1、降次解一元二次方程 教学设计教学目标知识与技能：1会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。2能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。过程与方法：1参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。2在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。难点：根据方程的特点
2、灵活选择适当的方法解一元二次方程。教学方法探索发现，讲练结合教学媒体多媒体课时安排3 课时教学过程设计第一课时一、复习引入请同学们解下列方程：（1）x 2=4 （2）(x+3) 2=9找两个学生回答这两个方程的解。师总结强调：象这种通过直接开平方求得 x 的值的方法，实际上就是求 x2=a（a0）这种特殊形式的一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法。（2）对于形如“(x+a) 2=b (b0)”型的方程，只要把 x+a 看作一个整体，就可以转化为 x 2=b (b0)型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。（3）在对方程(x+3) 2=9 两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。要向
3、学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次” 。 “降次”也是一种数学方法此引入教师总结的要详细一点，这是为了让学生对这节课所学的知识首先有一个感性的认识，并且是对学生的一种提醒。这两个方程也是以前学过的内容，根据平方根的知识就可以解决，这里要说明是一元二次方程的特殊形式。二、新课讲解下面我们来看一个实际问题：问题 1：一桶某种油漆可刷的面积为 1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？师生共同完成此题，教师要引导学生依据已有的知识列出方程，再比较引言中的例题解此方程。分析：设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2
4、 dm2，解：根据一桶油漆可刷的面积，列出方程106x2=1500 由此可得： x 2=25根据平方根的意义，得 x=5可以验证，5 和-5 是方程的两个根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为 5 dm。师：对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程(2x-1) 2=5及方程 x2+6x+9=2 ？学生甲：由方程(2x-1) 2=5 得， 15x，即 15x， 15所以方程的两个根为： 1， 2师：回答的非常好，由方程得到方程，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就解决了。师：同学们谁能说出方程 x2+6x+9=2 的根？学生乙：方程 x2+6x+9=2 的左
5、边是完全平方形式，这个方程可以化成(x+3) 2=2,进行降次，得 3，方程的根为 132x， 32x。师总结强调：如果方程能化成 2=p或 (m+n)=p(0)的形式，那么可得xp或 mxnp。我们再来看另一个问题：问题 2：要使一块矩形场地的长比宽多 6m，并且面积为 16m2,场地的长和宽应各是多少？学生自己列出方程，有问题的教师要进行纠正。师：设场地的宽为 x，所列方程为： 2610x，这个方程怎么解呢？ 师要引导学生与方程 x2+6x+9=2 进行比较，看看能不能写成完全平方式的形式，这时候要对学生进行必要的启发，让其自己根据这节课上所学过的知识，自己动脑筋解决，调动学生的学习积极性
6、。依照下面的框图把一个一般方程化为完全平方式，并解这个方程： 可以验证，2 和-8 是方程的两个根，但是场地的宽不能是负值，所以场地的宽为 2m，长为 8（即 2+6）m。师总结强调：像上面这样，通过配方，把方程的一边化为完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方的方法求出一元二次方程的根，这种方法叫做解一元二次方程的配方法。可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。三、经典例题把下列方程化为（x+ m） 2=n（m，n 是常数，n0）的形式，并求出它们的解。（1）x 2+2x=48；（2）x 2-4x=12；（3）x 2-6x+6=0；（4）504x。学生活动
7、：初步体验用配方法解一元二次方程的步骤。例 1 解下列方程：（1） 280x；（2） 213x；（3） 2640x.这三个例题师生共同完成，学生通过此题明白每步变形的依据和目的。在此三个例题中，涉及二次项系数不是 1 的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。做完后，教师总结配方法的步骤：化 1：把二次项系数化为 1（方程两边都除以二次项系数）；移项：把常数项移到方程的右边；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；变形：方程左边写成平方形式，右边合并同类项；开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；求解：解
8、一元一次方程；定解：写出原方程的解。四、练习1配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x 2+12x+ =(x+6)2（2）x 212x+ =(x ) 2（3）x 2+8x+ =(x+ )22解方程：课本 P39 练习五、小结1配方法的基本步骤。2配方法是一种重要的数学方法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。3在解决实际问题时，要注意检验方程的解是否符合题意。六、作业课本 P45 1，2，3 七、板书设计解一元二次方程配方法x2=a（a0） 例题 练习 直接开平方法 配方法的步骤x2+bx+c=0配方法第二课时一、复习引入1
9、.什么叫配方法？我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。2.用配方法解一元二次方程的助手是什么？ 平方根的意义：如果 2(0)xa，那么 xa。完全平方式：式子 2b叫做完全平方式，且 222()ba.3配方法的步骤是什么？学生回答：（1）将方程二次项系数化成 1；（2）移项；（3）配方；（4）化为（x+m） 2=n（m，n 是常数，n0）的形式；（5）用直接开平方法求得方程的解。让学生依次回答上面的两个问题。二、一起探究任何一元二次方程都可以写成一般形式： 20()axbca，由上节课的知识，我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是一样的
