1、第2第4章讨论的都是具有单一目标函数的最优化问题。实际中，还会遇到同时追求多个目标的最优化问题。例如，对于一个生产过程，总是期望高产出，同时还要求少用料、省工时等等。像这样有多个目标的最优化问题称为多目标规划。自二十世纪70年代以来，对多目标规划的研究开始广泛起来，所获成果已对现代经济、政治、科技和军事等方面产生重要影响。这里将介绍多目标规划的数学模型、有关概念，以及基本的求解方法。,第五章 多目标规划,5.1 数学模型,例5.1 P298,例5.2 P298,多目标最优化问题的数学模型的一般形式为,（5.1）,如设,则（5.1）将可简单地表示成,（5.3）,（5.3）是多目标问题的向量极小化
2、模型，其中v是vector,为容许集。,称为向量目标函数；,称为分量目标函数。,（向量）的字头，,如果（5.1）中的所有函数都是线性的，那么通过变换，（5.1）可写成如下形式,（5.4）,这是多目标线性规划的标准形式，其中,是,矩阵。,5.2 解的概念与性质,与单目标最优化问题相比，由于目标函数不再是单一的，因此多目标最优化问题的最优解概念变得复杂起来，并产生了各种意义下的“最优”概念。,定义5.1 考虑问题（5.3）。若存在,，使得对于,，都有,（5.5）,则,称为（5.3）的绝对最优解。所有绝对最优解的集合,或,。,称为绝对最优解集，记作,注意，（5.5）等价于,例5.3 P300,在实际
3、中，多目标最优化问题存在绝对最优解的情况不多见。因此，必需扩充最优解的概念。为此需要建立向量间的自然序关系。除在定义1.1中定义的序关系外，还要用到下面的序关系。,定义5.2 设,和,都是,维向量。若,并且至少有一个等号,小于向量,，记作,或称向量,大于向量,，记作,。,是严格小于号，则称向量,，,例如，向量,和,之间有,，,（参看定义1.1），而,和,之间不存在自然序关系。,如下的序关系：,需要注意的是，由关系式,可以导出,但反过来不成立。例如,和,的序关系可以写成,但不能写成,。,定义5.3 考虑问题（5.3），设,。若不存在,，使得,，则称,是（5.3）的有效解，,又称Pareto解（这
4、个概念是经济学家V.Pareto于1896年引入的）。所有有效解的集合称为有效解集，记作,或,。,，,，,绝对最优解是从正面定义的，而有效解是从反面定义的。 为有效解的含义是，在容许集内找不到比 在“ ”意义下更好的解。,一般说来，有效解不是“最优的”，但可以说它是“不坏的”，因此有效解又称为非劣解。在多目标最优化理论中，这是一个最基本的概念。比有效解还差的“非劣”解是弱有效解。,定义5.4 考虑问题（5.3），设,。若不存在,，使得,，则称,是（5.3）的弱有,或,。,效解,。所有弱有效解的集合称为弱有效解集，记作,弱有效解也是从反面定义的。 为弱有效解的含义是，在容许集内找不到比 在“ ”
5、意义下更好的解，也就是在 中找不到 ，使得,。,下面的几个定理描述了各种解之间的关系。,定理5.1 设,表示（5.3）中第,分量目标,函数,在,上的最优解集，则（5.3）的绝对最优解集,定理5.2 绝对最优解必是有效解。,证 设,，则对,，都有,这表明对于,，,，即不存在,使得,，故,。,。,，,定理5.2表明,。,定理5.3 有效解必是弱有效解。,证 设,，则不存在,，使得,换句话说，对于,，都有,。这,，更有,，即不存在,使得,，故,。,表明对,，,定理5.3表明,。,。,定理5.4 各分量目标函数在,上的最优解必是弱有效解。,证 对于,，设,，则对,，都,。从而不存在,，使得,故,。,有
6、,，,定理5.4表明,。,推论5.5,综上所述，各种解集之间有如下关系：,定理5.6 若（5.3）的绝对最优解集,，则它的,。,有效解集,定理5.7 若（5.3）的容许集,是凸集，且每个分量,在,上均是严格凸函数，则它的有效解集,目标函数,与弱有效解集相等。,例5.3 考虑多目标最优化问题,试验证：,。,解 容易验证，,和,都是容许集上的凸函数，它们的,和,。因为,根据定理5.1，绝对最优解集,。,最优解集分别为,，,由于 和 在各自最优解集的左侧和右侧分别都是严格递减函数和严格递增函数（见图），,5.4，不存在弱有效解。,所以在 和 中，根据定义,在 中， 是严格递增的，而 是严格递减的，因
