1、线性代数第二章习题解习题一 A 组1.计算下列二阶行列式（1） （2） （3） （4）52-0189622baa1232xx2.计算下列三阶行列式（1） =1+8+27-6-6-6=18 （2） 132 598413（3） （4）74050dcba3. 当 k取何值时， =0.1043k解： ， 得 ， 1043k0)3()(2 0342k所以 或 。4.求下列排列的逆序数. 解：(1) . 5120)5324(2) . 8461(3) .23)7(4) .13400352845.下列各元素乘积是否是五阶行列式 中一项?如果是,该项应取什么符号?ija解：(2) 不是. 因为 中有俩个元素在第
2、一列 .514321a(3) 是. 对应项为 35)(（所以该项应取负号。102)4153(6.选择 i, j 使 成为五阶行列式 中带有负号的项jia542 ija解: 当 时, , 是奇排列.)(, 30)(当 时, , 是偶排列.1ji 81231所以 i = 1, j = 5. 8.利用行列式性质计算下列行列式.解: (1) 12323042r 620431r(2) 621734435102 6217104352c 6217435. =62101437323c621430532r294013505(3) 118204,32iri(4) 150233415023 120384502443
3、1r12046342r 71305642r 7130246)(.027146)5(2743r 27016443c0（5） yx11 yxc103412 yxr012431yx023201xyxr（6） dcbacbaa36103632422 cbaadcbiri 36103602424,1 bar3702423 44302acbdcbr9.用行列式性质证明:(1) =333222111cbka321cba证明: .333222111ck 3322112cbk 332211cbak(2) =efcfbdabf4证明: efcf dcbeaf的 公 因 子提 取 各 行 1abfce的 公 因 子
4、提 取 各 列.021312abdfr 20123efrcdef4(3) yx11 yxx22证明: =yx11 yx101yx11 yx10yx0yx101yxyxy1002 yxyxx 10102.yxyxy10012 )(22yxx 22xx10.解下列方程:(1) 09132522xx解: 由 22432122 405139135xxrxx 22314013xxr2221 4013xrx 2223 4031xr)(3(22得 所以 或 .)(22xx(2) 010x解: 由 0110224,301xxirx 01)(x10)2(413 xxr xxr10)2(43xxxr 10)()2
5、(10)()2()(3=xx1)(0)2( )1()(222 2)(x得 , 所以 , , .0)2(021x3415. 用克莱姆法则解下列线性方程组:（1） 27311x解：由系数行列式 573D17231D123, .11x2x(3) 45273321x解: 由系数行列式 6387012245218572331 rrD63413786204572131cD202542331r189073124583532313 rrD得 , , .1x2Dx3x16.判断下列齐次方程组是否有非零解:(1) 0325879414321xx解:由系数行列式3215879D47208193412r 047281
6、9(第一、二行对应元素成比例) 此齐次方程组有非零解.(2). 032424141xx解:由系数行列式 30154)(23015)(301521342 2343 rrD0此齐次方程组只有唯一的非零解.17. 若齐次线性方程组 有非零解.则 取何值?0)2(543yx解:由系数行列式)2(7145)(325432D其齐次线性方程组有非零解,则 或 .7习题二 A 组1.计算下列矩阵的乘积.(1) .23151解： .2 12572513)2()(1（2） 013(3) . 350215401324解： .350215401324 103653021679（4） 321321321 xax解： =
7、 + + +321321321 xx 23221xa211)(x313)(xa322)(xa2. 计算下列各矩阵:(1) .5243解： 5243243421243.8126728（2） 03解: =214397(3) .n0解： n1n01=nnnn 0101012)(10 22,1其中 .203 001n(4) n1解： =n0n010 n0101 22211 0110)1(0001 nnnnn 02)1(00 2nnnn nnn02)1(其中 , .01012 001013n5. 证明：对任意 矩阵 ， 与 都是对称方阵；而当 为 阶对称方阵时，则对任意 阶方阵 ，nmATTAnnC为对
8、称方阵.ACT证明： （1） 为 阶方阵， 又 为 阶对称方阵TATT)(T同理 为 阶对称方阵m（2） 为 阶方阵， 为 阶对称方阵 又 ACTnnAT ACTT)(为 阶对称方阵6.设 均为 阶方阵.证明:如果B,nCABE,则 .EC解: 由已知 则 .且 AB)(, BE1)( AC即 , 则 . 得 .)( ABEC1 E8.（3） 1234解： 5A0521A53171223682A131386750251A9. 解下列矩阵方程:(1) 2351X解: 由 , 511得 . 16923512321X(3) 014010解: 由 012103401231X, 即 .243013402
9、 43X11. 设 , 求BAA2,02.解: 由已知 ,)(,EB因 0162)( 3E存在, 则 1)(AA)(1由 240102024102, 312r 3106240321332 rr所以 .3122)(1AEB12.设 均为 n 阶方阵， 为 n 阶单位阵，证明： A,（1） 若 则 可逆；,BEA（2） 若 则 可逆，并求 .O432-1）（ EA解: （1）由已知 , 即 , EBAB)(,)()(所以 可逆,且 .EAEB-1）（2）由已知 ,EAA2)()(,2所以 可逆,且 .,2)( A11- ）（14.设 , 求 及 .103A4,A1解: ,323由 , 7-481-297168-52-4，所以 .740974A由 , 所以 . 12-31-232-1-， 3102-321-A15. 用初等变换把下列矩阵化为标准形:(1) 02-13A解: 02-13A 10)(10512-13 321232 rrr16.求下列各矩阵的秩：（2） 613405A 31240361r 15297038462413r15297036124r 60123517423r 120635所以00613)(AR17.设 ， ，且矩阵 的秩为 2，求1AaB12Ba解：因为 ，所以 =0 又因为 ， 所以 即)(RA0A001a
