复合函数的单调性.doc-道客多多

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1、1函数的值域与函数的单调性我们将复习函数的值域与函数的单调性两部分内容通过本专题的学习，同学们应掌握求函数值域的常用方法；掌握函数单调性的定义，能用定义判定函数的单调性；会判断复合函数的单调性；了解利用导数研究函数单调性的一般方法知识要点一函数的值域求函数值域的方法主要有：配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图象法，利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数求值域等二函数的单调性1定义如果对于给定区间上的任意两个自变量的值 x1、x 2，当 x1f(x2)，那么就称 f(x)在这个区间上是减函数如果 y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说 y=f(x)在这一区

2、间上具有严格的单调性，这一区间叫做 f(x)的单调区间注：在定义域内的一点处，这个函数是增函数还是减函数呢？函数的单调性是就区间而言，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题2函数单调性的运算规律在共同的定义域上，设“f 型 ”是增函数， “g 型”是减函数，则：（1）f 1(x)+f2(x)是增函数；（2）g 1(x)+g2(x)是减函数；（3）f(x)-g(x) 是增函数；（4）g(x)-f(x) 是减函数典型例题一函数值域的求法（一）配方法例 1 的值域求函数 234xy解：2.42)1(204)(142yxxy值域例 2 求函数

3、y=2x+2-34 x(-1x0) 的值域解 y=2x+2-34x=42x-322x令 2x=t101t3411, 34)2(9433minmax22yttty例 3 的值域求函数 xx5解： 305x得由函数定义域为3,5204)4(12)5(2 2yxxy又 ,函数的值域为例 4若实数 x、y 满足 x2+4y2=4x，求 S=x2+y2 的值域解：4y 2=4x-x20x 2-4x0，即 0x4331)2(434222 xxyxS当 x=4 时，S max=16当 x=0 时，S min=0值域 0S16例 5已知函数 y=f(x)=x2+ax+3 在区间 x-1,1

4、时的最小值为-3，求实数 a 的值分析：的2)( xxfy 称轴的抛物线，由于它的对的图象是一条开口向上因为位置取决于 a，而函数的自变量 x 限定在-1，1内，因此，有三种可能性，应分别加以讨论解： 43)2()2axfy7 34)1(1)1( mina afy时，即当 )(6234)2(212)2( 2min 舍得，时，即当 afya7 34)1()3( ina af时，即，当综合（1）（2）（3）可得：a=7（二）判别式法例 6 的值域求函数 321xy解由已知得 (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*)2

5、10123(*)0)(yy式：，代入，则若（2）若 2y-10，则x R=(2y-1) 2-4(2y-1)(3y-1)04即 (2y-1)(10y-3)021031y值域例 7 的值域求函数 642xy解由已知得 (y-1)x2+(y-4)x-(6y+3)=0 (*) 若 y=1，代入（*）式-3x-9=0x=-3，此时原函数分母 x2+x-6 的值为 0y1 若 y1，则xR=(y-4) 2+4(y-1)(6y+3)0化简可得(5y-2) 20，则 yR.51523(*)yyx且值域式得时，代入但当说明：分母 ”的方法，化成的值域，常

6、可利用 “去求形如 fexdcbay2m(y)x2+n(y)x+p(y)=0 的形式，再利用 xR，由 0 求出 y 的取值范围，但需注意两点：（1）要分 m(y)=0 和 m(y)0 两种情况讨论，只有 m(y)0 时，才可利用判别式；（2）在求出 y 的取值范围后，要注意“=”能否取到（三）换元法例 8 的值域求函数 2341823xx解： 204)2(4)3(183)(2222txtty，知由，则令y max=1，y min=-235原函数值域 -23y1例 9 的值域，试求函数的值域是已知 )(21)(94,83)( xfxfgyxf 解： 8

7、7,921973 21,31)(2)(21 )()31214)(29183maxinyyttty txfxff时，当时，当，而，则令（四）利用函数的单调性例 10 的值域求函数 12xy解：均在定义域内单调递增， 211)(1minyxyx原函数值域时当的定义域是而调递增在公共定义域范围内单例 11 的值域，求函数已知 xxx 12,0解：在定义域范围内单增，在定义域范围内单调递 yy 221调递减621)(021,0maxinyxy原函数值域时当时当内

