第五章,优化模型.doc

1、1第五章 优 化 模 型优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中经常会遇到的问题类型之一，比如设计师要在满足强度要求等条件下选择材料、形状、尺寸等，使结构总重量最轻；工厂定购生产资料时要考虑订货方案使储存等费用最低；商品经营者要根据生产成本和市场需求制定商品价格以使利润最高；调度人员要在满足物资供需要求和装载条件限制安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低；投资者要选择一些股票、债券等投资，使总获利最大，而风险又最小等等。在很多情况下，我们会凭经验解决面临的优化问题，这样做看似有效，风险也较小，但决策时常常会融入太多决策者的主观臆断，因而无法保证结果的最优性。那么，是

2、否一定要做大量的试验来探索最优方案呢？须知这样往往会花费大量的人力和物力，得到的结果仍可能受到先验的影响，落入事先圈定的试验范围。最优化方法是数学学科中的一个应用性很强的分支，它包含的内容十分广泛，有数学规划（如线性规划、非线性规划、二次规划、目标规划、多目标规划等） 、库存论、排队论、博弈论、组合优化（离散优化） 、随机规划等等。这些内容都和实际问题密切相关，但由于涉及面太广，要比较深入地掌握这些最优化方法绝非一朝一夕就能办到。根据变量取值范围的不同，优化问题有连续模型和离散模型之别。本章将选择一些连续优化问题的实例，以说明建立优化模型的一般方法和求其最优解的一般步骤。在下一章中，我们还将介

3、绍一些较为典型的离散优化模型，并指出研究离散优化模型时经常会遇到的某些困难。 5.1 线性规划问题线性规划（Linear Programming, 简记 LP）是数学规划的一个重要组成部分。自从1947 年 GBDantzig 提出求解线性规划的单纯形法以来，线性规划在理论上日趋成熟，在应用上日趋广泛，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。（线性规划的实例与定义）例 5.1 某厂生产甲、乙两种产品，每单位产品销售后的利润分别为 4 千元与 3 千元。生产甲产品需用 A、B 两种机器加工，每单位产品的加工时间分别为 2 小时和 1 小时；生产乙产品需用 A、B、C 三种机器加工，每单位产品的加

4、工时间为每台机器各一小时。若每天可用于加工这两种产品的机器时数分别为 A 机器 10 小时、B 机器 8 小时和 C 机器 7小时，问该厂应当生产甲、乙两种产品各多少，才能使总利润最大？例 5.1 的数学模型：设该厂生产 x1 台甲机床和 x2 台乙机床时总利润最大，则 x1、x 2 应满足max 4x1 + 3x2s.t 2x1 + x2 10x1 + x28 (5.1)x27 x1 , x20（5.1）式中 4x1 + 3x2 表示生产 x1 单位甲产品和 x2 单位乙产品的总利润，被称为问题的目标函数。当希望使目标函数最大时，记为 max；反之，当希望使目标函数最小时，记为 min。 （

5、5.1）中的几个不等式是问题的约束条件，记为 S.t（Subject to 的简写，意为“受2约束于” ） 。由于（5.1）式中的目标函数与约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。（线性规划的标准形式）线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件可以是不等式也可以是等式，变量可以有非负要求也可以没有（称没有非负约束的变量为自由变量） 。为了避免这种由于形式多样性而带来的不便，规定线性规划的标准形式为min jnjxc1S.t ，i=1,m （ 5.2）jjiba1xj0, j=1,n 或更简洁地，利用矩阵与向量记为min z = CT xS.t Ax = b （5.3）x0

6、其中 C 和 x 为 n 维列向量，b 为 m 维列向量，b0，A 为 mn 矩阵，m0，则称 x=（B -1b，0）为（5.3）的一个非退化的基本可行解，并称 B 为一组非退化的可行基。由于基矩阵最多只有种不同的取法，即使 A 的任意 m 列均线性无关，且对应的基本解均可行， （5.3）最多mnC也只能有 个不同的基本可行解。n（基本可行解与极点的等价定理）在线性规划的求解中，下列定理起了关键性的作用。在这里，我们不加证明地引入这些定理。对定理证明有兴趣的读者可以参阅 D.G.鲁恩伯杰著的“线性与非线性规划引论”一书的第二章。定理 5.1 （基本可行解与极点的等价定理）4设 A 为一个秩为

