 且为奇函数的所有 值为（ 132a， ， ， ayxRa）A ， B ， C ， D ， ，11313（5）函数 的最小正周期和最大值分别为（ ）si
2、n2cos26yxxA ， B ， C ， D ，112（6）给出下列三个等式： ， ， ()()fxyfy)()fxfy，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）()(1fxfyfA B C D)3xf ()sinx2()logfx(tan（7）命题“对任意的 ， ”的否定是（ ）xR3210x正方形 圆锥 三棱台 正四棱锥A不存在 ，xR3210xB存在 ， C存在 ，x32xD对任意的 ，R10（8）某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二组，成绩大于等于 14 秒且小
3、于 15 秒； 第六组，成绩大于等于 18 秒且小于等于19 秒右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为 ，成绩大x于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 ，则从频率分布直y方图中可分析出 和 分别为（ ）xyA0.9，35 B0.9 ，45C0.1，35 D0.1 ，45（9）下列各小题中， 是 的充要条件的是（ ）pq ： 或 ； ： 有两个不同p2m623yxm的零点 ； 是偶函数():1fx:()qf ； :cosp:tant ； ABUqAA B C D（10）阅读右边的程序框图，若输入的 是 100，则输出的变n量 和 的值
4、依次是（ ）STA2500，2500 B2550 ，2550C2500，2550 D2550 ，2500（11）在直角 中， 是斜边 上的高，则下列等 AB式不成立的是（ ）A B2A2CC DB2()()CAB（12）位于坐标原点的一个质点 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向P为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 ，质点 移动五次后位于点 的概1P(23)，0 13 14 15 16 17 18 19 秒频率/组距0.360.340.180.060.040.02开始输入 n2x1nTn1n结束输出 ST，s否0ST，率是（ ）A B C D21321231312C第卷（共
5、 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分答案须填在题中横线上（13）设 是坐标原点， 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的一点，OF2(0)ypxA与 轴正向的夹角为 ，则 为 FAx60OA（14）设 是不等式组 表示的平面区域，则 中的点 到直线D1234xy ， ， ， D()Pxy，距离的最大值是 10xy（15）与直线 和曲线 都相切的半径最小的圆的20xy212540xyy标准方程是 （16）函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线log(3)1a()a且， A上，其中 ，则 的最小值为 10mxny0mn2n三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答
6、应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）设数列 满足 ， na21133naa*N（）求数列 的通项；（）设 ，求数列 的前 项和 nbanbnS（18） （本小题满分 12 分）设 和 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量 表示方程 实根c 20xbc的个数（重根按一个计） （）求方程 有实根的概率；20xbc（）求 的分布列和数学期望；（）求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 有实根的概率20xbc（19） （本小题满分 12 分）如图，在直四棱柱 中，已知 ， ，1ABCD12DCABDCAB（）设 是 的中点，求证： 平面 ；E1E 1B（
7、）求二面角 的余弦值11（20） （本小题满分 12 分）如图，甲船以每小时 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当302甲船位于 处时，乙船位于甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里，当甲1A1051B20船航行 分钟到达 处时，乙船航行到甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距22 20海里，问乙船每小时航行多少海里？0（21） （本小题满分 12 分）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 ，CxC3最小值为 1（）求椭圆 的标准方程；（）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（ 不是左右顶点） ，且以:lykxmAB，为直径的圆过椭圆
8、的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标ABl（22） （本小题满分 14 分）设函数 ，其中 2()ln(1)fxbx0b（）当 时，判断函数 在定义域上的单调性；1f（）求函数 的极值点；()fx（）证明对任意的正整数 ，不等式 都成立n2311lnBCDA1 11E北1B21A205乙 甲2007 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案第卷一、选择题（1）D （2）B （3）D （4）A （5）A （6）B（7）C （8）A （9）D （10）D （11）C （12）B第卷二、填空题（13） （14） （15） （16）21p4222()()xy8三、解答题（1
9、7） （本小题满分 12 分）解：（） ， 21133naa当 时， 2n 221n-得 ， 13n3n在中，令 ，得 1a3na（） ，nb3n， 23nS 41n -得12323()nnS即 ，1)nn1(2)34nnS（18） （本小题满分 12 分）解：（）由题意知：设基本事件空间为 ，记“方程 没有实根”为事件20xbc， “方程 有且仅有一个实根”为事件 ， “方程 有两个相A20xbcB2x异实数”为事件 ，则 ，C()126bc， ， ， ， ，2()4c， ， ， ， ， ，0Bbc， ， ， ， ， ，2()126Ccb， ， ， ， ， ，所以 是的基本事件总数为 36