10、，如果能用配方法解一般的一元二次方程 20()axbc，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会简洁方便得多。你能用配方法解方程 2xa吗？试试看。引导学生自己先做，有一个探究的过程，让学生自己动手，激发积极性。然后给出一个学生的正确结果，鼓励同学们自己探究，自己动脑筋。最后给出正确结果。小亮是这样解的： 师：小亮的解法是正确的。下面我们一起来做一下：解：系数化成 1， （两边同除以 a）得：02acxb移项（把常数项移到方程右边），得：2配方（两边同时加上2()ba），得： 2224abcxab化为（x+m） 2=n（m，n 是常数，n0）的形式，得： 224)(cx师：接着让学生讨
11、论：此时可以用开平方法求解吗？让学生充分发表意见后，教师指出：因为 0a，所以 02a，当 042acb时，可以用开平方法得 242cbax再让学生讨论 a2吗？(学生讨论，教师讲解：cbcb2442,但因为式子前面已有符号“”，所以无论 0a还是 ，最终结果总是 a)所以 cbx24，acbcbax2424这样我们就得到了一元二次方程 02( )的求根公式：42acbabx师总结强调：一般地，一元二次方程 2ax+bc=0(a)的根由方程的系数 a，b，c 确定。因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式2ax+=0，当 2-40时，将 a，b，c 代入式子 24bacx就得到方程的根
12、。利用它解一元二次方程的方法叫做公式法。由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。说明：(1)用公式法解一元二次方程，实际上就是给出 a、 b、 c的数值，然后求代数式： acb24进行求值的运算。由于这样的计算较复杂，所以要提醒学生计算时注意 、 、 的符号，讲究计算的正确性。(2)在运用求根公式求解时，应先计算 acb42的值；当 acb420 时，可以用公式求出两个不相等的实数根x；当 2=0 时，方程有两个相等的实数根 12bxa；当 c420 时，方程没有实数根。三、知识应用例 2 解下列方程（1） 10x； （ 2） 1.53xx；（3）2； （4） 20解：略。见课本 P41
13、说明：师生共同完成，教师规范格式并强调注意事项。注意: (1) 如果方程不是一般形式，要化为一般形式后，再确定 a，b，c 的值(2) 对 a，b，c 的值，要注意其正负符号，如此题（1）中 c=-1四、课堂训练P42 练习题 1（1）-（4） 。找四名同学上黑板做。五、小结1本节课我们推导出了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式，即求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合运用，对于 0a，acb420，以及由 0a，知 42等条件在推导过程中的应用，亦要弄懂其道理。2应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写成 、 b、 c的数值以及计算 c2的值，
14、当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程。六、作业课本习题 P45 4 题七、板书设计解一元二次方程公式法推导公式： 例 练习第三课时一、情景导入1一元二次方程的解法，已经学过了哪几种？(直接开平方法，配方法，求根公式法)2. 我们先来看下面的问题：问题 3：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度（单位：m）为 2104.9x你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到 0.01 s）？你要用那一种解法解决这个问题呢？同学们试着解一下。尽可能的给学生时间让他自己思考问题的解决方案。二、一起探究我们一起来看上面提出的问题。设物
15、体经过 x s 物体离地面，这时它离地面的高度为0，即 2104.9 除配方法和公式法以外，能否找到更简单的方法解方程 ？我们一起来观察这个方程，方程的右边为 0，左边可以因式分解，得(14.9)x我们知道 ab=0a=0 或 b=0。语言表述：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零于是得 0x或 14.90x 1， 2.4上述解中， 2.4x表示物体约在 2.04s 时落回地面，而 10x表示物体被上抛离开地面的时刻，即在 0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是 0 m。师：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的？ 学生甲
16、：上述解法中，由到的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次因式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次。师：学生甲回答的很好。像这样，把一元二次方程的一边化为 0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。三、做一做用因式分解法解下列方程： 221(1)70;();34940.xx学生独立运用因式分解法完成求解过程，老师对学生困难的学生给与帮助。例 3 用因式分解法解下列方程：(1) x(x-2)+x-2=0; (2)2213544xx.分析：这两个方程有什么特点？ 解：（1）因式分解，
17、得 (x-2)(x+1)=0于是得，x-2=0 或 x+1=0，x1=2，x 2=-1（2）移项、合并同类项，得4x2-1=0因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.于是得 2x+1=0,或 2x-1=0所以 12,x四、大家谈谈1因式分解适合解什么样的一元二次方程？2解一元二次方程的方法有哪几种？根据你学习的体会，谈谈通常你是如何选择解法的。学生小组交流。结论：（1）对于一元二次方程的一般形式，当方程左边无常数项、一次项系数为 0 或是完全平方式时，方程均可使用因式分解法求解。（2）在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法因式分解法对解某些一元二次方程是最简单的方法在解一元二
18、次方程时，应据方程的结构特点，选择恰当的方法去解（3）直接开平方法与因式分解法中都蕴含着由二次方程向一次方程转化的思想方法由高次方程向低次方程的转化是解高次方程的思想方法请你用适当的方法解下列方程：(1) (x+2)2=2x+4; (2) (3x+1)2-4=0;(3) 3x-2=9x2-4; (4) 4x2-12x+5=0.五、练习课本 P45六、小结1因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”2因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）化方程为一般形式；（2）将方程左边因式分解；（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解但要具体情况具体分析3因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程七、作业课本习题 P46 5、6、7八、板书设计解一元二次方程因式分解法情景导入 做一做 例 3 练习