7、m 的 mn 矩阵（n m）b 为 m 维列向量， ，记 R 为（5.3）的0b可行域。则 x 为 R 的极点的充分必要条件为 x 是 的基本可行解（极点的代数定义） 。0A定理 5.1 既提供了求可行域 R 的极点的代数方法，又指明了线性规划可行域 R 的极点至多只有有限个。定理 5.2 （线性规划基本定理） 线性规划（5.3）具有以下性质：（1）若可行域 R ，则 R 必有基本可行解。（2）若问题（5.3）存在一个最优解 ，则必存在一个最优的基本可行解。定理 5.2 并非说最优解只能在基本可行解（极点）上达到，而是说只要（5.3）有有限最优解，就必定可在基本可行解（极点）中找到。从模型本身

8、来讲，线性规划显然应属于连续模型。但定理 5.2 表明，如果线性规划具有有限最优解，我们只需比较各个基本可行解上的目标函数值，即可找到一个最优解，而问题的基本可行解至多只有有限个，从而问题化为一个从有限多个极点中去选取一个最优点的问题。正是基于这样一种想法，Dantzig 提出了求解线性规划问题的单纯形法。（求解线性规划的单纯形法）Dantzig 单纯形法的基本步骤如下：（步 1）取一个初始可行基 B（一般取法见后面的两段单纯形法） ，再用高斯约当消去法求出初始基本可行解 x0，编制成所谓的初始单纯形表；（步 2）判断 x0 是否最优解，如果 x0 是最优解，输出 x0，停，否则到步 3；（步

9、 3）按某一改进准则，将一个非基变量转变为基变量，而将一个基变量转变为非基变量，求一个更好的基本可行解。这相当于交换 B 与 N 的一个列，同样可用高斯约当消去法，运算可以通过单纯形表上的所谓“转轴运算”实现， （改进的意思是指求得的新基本可行解上的目标函数值更小） 。为了给出算法，我们还需回答以下三个问题：如何确定最初的可行基；如何判断当前的可行基是否为最优基；如果当前的可行基不是最优基，我们应当如何改进。以下，我们将先回答后两个问题，最后再来回答第一个问题。设 B 为一组非退化的可行基， =（B -1b，0）为其对应的基本可行解。现在，我们来0x讨论如何判别 x0 是否为最优解。为此，考察

10、任一可行解 。由 Ax=b 可得NBx（5.5）NBb1代入目标函数，得到 NTBNTBNTB xCbxCZ )(115（5.6）NTBNTxCx)(10定理 5.3 （最优性判别定理） 令 。NBCrTN1（1）若 rN 0 ，则 x0 必为（ 5.3）的一个最优解。（2）记 。若 ，r j 0，根据（5.5 ）式可知，当 且充分小时，0jx仍有 xB 0。此时对应的 x 仍为可行解，但由（5.6） ，其目标函数值：0110 xCBrbCz TTjTB故 x0 必非最优解。定理 5.3 不仅给出了判别一个基本可行解是否为最优解的准则，而且在 x0 非最优解时还指出了一条改进它的途径。由于 r

11、N 在判别现行基本可行解是否为最优解时起了重要作用，所以 rN 被称为 x0 处的检验向量，而 rj (jN)则被称为非基变量 xj 的检验数。有趣的是上述过程完全可以在以下的单纯形表上进行。先将 CT、A、b 及数 0 写在一个矩阵中，将此矩阵看成一张数表，在此表上用高斯约当消去法解方程组 Ax = bbACT0 bBNICTB110利用单位矩阵 I 消第一行的 为零向量，则 被消成 ，而 0 则被消TBT NTrC1成 。将消去后的行向量写到最后一行，删去原来的第一行，得到一张被01ZBT称为单纯型表的表格：表 5.1xB xNI B1 N B1 b0 rN Z0表格（5.1）以极为简洁明

12、了的方式表达了我们需要的全部信息。从其中 I 所在的 m 行高斯-约当消去法（第一行不变）6可以看出哪些变量是基变量并可直接读出对应的基本可行解 x0=（B 1 b，0） 。其最后一行又给出了非基变量的检验数及 x0 处目标函数值的相反数。现在，我们以例 5.1 为例，来看一下单纯形法是如何工作的。例 5.1 的标准形式为（5.4） ，容易看出它的一个初始基 B=I（以 x3、x 4、x 5 为基变量） ，且 CB 已经为零，故我们已有了一张初始的单纯形表表 5.2：表 5.2x1 X2 x3 x4 x5x3 1 1 0 0 10x4 1 1 0 1 0 8x5 0 1 0 0 1 7基变量r

