1、助飞教育1圆锥曲线知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨21,F|21F迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 表示椭圆； 表示线段 ； 没有轨迹；|21Fa|21a21|21a（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴上y标准方程 )0(2byax )0(12baxy图 形 xOF1 F2P yA2A1B1B2xOF1F2PyA2B2B1顶 点 ),0(,(21ba ),0(,()21ab对称轴 轴， 轴；短轴为 ，长轴为xyb2焦 点 ),(,(21cF),(,0(21
2、cF焦 距 )|1bac离心率 （离心率越大，椭圆越扁）0(ea通 径 （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）2ba3常用结论：（1）椭圆 的两个焦点为 ，过 的直线交椭圆于 两)0(12bayx 21,F1BA,点，则 的周长= ABF（2）设椭圆 左、右两个焦点为 ，过 且垂直于对称轴的直线)(2byax 21,1A1助飞教育2交椭圆于 两点，则 的坐标分别是 QP, |PQ二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的21,F|21F轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 与 （ ）表示双曲线的一支。aPF
3、2|1aP|12|21F表示两条射线； 没有轨迹；|22a|F（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴上y标准方程 )0,(12bayx )0,(12baxy图 形 xOF1 F2P yA2A1xOF1PB2B1F2顶 点 )0,(,21a ),0(,2a对称轴 轴， 轴；虚轴为 ，实轴为xyb2焦 点 ),(,21cF),(,21c焦 距 )0|12ac离心率 （离心率越大，开口越大）(ea渐近线 xbyxby通 径2b（3）双曲线的渐近线：求双曲线 的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得 ，因式分解得到 。12byax 02yax0xyab
4、y助飞教育3与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 ；12byax 2byax（4）等轴双曲线为 ，其离心率为2t（4）常用结论：（1）双曲线 的两个焦点为 ，过 的直线交双曲线)0,(12byax 21,F1的同一支于 两点，则 的周长= BA,F（2）设双曲线 左、右两个焦点为 ，过 且垂直于对称轴的),(2yx 21,1直线交双曲线于 两点，则 的坐标分别是 QP, |PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质： 0p焦点在 轴上，x开口向右焦点在 轴上，x开口向
5、左焦点在 轴上，y开口向上焦点在 轴上，y开口向下标准方程 py2py2px2px2图 形 xOFPylOFP y lxOFPylxOFPylx顶 点 )0,(对称轴 轴x 轴y焦 点 )0,2(pF),2(pF)2,(pF)2,0(pF离心率 1e准 线 xxyy通 径 p2助飞教育4焦半径 2|0pxPF 2|0pyPF焦点弦焦准距 p四、弦长公式： |14)(1|1| 22212212 AkxxkxkAB 其中, 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程的判别式和 的系数2x求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去 y,得关
6、于 x 的一元二次方程 设 ， ，由韦达定理求出 ，,0CBA),(1yxA),(2BAB21；（3）代入弦长公式计算。x21法（二）若是联立两方程，消去 x,得关于 y 的一元二次方程 则相应的弦长,02CyA公式是： |)1(4)()1|)1(| 22121222 AkkykAB 注意（1）上面用到了关系式 和|)(| 212121 xxx|4)(212121 Ayyy注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥
7、曲线方程；（2）联立两方程，消去 y,得关于 x 的一元二次方程 设 ， ，由韦达定理求出 ；（3）,0CBxA),(1yxA),(2BAB21设中点 ，由中点坐标公式得 ；再把 代入直线方程求出 。),(0yM0x0x0y法（二）：用点差法，设 ，),(1yx助飞教育5，中点 ，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过 A、B 两点斜率公式，列出),(2yxB),(0yxM5 个方程，通过相减，代入等变形，求出 。0,yx六、求离心率的常用方法：法一，分别求出 a,c，再代入公式法二、建立 a,b,c 满足的关系，消去 b,再化为关于 e 的方程，最后解方程求 e (求 e 时，要注意椭圆离心率
8、取值范围是 0e1，而双曲线离心率取值范围是 e1)例 1：设点 P 是圆 24xy上的任一点，定点 D 的坐标为（8，0），若点 M 满足2MD当点 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹方程解 设点 M 的坐标为 ,xy，点 P 的坐标为 0,xy，由 2P，得 0,28xy，即 316， 3因为点 P 在圆 24xy上，所以 204xy即223164xy，即 29，这就是动点 M 的轨迹方程例 2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点 53(,)2，求椭圆的标准方程解法 1 因为椭圆的焦点在 x轴上，所以设它的标准方程为21(0)xyab，由椭圆的定义可知： 222253532
