1、天津市耀华中学 2018 届高三年级第二次月考数学（理科）试卷第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题 故选 B2. 已知命题：函数 在 上为增函数，：函数 在 上为减函数，则在命题 ： ， ： ， ： 和 ： 中，真命题是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】C【解析】 是真命题， 是假命题， ： ， ： 是真命题. 选 C.3. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 ，则判断框内的条件是（ ）A.
2、？ B. ？ C. ？ D. ？【答案】C【解析】框图首先赋值 执行 ；判断框中的条件不满足，执行 ；判断框中的条件不满足，执行 ；判断框中的条件不满足，执行此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，输出结果为 16由此看出，判断框中的条件应是选项 C，即 ？故选 C4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个半径为 6 的球的 8 分之一由球的半径 可得 故选 B【点睛】本题考查由三视图还原几何体并求其求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键5. 在 中，如果边， ，满足 ，则 （ ）A.
3、 一定是锐角 B. 一定是钝角 C. 一定是直角 D. 以上情况都有可能【答案】A【解析】已知不等式两边平方得 ，利用余弦定理为三角形的内角， ，即 一定是锐角故选 A6. 设 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由已知可得 ， ， ，考点：对数的大小比较7. 平面内，定点 ， ， ， 满足 ，且 ，动点 ， 满足 ， ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】， 在以 为圆心的圆 上， 两两夹角相等均为 ， ，以 为原点建立平面直角坐标系，设 则 在以 为圆心，以 1 为半径的圆 上，为 的中点， 设 则 的最大值为 故选 D8. 若函
4、数 在区间 上有最小值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题 ，令 解得 ；令 解得由此得函数在 上是减函数，在 上是增函数，故函数在 处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（ 上的最小值 解得又当 时， ，故有综上知故选 C第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，将答案填在答题纸上.9. 若集合 ， ，则 _【答案】【解析】 则 A故答案为【点睛】本题考查集合的基本运算，根据条件求出集合的等价条件是解决本题的关键10. 曲线 与直线 ， 所围成的封闭图形的面积为_【答案】【解析】联立 ，得 ；曲线 与直
5、线 ， 所围成的封闭图形的面积为即答案为11. 已知双曲线 （ ， ）的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为_【答案】【解析】由题意得 ,所以双曲线的方程为12. 在极坐标系中，设 是直线： 上任意一点， 是圆 ： 上任意一点，则的最小值为_【答案】【解析】试题分析：化为直角坐标方程是， ，则圆心 到直线的距离为 ，所以 .考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线的距离公式.13. 已知等差数列 ，若 ， ，且 ，则公差_【答案】 或【解析】若 ， -得 （1）若 ，显然 ，则 ，解得 ，满足题意（2）若 ，则 又 ，得 ， 故答案为 0 或 6.14.
6、两正数， 满足 ，则 的最大值为_【答案】 .【解析】 由题意得令 ，则 ，由 ，所以 ，所以 ，所以 ，当 时， .点睛：本题考查了基本不等式的应用求最值问题，其中解答中涉及到基本不等式求解最值和利用导数研究函数的最值问题，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中合理变形，转化为函数求解最值是解答的关键.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.将解答过程及答案填写在答题纸上. 15. 设函数 （ ）.（）求函数 的最小正周期和单调递增区间；（）当 时， 的最大值为 ，求的值，并求出 （ ）的对称轴方程.【答案】(1) （ ）为 的单调递增区间;(2) 为 的对称轴.【解析】试题分析：（1
7、）求三角函数的最小正周期一般化成 ， ，形式，利用周期公式即可.（2）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再 的单调区间，只需把 看作一个整体代入 相应的单调区间，注意先把 化为正数,这是容易出错的地方. ， （3） （2）求解较复杂三角函数的最值时，首先化成 形式，在求最大值或最小值,寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；（4）求函数或 的对称轴方程时，可以把 看做整体，代入 或相应的对称轴即可试题解析：（1）则 的最小正周期 ，且当 时 单调递增即 为 的单调递增区间（写成开区间不扣分） （2
8、）当 时 ，当 ，即 时 所以 为 的对称轴考点：三角函数的化简；求三角函数周期，最值，单调性及对称轴.16. 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树个 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 和 ，且各株大树是否互不影响，求移栽的 株大树中：（）两种大树各成活 株的概率；（）成活的株数的分布列与期望.【答案】 （1）所求概率为 ;(2) ，分布列见解析。【解析】设 表示甲种大树成活 k 株，k0，1，2 1 分表示乙种大树成活 l 株，l0，1，2 ,先计算出 ,它都属于 n 次独立重复试验发生 n 次的概率.（I）相互独立试验同时发生的概率所以所求概率为 .(2)首先确定的所有可能值为
9、 0，1，2，3，4，然后分别计算出取每个值对应的概率，再列出分布列，根据分布列计算出期望值.设 表示甲种大树成活 k 株，k0，1，2 1 分表示乙种大树成活 l 株，l0，1，2 2 分则 ， 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有, .据此算得 , , . 3 分, , .() 所求概率为 . 6 分() 解法一：的所有可能值为 0，1，2，3，4，且, 7 分,8 分= 9 分. 10 分. 11 分综上知有分布列0 1 2 3 4P 1/36 1/6 13/36 1/3 1/9从而，的期望为 （株） 13 分解法二：分布列的求法同上令 分别表示甲乙两种树成活的株数，则 10 分
10、故有 从而知17. 如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ， 为 的中点， ，四棱锥 的体积为 .（）求证： 平面 ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值；（）求二面角 的正弦值.【答案】(1)见解析；（2）直线 与平面 所成的正弦值为 ；（3）二面角 的正弦值为.【解析】试题分析：（1）连接 ，设 与 相交于点 ，连接 ，设法证明 ，即可证明平面 ；（2）作 ，垂足为 ，则 平面 ，设 ，在 中， ，利用四棱锥 的体积，可求得 ，可证 平面 ，即 平面 .则以点 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴和轴，建立空间直角坐标系 .求出平面的一个法向量为 ，又 ，从而可求直线 A1C1与平
11、面 BDC1所成角的正弦值；（3）由（2）可求得平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则可求求二面角 的正弦值试题解析：（1）证明：连接 ，设 与 相交于点 ，连接 ，四边形 是平行四边形，点 为 的中点. 为 的中点， 为 的中位线， 平面 ， 平面 ， 平面（2）解：依题意知， ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，且平面 平面 .作 ，垂足为 ，则 平面 ，设 ，在 中， ，四棱锥 体积 ，即 . ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，即 平面 .以点 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴，轴和轴，建立空间直角坐标系 .则 ， ， ， ， . ， .设平面 的法向量为 ，由 及 ，得令 ，得 ， .故平面 的一个法向量为 ，又.直线 与平面 所成的正弦值为 .（）平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为二面角 的正弦值为 .