13、j 4 3 0 0 0 0x0=(0,0,10,8,7)T ， z0=CTx0=0， rN=(r1,r2)=(4，3)由于存在着负的检验数，且 x0 非退化，故 x0 非最优解。r 1，r 2 均为负，x 1，x 2 增大（进基）均能改进目标函数值。例如，取 x1 进基，仍令 x2=0（x 2 仍为非基变量） ，此时由（5.5）式及（5.6）式有且 z = CTx = 4x 17821543xx1 增加得越多，目标函数值也下降得越多，但当 x1=5 时 x3=0，x 1 再增大则 x3 将变负。为保证可行性，x 1 最多只能增加到 5，此时 x3 成为非基变量（退基） 。不难看出，上述改进可以

14、在单纯形表上进行。对于一般形式的单纯形表，记最后一列的前 m 个分量为 yi0，i=1, m。若取 进基，记 j0 列前 m 个分量为 ，i =1,m。易见，0j 0jy阻碍 增大的只可能是 0 的那些约束。0jx0ij（1） 若 0 对一切 i=1,m 成立（j 0 列前 m 个分量中不存在正值） ，则 可ijy 0jx任意增大，得到的均为可行解，但其目标值随之可任意减小，故问题无有限最优解。（2） 否则，令 000inijijji yy则随着 的增大， 将最先降为零（退出基变量） ，故只需以 为主元作一次消去法0jx0ix 0jiy运算（称此运算为一次转轴运算） ，即可得到改进后的基本可行

15、解处的单纯形表。在本例中，7因取 x1 进基（j=1） 而 ，以 y11 为主元作转轴运算（高斯-约当消去法运算） ，510y8210得到：表 5.3x1 X2 x3 x4 x5x3 1 10 0 5x4 0 2 1 0 3x5 0 1 0 0 1 7基变量rj 0 1 2 0 0 20x1=(5,0,0,3,7)T， z1=20， rN=(r2,r3)=(1，2)表 5.3 中 r2 0）最小选定 y22= 为主元转轴，得到下一21个基本可行解 x2 处的单纯形表表 5.4。表 5.4x1 x2 x3 x4 x5x3 1 0 1 0 2x4 0 1 0 6x5 0 0 1 1基变量rj 0

16、0 0 26x2=(2,6,0,0,1)T ， z2=26， rN=(r3,r4)=(1，2)对于 x2，由于 rN= (1，2) 已为非负向量，x 2 为最优解，最优目标值为26。于是，原问题例 5.1 的最优解 x*=(2,6)T，最优目标值为 26。（初始可行解的求法两段单纯形法）当线性规划（5.3）的初始可行解不易看出时，可采用下面的两段单纯形法求解。阶段 1（求初始可行基） 对第 i 个约束引入人工变量 yi，y i0，将其改写为 ai1x1 + ainxn + yi = bi ，i=1,m。作辅助线性规划 LP（1） ，其目标函数为 。mi1容易看出，原规划有可行解（从而有基本可行

17、解）的充分必要条件为辅助规划的最优目标值为零。由于辅助规划具有明显的初始可行基（人工变量对应的列构成单位矩阵 I） ，可利用上述单纯形法逐次改进而求出辅助规划最优解。阶段 2 若辅助规划的最优目标值不等于零，原规划无可行解，计算终止。否则我们已求得原问题的一个基本可行解 x0。删去阶段 1 最终单纯表中最后一行及对应人工变量的列，得到原规划对应 x0 的初始单纯形表，此时又可利用上述单纯形法求解原规划了。8例 5.2 min 4x1+ x2+ x3S.t 2x1+ x2+2x3 = 43x1+ 3x2+x3 = 3x1、x 2、x 30解：因为初始可行基不能直接看出，我们采用两段单纯形法求解。

18、阶段 1 先求解辅助规划：min x4+ x5S.t 2x1+ x2+2x3 + x4= 43x1+ 3x2+x3+ x5 = 3x1，x 30表 5.5x1 x2 x3 x4 x5x4 2 1 2 1 0 4x5 3 1 0 1 3基变量 rj 5 4 3 0 0 7选取 x1 进基，以 y21=3 为主元转轴（x 5 出基） ，得表 5.6：表 5.6x1 x2 x3 x4 x5x4 0 1 4/3 1 2/3 2x1 1 1 1/3 0 1/3 1基变量 rj 0 1 4/3 0 5/3 2因 r3 0。当 B-1b 也存在零分量时，我们遇到了一个退化的基本可行解，此时 rN 存在负分量