7、此，根据定义5.3 可以判断 中的点都是有效解。又在 中， 是严格递增的，而 是常数，根据定义5.3可以判断 中不存在有效解。因此，有效解集 。,综上所述，并依据推论5.5可知，弱有效解集,。,5.3 评价函数法,求解多目标最优化问题，最好求出绝对最优解。如果绝对最优解不存在，则应该求出有效解，最差也要求出弱有效解（如果存在的话）。,有效解和弱有效解通常可以构成解集，但要想求出这个解集是比较困难的。对于实际问题，能求出满足要求的有效解或弱有效解就可以了。求解多目标最优化问题有多种方法，包括主要目标法、分层排序法、重点目标法、评价函数法以及分组排序法等。最基本有效的方法是下面要介绍的评价函数法。
8、,1. 基本定理,定义5.5 设,，,。,）若当,时，总有,，则称,是,的严格单调增函数。,）若当,时，总有,，则称,是,的单调增函数。,定理5.8 设,，,，又设,是如下问题,（5.7）,的极小点，那么,）若,是,的严格单调增函数，则,；,）若,是,的单调增函数，则,。,证 ）使用反证法。假设,。根据,定义5.3，则必存在,，使得,。由,的严格单调性，则必有,。这与,是（5.7）的极小点相矛盾。,）证明与）类似（习题5.11）。,2. 几个常用的评价函数,（1）线性加权函数,设,满足,和,如取,，称为线性加权和函数，则有如下结论：,。,）当,时，,是,的严格单调增函数；,）当,时，,是,的单
9、调增函数。,根据定理5.8，只要取,（或,），那么求解,多目标最优化问题（5.3）就可以转化为求解单目标最优化,问题,即,这个单目标最优化问题的极小点就是（5.3）的有效解,（或弱有效解）。,该方法因,称为线性加权和法。这里的,分别称为分量目标函数,的权系数，,称为权系数向量。权系数的,相对大小表征各分量目标的相对重要程度。重要的目标应赋予较大的权系数，不重要的目标应赋予较小的权系数。因此，特别是在对实际问题的求解中，权系数的选取就成为求到合理的有效解的关键。的具体选取方法将在3.中讨论。,例5.5 用线性加权和法求解例5.1。,解 把例5.1中第二分量目标函数的求极大转化为求极,小，问题变成
10、,如果第一和第二分量目标函数的权系数分别取为0.3和0.7，那么上述问题就转化为如下单目标最优化问题,用第4章中的方法可以解出这个问题的极小点,它是原问题（例5.1）的有效解。其实际含义是，当宽为0.5013而高为0.8653时，可使木梁的重量最轻且强度最大。需要指出的是，这是在重量和强度的权系数分别取0.3和0.7时得出的有效解。,，,（2）理想点函数,假设（5.3）的各分量目标函数在,上都存在极小点。,因此可设,极小值,称为第,分量目标函数的理想值，点,称为向量目标函数,在其值域,空间中的的理想点。,的值域是,而值域空间是指,所在的,维空间,。,，,当,时，因为对于,，均有,，因此,是(5
11、.3)的绝对,最优解。又因为,，此时,因此，当,彼此相等时，,的理想点在其,不完全相等时，,值域中。但是，当,的理想点,就很可能,不在其值域中了。对此，有一个很自然的想法：找一点,，使得,与理想点,的“距离”在某种,应该是（5.3）的一个最优解。这个,意义下最小，那么,想法导致产生如下的评价函数,称为理想点函数，其中,是,中的某种模。,例如，采用,模的评价函数为,。而其中最常用的是2模评价函数,（5.9）,（5.8）,容易验证，（5.8）是严格单调增函数。事实上，设,，则,。于是，,这样，求解（5.3）就转化为求解,即,这个问题的极小点就是（5.3）的有效解（定理5.8）。该方法称为理想点法。
12、,（3）平方加权函数,对形如（5.9）的评价函数从两个方面加以改造：第一，把 换 为在 上极小值的一个尽可能好的估计 。这样可以避免对每个分量目标函数求极小值的计算；第二，对平方和的各项赋予权系数。此外，去除（5.9）中的开平方运算。这样既考虑了各分量目标函数的不同重要程度，又避免了不利于数值计算的开平方计算。因此，获得评价函数,（5.10）,容易验证，当,时，,是,的严格单,调增函数（习题5.13）。于是，求解（5.3）就转化为求解,这个单目标最优化问题的极小点即是（5.3）的有效解。该方法称为平方和加权法。,（4）极大函数,取极大函数,（5.11）,作为评价函数。,更一般地，也可以对,依次