8、单调递增在说明在利用函数的单调性求值域时，应注意如下结论：在共同定义域上，设“f 型”是增函数， “g 型”是减函数，则（1）f 1(x)+f2(x)是增函数；（2）g 1(x)+g2(x)是减函数；（3）f(x)-g(x)是增函数；（ 4）g(x)-f(x) 是减函数但当两个单调函数之间的运算符号为“x”、 “”时，则不具有这种规律（五）基本不等式法这种方法是利用如下的“基本不等式”和与“复数的模”有关的不等式求函数值域 )()3(,3)2( ),)2,1时取等号均为正数，当且仅当、这里时取等号为正数，当且仅当这里cba cbacb

10、10x-10-x即 y102x+y=102x-11+y=(1-y)10 2x1101lg2yyyyxx的值域是即原函数定义域即（七）利用已知函数的值域例 16 的值域求函数 xycos3in解利用三角函数的值域来求值域，把函数式去分母变形得：ycosx-sinx=1-3y843,001|3|1|)sin(|i,ta 31)sin1cos1(22222所以函数的值域为解得：，所以因为令即 yyxyy yxx（八）图象法例 17 的值域求 2)(|1|xy解： )2(123|xx由图象知：值域为 y3（九）利用导数求值域此种方法在本学期学习导

11、数的应用时已作了详尽的阐述，这里就不再多说了二函数的单调性（一）函数单调性的判定1利用已知函数的单调性例 1 若 y=(2k+1)x+b 是 R 上的减函数，则有（）21)(21)(kDkCBA解：选 D说明：函数 y=kx+b，当 k0 时是增函数；k=0 时是常函数；k0当 x1x20 时，有 x12+x1x2+x220f(x 2)-f(x1)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)0即 f(x1)f(x2)上是减函数在 ,0(xfii）设 x1，x 21,+)，且 x10 ，得 x-1 或 0x1令 g(x)0 即 f(x1)f(x2)所以，当 a1 时，函数 f(x)在0

12、，+)上是单调减函数满足存在两点时，在区间当 ,1,0,00)( 221axf(x1)=1，f(x 2)=1，即 f(x1)=f(x2)，所以函数 f(x)在区间0,+ ) 上不是单调函数综上，当且仅当 a1 时，函数 f(x)在区间 (0,+ 上是单调函数例 12 定义在 R+上的函数 f(x)满足f(2)=1 ，f(xy)=f(x)+f(y) 当 xy 时，有 f(x)f(y)，如果 f(x)+f(x-3)2，求 x 的取值范围解 f(x)+f(x-3)=f(x2-3x)2=2f(2)=f(2)+f(2)=f(4)由知 x2-3x4 x2-3x-40又f(x) 定义域为

13、x043413043)(2 xxxxx练习题值域与最值A 组一选择题1已知 I = R，函数 y = lgx 的值域为 P，y = ax（a 0 且 a1）的值域为 M，则下列等式中不正确的是（）（A）（ IM）P = （B）MP = P （C）P（ IM）= R （D ）P M = M142,1)(3,1)(2,1)(2,0)( )(. DCBAxy的值域为函数 ),0()1,0)(2,0)(21,)(.3 xy的值域是函数 3,(),3,()0 ).4 DCBAxxf的反函数的定义域为函数5函数 y = f(x)的值域是-2，2，则函数 y = f (

14、x + 1)的值域是（）（A）-1，3 （B）-3，1 （C）-2，2 （D）-1，1二填空题6若 x + 2y = 4，x0，y0，则 lgx + lgy 的最大值是_ 的取值则实数有两个不同的交点与曲线已知直线 mxym,1.72范围是_8f (x) = ax2 c（a 0），如果 -4f (1)-1，-1 f (2)5，那么 f (3)的取值范围是_ _21.10sin9的值域是函数的值域是函数 xy三解答题的值域求函数 43.的值域求函数的值域求函数 )230()3)2(11.2xxy15B 组一选择题1函