19、不一定说明现行基本可行解不是最优解。单纯形法也可能会遇到循环迭代。存在着几种避免循环的技巧，例如，只要每次在 rj 0 的非基变量中选取具有最小足标者进基即可避免产生循环。变量同时具有上、下界限止的线性规划问题也可化为标准形式求解，有兴趣的读者可以参阅 D.G.鲁恩伯杰的“线性与非线性规划引论”一书的第三章。5.2 运输问题（运输问题的数学模型）例 5.3 某商品有 m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为 a1,am 各销地的需求量分别为 b1,bn。若该商品由 i 产地运到 j 销地的单位运价为 Cij，问应该如何调运才能使总10运费最省？（注：标准的运输问题要求产销平衡，即 ）minj

20、ba11解：引入变量 xij，其取值为由 i 产地运往 j 销地的该商品数量。例 5.3 的数学模型为min njijmiC1S.t ，i=1, ,m （5.7）injiax1，j=1, ,njmijb1xij 0（5.7）显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形方法求解，但由于其约束条件的系数矩阵相当特殊，求解它可以采用其他简便方法。本节将介绍由康脱洛维奇和希奇柯克两人独立地提出的表上作业法（简称康希表上作业法） ，其实质仍然是先作出一个初始基本可行解，然后用最优性准则检验是否为最优，并逐次改进直至最优性准则成立为止。（初始可行解的选取）不难发现， （5.7）的约束条件中存在着多余方程（注：

21、将前 m 个约束方程相加得到的方程与将后 n 个方程相加得到的方程相同，故约束条将是线性相关的） 。容易证明，只要从中除去一个约束，例如最后一个方程，约束条件就彼此独立了。因而， （5.7）是一个具有mn 个变量的线性规划，其每一基本可行解应含有 m+n1 个基变量。记（5.7）约束条件中前 m+n1 个方程的系数矩阵为 A，A 为（m+n1）mn 矩阵，它的每一列最多只有两个非零元素且非零元素均为 1。利用线性代数知识能够判定 A 中怎样的 m+n1 个列可以取为基（即怎样的 m+n1 个变量可以取为基变量） ，为了判明哪些变量对应的列是线性无关的，先引入下面的定义：定义 5.3 （闭回路）

22、x ij（i=1,m; j=1,n）的一个子集被称为一个闭回路，若它可以被排成 213221 ,jijijijijiji x其中 互异， 也互异。t,.t.1用下面的方法可以较方便直观地看出x ij的一个子集是否为一闭回路：作一个 m 行 n列的表格，令位于该表格第 m 行第 n 列的格（i,j ）对应 xij。将子集中的变量填于相应的格中，将相邻变量（或同行或同列）用边相连，则此子集构成闭回路当且仅当其点按上述连法作出的折线可构成一个闭回路。例如，当 m=3,n=4 时，X 1=x12,x13,x23,x24,x34,x32和 X2=x12,x14,x24,x21,x31,x32 均为闭回路

23、，见表 5.10 和表 5.11。表 5.1011。 。 。 。表 5.11。 。 。 。定理 5.4 X 为 xij（i=1,，m；j =1，n）的一个子集，X 中的变量对应的 A 中的列向量集线性无关的充要条件为 X 中不包含闭回路。定理 5.4 不难用线性代数知识证明，详细证明从略。根据定理 5.4，要选取（5.7）的一组基变量并进而得到一个基本可行解，只需选取x ij的一个子集 X，X= m + n -1 且 X中不含闭回路，其中X表示 X 中的变量个数。我们用下面的例子来说明如何选取一个基本可行解。例 5.3 给定运输问题如表 5.12 所示，表中左上角的数字为单位运价 Cij。易见

24、，本例是产销平衡的,即 。jiba表 5.121 2 3 4 产量1 2 2 11 3 4 1 32 10 3 3 5 9 2 53 7 8 1 4 2 3 7销量 2 3 4 6 jiba现采用所谓“最小元素法”来求一组基本可行解。每次选取一个当前单位运价最小的变量为基变量。开始时，单位运价最小的为 C33=1，令 x33=mina3,b3=4,并令 x13= x23=0（销地 3 已满足） ，相应格打“” （即不再考虑销地 3 的需求） 。产地 3 已运出 4 单位，将产量改为剩余产量 3。剩余表中单位运价最小的为 C11=2（或 C34=2） ，令 x11= min a1,b1=2,并令

