1、1圆锥曲线知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨21,F|21F迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 表示椭圆； 表示线段 ； 没有轨迹；|21Fa|21a21|21a（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴上y标准方程 )0(2byax )0(12baxy图 形 xOF1 F2P yA2A1B1B2xOF1F2PyA2B2B1顶 点 ),0(,(21ba ),0(,()21ab对称轴 轴， 轴；短轴为 ，长轴为xyb2焦 点 ),(,(21cF),(,0(21cF焦
2、距 )|1bac离心率 （离心率越大，椭圆越扁）0(ea通 径 （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）2ba3常用结论：（1）椭圆 的两个焦点为 ，过 的直线交椭圆于 两)0(12bayx 21,F1BA,点，则 的周长= ABF（2）设椭圆 左、右两个焦点为 ，过 且垂直于对称轴的直线)(2byax 21,1A12交椭圆于 两点，则 的坐标分别是 QP, |PQ二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的21,F|21F轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 与 （ ）表示双曲线的一支。aPF2|1aP|12
3、|21F表示两条射线； 没有轨迹；|22a|F（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴上y标准方程 )0,(12bayx )0,(12baxy图 形 xOF1 F2P yA2A1xOF1PB2B1F2顶 点 )0,(,21a ),0(,2a对称轴 轴， 轴；虚轴为 ，实轴为xyb2焦 点 ),(,21cF),(,21c焦 距 )0|12ac离心率 （离心率越大，开口越大）(ea渐近线 xbyxby通 径2b（3）双曲线的渐近线：求双曲线 的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得 ，因式分解得到 。12byax 02yax0xyaby3与双曲线 共
4、渐近线的双曲线系方程是 ；12byax 2byax（4）等轴双曲线为 ，其离心率为2t（4）常用结论：（1）双曲线 的两个焦点为 ，过 的直线交双曲线)0,(12byax 21,F1的同一支于 两点，则 的周长= BA,F（2）设双曲线 左、右两个焦点为 ，过 且垂直于对称轴的),(2yx 21,1直线交双曲线于 两点，则 的坐标分别是 QP, |PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质： 0p焦点在 轴上，x开口向右焦点在 轴上，x开口向左焦点在 轴上，y开口向
5、上焦点在 轴上，y开口向下标准方程 py2py2px2px2图 形 xOFPylOFP y lxOFPylxOFPylx顶 点 )0,(对称轴 轴x 轴y焦 点 )0,2(pF),2(pF)2,(pF)2,0(pF离心率 1e准 线 xxyy通 径 p24焦半径 2|0pxPF 2|0pyPF焦点弦焦准距 p四、弦长公式： |14)(1|1| 22212212 AkxxkxkAB 其中, 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程的判别式和 的系数2x求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去 y,得关于 x 的一元二次方程 设 ，
6、，由韦达定理求出 ，,0CBA),(1yxA),(2BAB21；（3）代入弦长公式计算。x21法（二）若是联立两方程，消去 x,得关于 y 的一元二次方程 则相应的弦长,02CyA公式是： |)1(4)()1|)1(| 22121222 AkkykAB 注意（1）上面用到了关系式 和|)(| 212121 xxx|4)(212121 Ayyy注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去
7、 y,得关于 x 的一元二次方程 设 ， ，由韦达定理求出 ；（3）,0CBxA),(1yxA),(2BAB21设中点 ，由中点坐标公式得 ；再把 代入直线方程求出 。),(0yM0x0x0y法（二）：用点差法，设 ，),(1yx5，中点 ，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过 A、B 两点斜率公式，列出),(2yxB),(0yxM5 个方程，通过相减，代入等变形，求出 。0,yx六、求离心率的常用方法：法一，分别求出 a,c，再代入公式法二、建立 a,b,c 满足的关系，消去 b,再化为关于 e 的方程，最后解方程求 e (求 e 时，要注意椭圆离心率取值范围是 0e1，而双曲线离心率取值范围是 e1)