9、(0(a） （ ） ） （ ）10a又 22,6cbc所以所求的标准方程为 2106xy解法 2 22, 4a，所以可设所求的方程为24a，将点 53(,)代人解得： 10 所以所求的标准方程为 2106xy助飞教育6例 3.例 4. 习题：1已知椭圆长半轴与短半轴之比是 5：3，焦距是 8，焦点在 x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）（A） 1（B） 1 （C ） 1 （D） 15x23y25x9yx2y925y2以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）（A） （B） （C ） （D）2333. 已知椭圆 x22y 2m，则下列与 m 无关的是（ ）（A）焦点坐标 （B）
10、准线方程 （C ）焦距 （D）离心率4. 椭圆 mx2y 21 的离心率是 ，则它的长半轴的长是（ ）23助飞教育7（A）1 （B）1 或 2 （C ）2 （D） 或 125 椭圆的中心为 O，左焦点为 F1，P 是椭圆上一点，已知PF 1O 为正三角形，则 P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是（ ）（A） 1 （B）3 （C ） （D）136.若椭圆 =1 的准线平行于 y 轴，则 m 的取值范围是 。my23x7椭圆的长半轴是短半轴的 3 倍，过左焦点倾斜角为 30的弦长为 2 则此椭圆的标准方程是 。8. 椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等
11、于椭圆的焦距，又已知直线 2xy4=0 被此椭圆所截得的弦长为 ，求此椭圆的方354程。9. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率 e= ，长轴长为 6，那么椭圆的方程是（ ）。32（A） + =1 （B） + =1 或 + =1 36x20yx0y2x23y（C） + =1 （D） + =1 或 + =19595910 椭圆 25x216y 2=1 的焦点坐标是（ ）。（A）( 3, 0) （B） ( , 0) （C）( , 0) （D）(0, )3120320311. 曲线 =1 与曲线 =1 (k4) （D ） 1 (x3) 19 双曲线 1 的渐近线方程是 ( )36249y（A） 0 （
12、B） 0 （C ） 0 （D） 03649x67y76y20. 双曲线 x2ay 21 的焦点坐标是（ ）（A）( , 0) , ( , 0) （B）( , 0), ( , 0) aaa1a1（C）（ , 0）,（ , 0） （D）( , 0), ( , 0)121. 设双曲线 (ba0)的半焦距为 c，直线 l 过(a, 0)、(0, b)两点，已知原点到yax2直线 l 的距离是 c，则双曲线的离心率是（ ）43（A）2 （B） （C） （D）2322. 双曲线 1 的离心率是 。9x27y23, 已知方程 + =1 表示双曲线，则 k 的取值范围是 。k3224. 双曲线 4x2 =1
13、的渐近线方程是（ ）。9y（A）y= x （B）y = x （C）y= x （D）y =6x3612325. 若双曲线与椭圆 x24y 2=64 共焦点，它的一条渐近线方程是 x y=0，则此双曲3助飞教育9线的标准方程只能是（ ）。（A） =1（B） =1 （C） =1 （D） =136x21y3621x36x2y36y2x26和椭圆 =1 有共同焦点，且离心率为 2 的双曲线方程是（ ）。59（A） =1 （B） =1 （C） =1（D） =14x21y4x21y6x14y6x21y27. 双曲线的两准线间的距离是它的焦距的 ，则它的离心率为 。328. 双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的
14、线段，则离心率 e= 。29. 中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(1, 3) 的等轴双曲线的方程是 。30. 渐近线是 =0，且经过 P(6 , 8)的双曲线方程是 。3x4y231. 和椭圆 =1 有公共的焦点，离心率 e= 的双曲线方程是 。92 532. 59. 实系数一元二次方程 ax2bx c=0 的系数 a、b、c 恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距，且此二次方程无实根，求双曲线离心率 e 的范围。33. 过双曲线 =1 的左焦点 F1，作倾斜角为 的直线与双曲线交于两点9x216y4A、B，求|AB|的长。34. 抛物线 y2=8x 的准线方程是（ ）。（A）x= 2 （B）
15、x =2 （C ）x=4 （D）y=235.AB 是过抛物线 y24x 焦点 F 的弦，已知 A，B 两点的横坐标分别是 x1 和 x2，且x1x 26 则|AB|等于（ ）（A）10 （B）8 （C）7 （D）636. 经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ）（A）y 24x （B）x 2 y (C) y24x 或 x2 y (D) y24x 或 x24y1137.顶点在原点，焦点是 F(6, 0)的抛物线的方程是 。38. 抛物线 x24y 的焦点为 F，A 是抛物线上一点，已知|AF|42 ，则 AF 所在直线方程是 。39,抛物线 y= 的准线方程是（ ）。8（A）y= （B）y =
16、2 （C ）y= （D）y=432141助飞教育1040. 已知点(2, 3)与抛物线 y2=2px (p0) 的焦点的距离是 5，则抛物线的方程是 。41. 抛物线 x2=4y 上有一点 Q 到焦点的距离为 3，那么 Q 点的纵坐标是（ ）。（A）2 （B）2 （C ）4 （D）142. 如果抛物线 y2=px (p0)和圆(x2) 2y 2=3 在 x 轴上方相交于 A、B 两点，且弦 AB 的中点 M 在直线 y=x 上，求抛物线的方程。43. 抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且点(5, 2 )在抛物线上，则抛物线的方5程为（ ）。（A）y 2=4x （B）x 2= y （C）y 2=4x 或 x2= y （D ）x 2=4y544. 抛物线 y=4x2 的准线方程是（ ）。（A）x= 1 （B）y =1 （C ）x= （D）y=1616