25、 x21= x31=0，相应格打“” ，a 1 改为剩余产量 1，直至全部产品分配完毕。注意到除最后一次分配外每次只能对一行或一列找“” ，表示某销地已满足，或某产地产品已分配完（注：当两者同时成立时只能打“”行或列之一，将剩余需求量或产量记为 0，此时基本可行基是退化的） 。显然这样分配共选出了 m + n - 1 个变量，且这些变量的集合不含闭回路，从而构成一个基本可行解。当每一基变量 xij选取时 i 产地的剩余商品量与 j 销地的剩余需求量总不相等时，选出的基本可行解是非退化的。初始基本可行解也可按其他方式选取，如“左上角法”等，其方法与原理是类似的，销 地产地12左上角法每次选取剩余

26、表格中位于最左上角的变量，其余均相同。（最优性判别）类似于单纯形法，可计算非基变量的检验数，存在着多种求检验数的方法（求得的结果是相同的） ，下面介绍计算简便且计算量也较小的“位势法” 。引入 m+n 个量（被称为位势）u 1，u m；u 1，u n。对每一变量 xij，引入 rij,令 rij= ij- ui-vj(事实上，这一公式与单纯形法求检验数的公式是相同的)。对基变量 xij，令 rij=0，得到Ciju iv j=0 (xij为基变量) （5.8）齐次线性方程组（5.8）共有 m+n个独立方程，但含有 m+n 个变量。任取一个变量，例如 u1 作为自由变量，便可解出方程组。容易看出

27、，u 1 的取值不同虽会改变位势的取值但不会改变非基变量的检验数 。因此，为方便起见，只要令 u1即可。事实上，我们甚ijr至不必去解方程组（5.8） ，而只需令 u1，对所有基变量令 uiv j cij，即 cij- ui-vj，在表上逐次求出所有位势，进而再对非基变量 xij计算其检验数（5.9）jiijijvucr例如，对表 5.11 中取定的基，我们求出位势及非基变量的检验数，列于表5.13 中，表中不带圈的数为基变量取值，带圈的数为非基变量检验数，右上角的数为单位运价 cij。表 5.13u1=0 2 2 11 13 3 0 4 1u1=5 10 3 3 5 3 9 2u3=-2 1

28、0 8 12 1 4 2 3 1 = 2 =2 3 = 3 4 = 4利用线性代数知识可以证明下列各定理(证明从略) ：定理 5.5 任取一组非基变量 ，将其加入基变量集合中，则在所得变量集合中必1ijx存在唯一的闭回路 ， （注：因为加入新的列后得到的列向量组必定线121,ttijijx性相关） 。易见闭回路中含有偶数个变量，若令 进基，令 = ，为保持平衡条件，位于偶1ijx1ijx数位置的变量 必须减少 ，而位于奇数位置的变量 则必1(,)kijxt (1,)kijxt须增加 （注： ） 。t13定理 5.6 设 是非基变量 与基变量集合的并集中唯一的闭回121,ttijijxx 1ij

29、x路，若令 = 并在闭回路上调整基变量取值使之平衡，得一可行解 x，则 x 处的目标值1ij与原基本可行解上的目标值之差为 。1ijr根据定理 5.6，若存在检验数 的非基变量 ，取 进基（取正值）并令10ij1ijx1ij（5.10）1 11minkij jtxx则原取值为 并位于偶数位置上的基变量退基，得一新的基本可行解，其目标值减少。1ijr定理 5.7 设 为（5.7）的一个基本可行解，若 x0 所有非基变量的检验数均0ijx非负，则 x0 必为（5.7）的一个最优解。当 x0 非退化时，此条件还是必要的。证明 由定理 5.6 知，当 x0 所有非基变量的检验数均非负时，任一非基变量进

30、基均不会使目标值减小，由于（5.7）是线性规划，此性质表明 x0 已为最优基本可行解。反之，则只要令具有负检验数的非基变量进基即可（必能降低目标函数值） 。综上所述，康希表上作业法可如下操作：（步 1） 按最小元素法（或右上角法等）求一初始基本可行解。（步 2） 按（5.8）求出位势 ui, j（i =1,m; j=1,n） 。进而按（5.9）求出非变量的检验数 rij。若一切 rij0，则已求得一组最优解。（步 3） 任取 0，找出 进基后形成的唯一闭回路。在找出的闭回路上调整，1ij1ijx按（5.10）取 ，得出新的基本可行解，返回步 2。直至找到最优解。对于例 5.3，表 5.12 已