13、赋予权系数,，取,（5.12）,作为评价函数。容易验证，当,时，,是,的单调增函数。这是因为：若,，则有,。因此，,在选取（5.12）作为评价函数时，求解（5.3）就转化为求解单目标最优化问题,（5.13）,根据定理5.8，这个问题的最优解是（5.3）的弱有效解。该方法称为极大极小法。,（5.13）可以解释为在最不利的情况下求最好的结果。,在实际计算中，直接求解(5.13)是不简便的。考虑对,在,上的共同上界,求极小，即,（5.14）,定理5.9将说明（5.14）和（5.13）是等价问题。,定理5.9 设,，则,为（5.13）最优,使得,是（5.14）的,解的充要条件是，存在数,最优解。,证
14、必要性 设,是（5.13）的最优解，并取,显然,是（5.14）的容许解。又设,是（5.14）,的任意一个容许解，则,这表明,是（5.14）的最优解。,充分性 设,是（5.14）的最优解。显然,对于,，取,，易见,是（5.14）,的容许解。,于是,上式表明，,是（5.13）的最优解。,如果选取（5.11）作为评价函数，那么求解（5.3）就转化为求解单目标最优化问题,即,其最优解即是（5.3）的弱有效解。,3. 权系数的确定方法,在上述几个评价函数中，一般都可以赋予权函数。不同的权系数通常对应不同的有效解或弱有效解。对于实际中的多目标最优化问题，并不是所有的有效解或弱有效解都有实用意义。例如，例5
15、.1中有效解 和 无实际意义。因此，选取合适的权系数有时就显得至关重要。,在确定权系数之前，一般要对各分量目标函数值做统一量纲的处理。不然的话，可能会由于各分量目标函数值存在数量级上的较大差别，而导致权系数作用的失效。例如，数量级较小的目标函数即使赋予较大的权系数。在变换后的单目标最优化问题中它也不起太大的作用。,统一量纲的处理一般分为两步：第一，各分量目标函数都加上同一个正数，使得新的各分量目标函数,在,上的取值都大于零；,第二，求,在,上的极小值，依次设为,，然后把,作为最终的,分量目标函数。,下面介绍两种常用的确定权系数的方法。,（1）老手法,如果问题的目标仅有少数几个，而且计算者对问题
16、有深入的了解，能够从专业理论和实践经验中找到根据，那么计算者可以直接确定各目标的权系数。但是，当目标较多时，单凭一个人的经验估计就那么不科学了。这时，可使用老手法：通过汇集多位老手的经验估计来确定权系数的一种方法。而老手是指有关专家和有实践经验的工作者。,下面介绍老手法。,设有,个目标，请了,位老手。在老手们对问题,了解之后，他们独自地对各目标的重要程度进行评估。,充分,设第,位老手对第,个目标赋予的权系数是,，要求,，,。计算各目标,权系数的算术平均值,显然,。再计算各位老手所提供的权系数,与其平均值的最大偏差,（也可以使用均方差）。设用,表示事先选定的,偏差。于是，若,最大允许,则表明老手
17、们的经验,是可接受的。,估计没有显著差别，权系数,否则，需要与有较大偏差的老手讨论、协商，让其对权系数给出新的估计。然后再计算偏差。重复上述过程，直到所有偏差不超过 为止。,（2）,法,法是借助各分量目标函数在容许集上的极小点所,求解单目标函数极小化问题,提供的信息来确定权系数的一种方法。对于,，,设各分量目标函数在容许集上的极小点分别为,。,如果这些极小点彼此相同，那么就求到了（5.3）的绝对最优解(参看理想点法)。否则，利用这些点一般可确定出,值域空间,中的,个点：,。,假设这 个点彼此不相同，那么由它们可以确定 中的一个超平面。设用 表示这个超平面的法向量。如果 满足,且 （或 ），其中 表示所有分量为1的 维向量，那么 就可以被选作权系数向量。,事实上，以,为法向量的超平面方程为,，中,是任意常数。现在要选取,以满足,，这就是该法,法的缘由。,被命名为,把,个点,代入超平面方程,，然后与,联立，立刻得到如下具有,个未知数的线性代数,方程组,若设,则方程组可简写为,由此解出,若,（或,），则,就可以作为权系数向量。,