15、数 y = -x2 2x +3（-5 x0）的值域是（）（A）（-，4 （B） 3，12 （C）-12，4 （D）4 ，12)()1()1log. 的值域是且函数 aa（A）（-，+）（B）（-，0）（0，+）（C）（-，0）（D ）（0，+ ）既无最大值也无最小值最大值为最小值为最大值为则上移动在第一象限且在直线若点 )(23)( 11 )(logl,632),(.3 2323yxyxyx )(,19,.4 的最小值为则且已知 yxyxRyx（A）6 （B） 12 （C）16 （D）245函数 y

16、 = x (x 2)的定义域为a，b ，值域为-1，3，则点（a，b）的轨迹是右图的（A）点 H（1，3）和 F（-1 ，1）（B）线段 EF， GH（C）线段 EH，FG （D ）线段 EF，EH6已知函数 f (x) = 2x 1，g (x) = 1 x2，构造函数 F (x)，定义如下：当|f (x)|g (x) 时，F (x) = |f (x)| ，当|f (x)| g (x)时，F (x) = -g (x)，那么 F (x)（）（A）有最小值 0，无最大值（B）有最小值-1，无最大值（C）有最大值 1，无最小值（D ）无最小值，也无最大值二填空题7实数 x，y 满足 xy0

17、且 x2y = 2，则 xy + x2 的最小值是_8设 x，yR +，x + y + xy = 2，则 x + y 的取值范围是_ _)40(42.10_1922的值域是函数的值域是函数 xy三解答题 3,1)(1)(. 2的值域为已知函数 bxcf16（1）求实数 b、c 的值（2）判断函数 F (x) = lg f (x)在 x-1，1上的单调性，并给出证明 .23.122的值域求函数 xy13f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且满足如下两个条件：对于任意的 x、yR，有 f (x + y) = f (x) + f (y)当 x0 时，f (x)

18、 0，且 f (1) = -2求函数 f (x)在-3，3上的最大值和最小值 . .)4(log)2(l) ,03log7.1425.025.0的最大值和最小值函数时求当的解集为已知不等式 xxf Mxx 函数的单调性A 组一选择题（共 20 分）1已知函数 f (x)在 R 上是增函数，若 a + b0，则（）Af (a) + f (b)f (-a) + f(-b) Bf (a) + f(b)f (-a) f(-b)Cf (a) + f (-a)f (b) + f (-b) Df (a) + f (-a)f (b) f (-b)(|)1(log|)(.22

19、的单调递减区间为xA(0，2 B （ 1，2 C （-1，0 D （1，+）173若 a1，且 a-x + logaya -y + logax，则 x、y 之间关系为（）Axy0 Bx = y0Cyx0 D不确定，与 a 值有关4已知 F(x) = f (x) f (-x)，其中 lg f (x) + x = 0，则 F(x)是（）A单调递增的奇函数 B单调递增的偶函数C单调递减的奇函数 D单调递减的偶函数 )3(2()1(.)3(21()3(. 13)( )2(,),(,3,0(.5 fffDfffCBA ffxf小关系是之间大那么上单调递增在区间

20、已知偶函数二填空题（共 20 分）6若 f (x) = (m 1)x2 + mx + 3（xR）是偶函数，则 f (x)的增区间是_7已知 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且在0，+ )上单调递增，那么使 f (-2)f (a)的实数 a 的取值范围是_ 的单调递的单调递减区间是的递减区间是函数的递减区间是函数是则此函数单调递减区间时当函数 )23(log_,)21(.0 _1,.9 02)(log832 xyyxyya 减区间为_三解答题（共 15 分）的单调区间求出函数的单调性讨论函