31、给出非基变量的检验数。因 r230，令 x23 进基，得闭回路 x23, x24, x34, x33,取 =min x24, =2，调整后得到一个新的基本可行解。求出新的基本可行3解对应的位势及非基变量检验数，列成表 5.14。表 5.14u1=0 2 2 11 11 3 4 1u1=3 10 3 3 5 2 9 U3= 1 7 8 1 2 3 5 1 = 2 = 0 3 = 3 4 = 4现在，非基变量检验数均已非负，故已求得最优解：14x11=2，x 14=1，x 22=3，x 23=2，x 33=2，x 34=5，其余=0（非基变量） 。若运输问题是产销不平衡的，则应先将其转化为产销平衡

32、的，然后再求解。例如，若产大于销，可虚设一销地（剩余产量存贮） ，将各产地运往该虚设销地的单位运价均取为零；若供不应求，则可虚设一个产地，产量为零，且由该产地运到各个销地的单位运价均取零。通过这种虚设产地或销地的方法即可将一个非标准形式的运输问题转化为标准形式的运输问题，从而可用上述康-希表上作业法加以求解。5.3 库 存 模 型库存管理在企业管理中占有很重要的地位。工厂定期购入原料，存入仓库以备生产之用；商店成批购入各种商品，放在货柜上以备零售；水库在雨季蓄水，以备旱季的灌溉和发电；但是，细心的读者会发现，这些情况下都有一个如何使库存量最优的问题，即库存量应取多大才最为合适？存储量过大，存储

33、费太高；存储量过小，会导致一次性订购的费用增加，或不能及时满足需求而遭到损失。为了保证生产的连续性和均衡性，需要确定一个合理、经济的库存量，并定期订货加以补充，按需求发放，以达到压缩库存物资、加速资金周转的目的。为说明方便，我们先简要说明有关的概念，然后介绍几种比较简单的库存模型和解法。我们知道，工厂和企业作为一个系统，其基本功能是输入、转换和输出。输入过程也叫供应过程，输出过程也称为需求过程。为保证生产正常进行，供应的数量和速度必须不小于需求的数量和速度，多余的数量可储存于各部门的仓库里。企业的仓库按生产供应和需求对象的不同，可大致分为两类：1 原材料库：用于存放生产所需的各原材料的仓库，这

34、些原材料大多是由物资供应部门定期向外采购而来的，当然，也可以是企业自己生产的。这类仓库的库存费用 由采购费T和保管费 两部分构成，即CHT2 半成品库和成品库。用于存放经过生产加工而成的半成品和成品的仓库。这类仓库的最大存储量一般就是生产批量，而库存费用 由工装调整费 和保管费 两部分构成，即TSHS易见，随着生产批量的增大，计划期（年）内投产的批数减少，工装调整的次数减少，工装调整费下降，但库存量增加，保管费用上升。因此，为降低库存费用，必须确定一个经济批量 （或经济批数 ） ，使库存费用最小。*Qn由上所述可见：在讨论库存问题时，涉及到三种费用：（1）采购费 是供应部门处理订货、补充库存所

35、需的费用，包括采购人员的差旅费、手C续费、检验费等。它属于一次性费用，直接与计划期内的采购次数 或一次采购量 有关，nQ计算公式为0cQRn15这里 为计划期（年、季或月）内的总需要量， 为每批批量， 为一次采购费用。RQ0c（2）工装调整费 是指每批产品投产前的工艺准备、设备调整及其检修所需的费用。属S于一次性的费用，它与计划期内投入的批数有关，计算公式为1cQRn其中 为计划期内的总产量， 为生产批量， 为一次工装调整费用。1c（3）保管费 包括仓库建筑费和设备折旧、管理费、搬运费、保管期内的物资损耗费和H库存物资折算成资金的利息等，保管费的计算方法与保管方式、消费方式等等有关，假如消费速

36、度是均匀的，通常可用下面的公式来计算QcH其中 为平均库存量， 为单位物资在计划期内的保管费，单位物资有时按重量计，有时按占用仓库的面积（或体积）计，是具体情况而定。由于单件保管费有时计算起来比较困难，也可用保管费率 计算， 为保管费占总库存费的百分比，这时公式 可ii QcH以改写为 PiQH这里 为库存物资的单价， 为平均保管费率。_应该指出的是：保管费是一项可观的、不可忽视的费用，依据 70 年代中期美国十大公司的统计，它约占总库存物资资金的 20%，其中以库存物资资金的利息占的份额最大。下面我们分几种情况来说明几种较为简单的库存模型一 瞬时送货的确定型库存问题（不允许缺货的情况）首先考