10、个， 中的基本事件总数为 17 个， 中的基本事件总数为AB个， 中的基本事件总数为 17 个2又因为 是互斥事件，B，故所求概率 2179()36PC（）由题意， 的可能取值为 ，则0， ，17036，8P，2故 的分布列为： 012P173681736所以 的数学期望 28E（）记“先后两次出现的点数有中 5”为事件 ， “方程 有实数”为事件D20xbc，由上面分析得E， ，1()36PD7()36()1E（19） （本小题满分 12 分）解法一：（）连结 ，则四边形 为正方形，BEDABE，且 ，1A1 四边形 为平行四边形1DEB又 平面 ， 平面 ，1A11ABD平面 1（）以 为
11、原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的D1C， ， xyz空间直角坐标系，不妨设 ，则 ， ， ， ，A(0)D， ， (10)A， ， ()B， ， (02)C， ，1(02)A， ， ，D， ， (1)B， ，设 为平面 的一个法向量()xyz， ，nAD由 ， ，1得 20.xzy，取 ，则 1(31)， ，n又 ， ，20DC， ， (0B， ，设 为平面 的一个法向量，11()xyz， ，m1CD由 ， ，得 120.yzx，取 ，则 ，1(1)， ，m设 与 的夹角为 ，二面角 为 ，显然 为锐角，na11ABDCBCDA1AD1C1BEGBCDA1A1C1BEzyx
12、FM3cos9Amn，3即所求二面角 的余弦为 11ABDC3解法二：（）以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的1， ， xyz空间直角坐标系，设 ，由题意知：DAa， ， ， ， ， ，(0)， ， (0)， ， ()Ba， ， (02)Ca， ， 1(2)a， ， 1(0)A， ， 12， ， E， ， ， ，()， ， 1()DA， ， (0)B， ，又 ，002aa， ， ， ， ， ，1DEB平面 ， 平面 ，A， 1D1E1ABD平面 1（）取 的中点 ， 的中点 ，连结 ， ，BF1CM1F由（）及题意得知：， ，02aF， ， ()a， ， ，1A， ， 2
13、aF， ，12(0)aFDBA， ， ， ，()Ma， ， ， ， ，1FAB B CDA1D1C1BExyzFM为所求二面角的平面角1AFM 11cosA 236aaA， ， ， ，22433a所以二面角 的余弦值为 11ABDC3解法三：（）证明：如解法一图，连结 ， ，1AE设 ， ，连结 ，1AGEBFG由题意知 是 的中点，又 是 的中点，1DCD四边形 是平行四边形，故 是 的中点，AE在 中， ，1 1又 平面 ， 平面 ，GFAB1B平面 1DE 1（）如图，在四边形 中，设 ，CDAa， ， ，AB故 ，由（）得2a， ，22CEaCa，即 90DB B又 ，1平面 ，又 平
14、面 ，1C11CBB CDA1D1C1BEFMH，1BDC取 的中点 ，连结 ， ，M1AF由题意知： ，BF又 ， 1AD1D为二面角 的平面角M 1AC连结 ，在 中，11F由题意知：， ，132AFa2116BCa取 的中点 ，连结 ， ，1DCH1AM在 中，Rt， ，12Aa3M22111cosFAM22936aA3二面角 的余弦值为 11ABDC3（20） （本小题满分 12 分）解法一：如图，连结 ，由已知 ，1210AB，12036A，1B北1B21A205甲乙又 ，1280126AB是等边三角形，12由已知， ，10AB，12564在 中，由余弦定理， 221112cos45
15、BABA220()012B因此，乙船的速度的大小为 （海里/小时） 10263答：乙船每小时航行 海里3解法二：如图，连结 ，由已知 ， ，21AB1201203126A，1205Bcoss(46)ins0，2(13)4sin05i(60)cos45sin2(13)4在 中，由余弦定理，21AB 北1B21A205乙 甲221112cos05ABABA2 (3)(0)041430()AB由正弦定理，11212202(13)2sinsin4()BAA ，即 ，1245AB 1265(3)cosin0在 中，由已知 ，由余弦定理，12BA 120B2cos15A222 2(13)10(3)(10)
16、(3)04，12B乙船的速度的大小为 海里/小时10263答：乙船每小时航行 海里（21） （本小题满分 12 分）解：（）由题意设椭圆的标准方程为 ，21(0)xyab由已知得： ， ，3ac1， ，21b椭圆的标准方程为 2143xy（）设 ， ，1()Axy， 2()Bxy，联立 2.43km，得 ，22()84(3)0kx22 212264()403().4mkkmxkA， 即 ， 则，又 ，2212121123(4)()()mkyxmkxmx因为以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，AB0D，即 ，1Dk121yxA，1212()40y，2223(4)36mkmk9160解得：， ，且均满
17、足 ，12k7k2340k当 时， 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾；ml()yx()，当 时， 的方程为 ，直线过定点 27kl27k207，所以，直线 过定点，定点坐标为 l 0，（22） （本小题满分 14 分）解：（）由题意知， 的定义域为 ，()fx(1)， 32(1bxbfx设 ，其图象的对称轴为 ，2()gxb1()2x，max1当 时， ，2bax()02gb即 在 上恒成立，()3x(1)，当 时， ，1)， )fx当 时，函数 在定义域 上单调递增2b()，（）由（）得，当 时，函数 无极值点12bfx 时， 有两个相同的解 ，12b3()01xf12时， ，x， ()
18、fx时， ，12， ()0f时，函数 在 上无极值点bfx1，当 时， 有两个不同解， ， ，12()0f12bx12bx时， ， ，0b12bx20即 ， 1()， 2，时， ， 随 的变化情况如下表：0bfx()fx1)， 1x2()x，()fx 0A极小值 A由此表可知： 时， 有惟一极小值点 ，0b()fx12bx当 时， ，10212b，1()x，此时， ， 随 的变化情况如下表：ffxx1()， 1x12()x， 1x1()，()f00xA极大值 A极小值 A由此表可知： 时， 有一个极大值 和一个极小值点102b()fx12bx；21x综上所述：时， 有惟一最小值点 ；0b()fx12bx时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ；12()f 12bx时， 无极值点b fx（）当 时，函数 ，12()ln(1)fxx令函数 ，2()hx则 2223()31x当 时， ，所以函数 在 上单调递增，0x， ()0f()hx0，又 ()h时，恒有 ，即 恒成立x， ()hx23ln(1)xx故当 时，有 (0)x， 23ln(1)xx对任意正整数 取 ，则有 0， 2311lnn所以结论成立