21、数 xyaf23.12)0()(.B 组1已知函数 f (x) = log2x，且函数 g (x)的图象与 f (x)的图象关于直线 y = x 对称，则函数 g (x2)是（）18（A）奇函数，且在（0， +）上单调递减（B）奇函数，且在（-，0）上单调递减（C）偶函数，且在（0，+）上单调递增（D）偶函数，且在（-，0）上单调递增2已知 f (x) = x2 + cosx，则（）)47()5()2()2(45()7() 477 fffDfffCBA )(sin)(coco3si,)(.3 xffxf 则不等式组在实数集上是减函数已知函数的解集是（）)(

22、23,2()()24,2()4, ZkkDZkkCBA :,0|1lg).4 有下列命题关于函数 Rxxf函数 y = f (x)的图象关于 y 轴对称在区间（-，0）上，f (x)是减函数函数 f (x)的最小值是 lg2 在区间（1，+）上，f (x) 是增函数其中正确命题是（）（A）（B）（C）（D）仅正确 212|)(210|)( 0|)()(log ,0)21(,(.54 xxDxxCBAxf fxfR或或的解集为式则不等且上是增函数在的偶函数已知定义域为6已知定义域为 R 的偶函数 y = f (x)的一个单调递增区间是（

23、 2，6），则函数 y = f (2 x)的（）（A）对称轴为 x = -2 且一个单调递减区间是（4，8）（B）对称轴为 x = -2 且一个单调递减区间是（0，4）（C）对称轴为 x = 2，且一个单调递增区间是（4，8）（D）对称轴为 x = 2，且一个单调递增区间是（0，4）二填空题19_321.8)65(log.72的单调递增区间是函数的单调递增区间是函数 xy _),4(),56(),3( ,2)(,()9的大小顺序是、则记时为增函数在且满足已知函数 cbafcfbfa xfRxf 10教师给出一个函数 y = f

24、(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于 xR，都有 f (1 + x) = f (1 x)；乙：在（-，0上函数递减；丙：f (0) 不是函数的最小值；丁：在（0，+）上函数递增如果其中恰有 3 人说得正确，请写出这样一个函数：_三解答题 xxf2log1)(.13已知函数（I）判断函数的单调性，并加以证明 )()( fx为何值时有当上的在试判断函数且已知 ),0(),10()1)(log.122 xfaaxfa单调性.13设函数 f (x)是定义在（-，+）上的增函数，如果不等式 f (1 ax x2)f (2 a)对于任意 x0，1都成

25、立，求实数 a 的取值范围.2014已知 f (x) = x2 + c，且 f (f (x) = f (x2 + 1)（1）设 g (x) = f (f (x)，求 g (x)的解析式 ,)1,(),),()(2 内是减函数在使试问是否存在实数设 xf 并在（-1 ，0）内是增函数？练习题答案及提示值域与最值A 组一选择题1A 2D 3B 4D 5C二填空题6lg2 1,(.0392,.8)7三解答题11用换元法 )0(4)1(2721043 273)(tttyxt xx则令故当 t = 1 时 y 有最大值 4即 y 的值域为（-，421)“123 (13)2()23(

26、,030)( )5)“4,1( 531)(231(03)1.2 3 时取即当且仅当另知由所求函数值域为时取即当且仅当 xx xxxyx xxy所求函数值域为（0，1.B 组一选择题1C 2B 3A 4C 5D 6B二填空题73 2,0.1|9),.8yy或三解答题 (*)0 )2(,1.2 yc bxyRxxcb整理得去分母知由当 y 20 时，由 xR，有= b2 4 (2 y) ( c y) 0，即 4y2 4 (2 + c) y + 8c b20 .2,0., ,31831 cbc b又得解之且得方程的关系由题设及二次不等

27、式与当 y 2 = 0 时，将 b = -2，c = 2 代入（*）式中，得 x = 0 b = -2，c = 2 为所求)1(12 1,1)(212 221 xx xuxu 则取令|x 1| 1，|x 2| 1，x 1x 2|x 1x2|1 即 1 x1x20而 x2 x10 u 1 u20 即 u1u 2由于 u0 lgu 1lgu 2即 F(x1)F(x 2)22故 F(x)在 x-1 ，1上是减函数. 023)(23 ),0249)1(,)1( .(0)123,023 ,23),1,(.122 2 yyx yxyy xy得代入然后将的矛盾式会得出否则这里得由