37、虑最简单的库存问题。假设某工厂生产需求速率稳定，库存下降到零时，再定购进货，一次采购量为 ，定购点的提前时间为零（即进货有保障、有规律，可根据需求Q提前订货） ，在保证不缺货的条件下，试确定最经济的采购量 ，使库存费用最小。*Q此时库存费用为HcQRCT0在本模型中，平均库存量 为常量，所以问题归结为求解如下的优化,210问题cQRfTH)(min016这是一个一元函数求极小值的问题，可用微积分方法求其最优解，求得的解为= *QHcR02这就是所要求的经济采购量。而库存的最小费用为T0*经济学上称这两个公式为平方根公式。二 非瞬时送货的确定型库存问题（不允许缺货的情况）在本模型中，由于运输设备

38、等的限制，经常会出现非瞬时入库的情况，即从再定购点开始的一段时间内，一方面按一定进度入库（设 为定购物资每天入库的数量） ，另一方1r面按生产需要出库（设 为定购物资在入库期内每天出库的数量） ，直到达到最大库12r存量 为止。设模型的其他参数不变，试确定经济采购量 和最小库存费用 。MQ*Q*T易见 为定购物资的入库时间（天） ，所以最大库存量为1r=M12rQ平均库存量为 )(12因此保管费为 HcrQ)(12库存费用为HcrcRCT)(210所以这一类库存问题归结为求解HcrQc)(min120这仍然是一个一元函数求极小值的问题，用微积分方法求得最优解 即经济采购量为*Q= *)1(20

39、rcRCH而最小库存费用为17= *T)1(220rcRH对于成品库和半成品库的库存问题可以类似地进行分析，参看下例。例 5.4 某厂年计划生产 6500 件产品，设每个生产周期的工装调整费为 200 元，每年每件产品的储存费为 3.2 元，每天生产产品 50 件，市场需求 26（件/天） ，每年工作 300 天，试求最经济的生产批量 和最小的库存费用 。*Q*T解 在此问题中，一次工装调整费用 元，年计划产量 件，设该厂每批201c650R生产 Q 件产品，则工装调整费为cRS/351而保管费为 HcrQ12其中 （元件 年） ， 件， 件，所以问题归结为求解2.3Hc5026HcrcQRS

40、T)1(min用微积分方法容易计算的最经济的生产批量为 （件）)1(2*rcH301)5/261(.30而最小库存费用为 （元）98)/(121*rRT上面介绍的两种模型是最简单、也是最基本的确定型库存模型。它不允许缺货，故假设条件非常理想，但实际情况却要复杂得多。下面我们再来看看允许缺货的库存模型。三 瞬时送货的确定型库存问题（允许缺货的情况）上述模型不允许缺货，若允许缺货，则需要支付一定的缺货损失费用 。Z我们假设 为缺货量，单位缺货在单位时间内产生的缺货损失费用为 （元） ，单位2Qc物资在单位时间内的保管费为 （元） ， 为单位时间内物资的需求量，问每次采购量 、hcDQ缺货量 取为何

41、值时，才能使库存费用 和缺货损失费用之和最小？2 T我们不妨设总费用为 则,FZHCT18其中 为采购费， 为每次的采购费。 为保管费， 为平均库存量，0cQRC0cQcH这里 ， 为单位物资在计划期内的保管费， 为一个采购周期内物资12RthH1 1t的存储时间。所以保管费为Qtch12注意到 ，上式可改写为Dt211,QRcHh2tcZz21注意到 ，则上式可改写为2DtQQRcZz/12因此上述库存问题归结为求解DQRcRcQfFzh2),(min02 这是一个求二元函数 的极小值的问题，仍可用微积分方法求解得到,2f)(2)(0*zhzzhcDQ容易证明它们即为使总费用 取得最小值的经

42、济采购量 和最经济的缺货量),(2QfF*Q，而最小费用为 。*2 *195.4 最佳捕鱼方案秘鲁是一个捕鱼业非常发达的国家，随着人们对鱼粉需求量的增长，秘鲁的捕鱼量不断增加。到 1960，秘鲁已成为世界上捕鱼量最大的国家，年捕鱼量达到 1000 万吨，约占全球捕鱼总量的 15%。捕鱼量的稳定增长使海洋生物学家越来越感到不安，1972 年，生物学家们认为，秘鲁捕鱼量已达到了能维持鱼群正常生长情况下的最大捕获量的两倍，政府如再不加以控制，采取措施制止几近疯狂的捕捞，秘鲁的渔业资源将趋于枯竭，渔业生产会陷入完全崩溃的境地（Paulik,1971） 。秘鲁政府部门对生物学家的忠告未予理睬，对渔民们的

43、过度捕捞听之任之。到 1973 年，生物学家们的担忧开始显现。当年，秘鲁沿海的鱼量猛减，渔民几乎无鱼可捕，出现了所谓“鳀鱼危机” （Idyll，1973 年） ，并引起了全世界范围内粮食价格的上涨。下表是秘鲁海洋学院 1974 年提供的秘鲁渔业的历史统计数据：表 5-15年 份 船 数 捕鱼日数 捕鱼量（百万吨）195919601961196219631964196519661967196819691970197119721973 4146677561069165517441623165015691490145514991473139912562942792982942692972651901

44、701671621808989271.912.934.586.276.428.867.238.539.8210.628.9612.2710.284.451.78如何制定最优捕鱼方案，在不破坏鱼类生态平衡的前提下获得最大的捕鱼量呢？鱼类学家 M.Schaefer 于 1975 年在 Logistic 模型的基础上建立了捕鱼问题的优化模型，提出了一个最优捕鱼方案的建议。以下，让我们来看看他所建立的模型。用 记 t 时刻海洋中鱼的数量， r 为鱼的净增长率，K 为环境所能供养的饱和鱼量。)(x假设（1） 在无捕捞情况下，鱼类按 Logistic 模型增长，即鱼的数量满足 Logistic 模型：（5

45、.11）)(1(xFrxdt（2） 考虑捕鱼对鱼类生长的影响。令 h 为捕捞率， ，此时，鱼类增长满足qEx的微分方程为：20（5.12）qExKrxdt)1(捕捞率取为 的原因是捕获量与海洋中现有的鱼量成正比。q 表示捕捞系数，与捕h捞的生产水平有关，捕鱼的工具越先进 q 就越大，为降低渔民的劳动强度，自然 q 越大越好。然而，正如前面所说，政府应当控制渔民的捕鱼，不能随其任意捕捞。控制的强度通过一个被称为捕捞能力的系数 E 来调节（可以用规定禁止捕鱼的休渔期或划定禁渔区域的方法来实现） 。正如第三章中 Logistic 模型所指出的，微分方程（5.11）有一个平衡解 ，当Kx时，随着 t

46、趋于无穷，将有 。对于微分方程（5.12） ，平衡点的位置发)(txKKtx)(生了改变，它被移到了方程0)1(qExr的根 处， 满足 ，即x xK)(= （5.13）qr易见， 为二次曲线x（5.14）)1(Kxry与直线 的交点 （5.15）qE见图 5-2。（图 5-2）令 qExKrxdtG)1()(显然， ， 将 在 处展开成0x（5.16）)()()( xox21求导得 ， qEKrxG2)( qErxG)(（1） 若 ， （此时 ，即捕捞率小于鱼的内禀增长率） ，则当 时0 x，从而， ， 随时间 t 而增大并趋向于 ，当 时)(xdt)(txx，从而， ， 随时间 t 而减小

47、并趋向于 。总之，此时G随时间 t 的增大必趋向于平衡点 ，此时平衡点 是稳定的平衡点。)(tx xx（2） 反之，若 ，则类似可证，随着时间 t 的增大， 将远离平衡点，此时，0)(x )(t平衡点是非稳定的。当然，这一结果是十分显然的，因为在 时，0xG，捕捞率超过了鱼的增长率，海洋中的鱼类数量将越来越少，最终必将趋qEr于绝灭。（3） 若 ，则尚需检查 的符号。0)(xG)(xG根据以上分析，捕鱼必须控制在 （即 ）的限度以内，现在我们将进0qEr一步分析，在此前提下，又应如何捕鱼，才能使每年的捕获总量最大。为此，将（5.13）代入捕鱼量公式 ，得到在平衡条件下的捕鱼量：qExy（5.17）)(rK为求捕鱼量最大，令 ，求得 ，将其代入（5.17）式，即可求得最大捕获0dEyqr2量 ， 此时 。4ry2x上述结果也可从图 5-2 中看出，如取 ，曲线 与 的交点记2Kx )1(Kxry2为 ，则易见在射线(5.15)与二次曲线(5.14)的交点中，过 的一条在交点处具),(yx ,y有最大的纵坐标