28、的取值范围确定由两边平方得该函数定义域为 ),2),1( 故原函数的值域为或即13设 0x 1x 23，则由条件（1）得f (x2) = f(x2 x1) + x1 = f(x2 x1) + f (x1)即 f (x2 x1) = f (x2) f (x1)x 2 x10，由条件（2）得 f (x2 x1)0f (x 2) f (x1)0 即 f (x1)f (x 2)f (x)在0，3上是减函数又 f (x)为奇函数f (x)在-3，0上也是减函数从而 f (x)在 -3，3上是减函数f (x) max = f (-3) = -f(3) = -

29、f (1 + 2) = -f (1) f (1 + 1) = -3f (1) = 6.2)( ,8,3,41)(,2,3: ,2,3)(log 2log3)(l)(log(l),4l2)(.8|1log 30)(log1l2(03log7)(2.14max min22 225.0 5.05.05.02. f xuxfxuufx xxxxffxMxx时即当时即当单调性得根据复合函数的得令得由由函数的单调性A 组一选择题231A 2B 3A 4C 5B二填空题6 （-，07 （-，-2 2，+）8 （-，-3 ）9 （-，-1 ）（-1 ，+ ）10-1，+）；-1 ，1）

30、三解答题11显然 f (x)为奇函数，所以先讨论函数 f (x)在（0，+）上的单调性，设x1x 20， . ,0(),)(;),()( .),)(,0)(,10, .,0, )1()()()()( 212211 2212121为减函数上、分别在上为增函数、分别在是奇函数上是增函数在故则时当上是减函数在故则时当则 axfaxf affxfxa xx axaxff .23),0(23 )0,(,2),0( 32)0,(),0(,.11 1的单调递增区间也为函数的单调递增区间数为函也都为增函数和上在都为

31、增函数和上此函数的定义域是 xyxy xy xy B 组一选择题1C 2D 3C 4C 5C 6C二填空题 2)1(.09),(,3,.8)57xybac三解答题 )2,0()(0. 的定义域为知函数且由 xfx24213121221 )(log)()(,0)( xxxffx 因设因 0x 1x 22 x 2 + 10，x 1 +10 )2()2()2( 1111 xxx 又且 x20，2 x 10 0)2(log)(13121x即从而有 f (x2)f (x 1)故 f (x)在定义域（0，2）上为减函数 .41720417)2( ),1(2)(,)2,0(

32、 xxx fxfxf或解得得从而由上单调递减在且.)(,01, ,1.)(,0 1, )()( ).(1)(,),log.22 22 2上是增函数在故又是增函数上在则为减函数是增函数时当上是增函数在故又上是减函数在则为增函数是减函数时当即于是则设 Rxfa RaaaRxf RRxaxf atft xxxx ttta 综上所述，f (x) 在 R 上是增函数.13由于 f (x)是定义在（ -，+）上的增函数，所以不等式 f (1 ax x2)f (2 a)对于任意 x0，1均成立等价于 1 ax x22 a即 x2

33、+ ax a + 10 对任意 x0，1 均成立25令 g (x) = x2 + ax + a 10即 g (x) 在0 ， 1上的最小值大于零.事实上，易求得 012410201,)( 0,140,)()( 2aaagax 或或于是有的最小值解得 0a1 或-2 a0 或 a-2.故所求实数 a 的取值范围是 a1.需要指出的是，对不等式 x2 + ax a + 10 应用= a 2 4 (-a + 1)0 求 a 的范围，就不正确了.14 （1）由题设得 x2 + c = x2 + 1，有 c = 1g (x) = f f (x) = f (x2 + 1) = (x2 + 1)2 + 1 = x4 + 2x2 + 2 )2()()()()(2 44 x若满足条件的存在，设- x 1x 2-1 ， 0)()()( 21212 x则（x 2 + x1）（x 2 x1）0 0)(只须4再设-1x 1x 20，同理只需 .)0,1(,)1,(), 44(21 内是增函数且在内是减函数在时故当

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