1、12011 级（上） A 卷一：填空（ ）513当 时， 与 是等价无穷小量，则0x)(32ax1cosx。_a 设函数 是连续函数 在区间 上的一个原函数，则)(F)(f,ba。badxf_ 星形线 的弧长是 。3232ay0_ 的 n 阶麦克劳林展开式为(带皮亚诺型余项) 。x1 曲线 上曲率最大的点为 。yl_二： 求极限：)513( ； xx2cotlim2 ； 。xdtetxcos1)(li0 nn3121lim 三： 设 由 确定，求 。)8()(xytcos212,dxy四： 求积分：)24( ； 。dx12(cos)xed五： 设一可微函数 由方程 所确定，试)8( )(fy2
2、33yx求出 的极大值与极小值。)(fy六： 曲线 绕 轴旋转得一旋转体，若把它在 与)(21x0x之间的一个旋转体体积记为 ，试问 多少时，x )(Va。)(lim2)(Va七： 设 在 上连续，且满足方程：6fx,，试求函数 。dttf0)()( ()fx八： 判断下列各题是否正确，不正确的请给出反例。对于错42题，举不出反例的，则该小题扣 1 分！若 是 内图像过原点的可导函数，且 ，则)(xf), 0)(xf2。 正确； 错误；反例： 。0)(xfAB_设 在 内连续且有界，则 在 内至少有一个),)(xf),极值点。 正确； 错误；反例： 。九：证明题 设 在 上二阶可导，且 ，证明
3、：)5(fa,00xf。 adxf0)2()( 若 在 上是周期函数，且 ()fx，证明：)3(f,。x2010 级（上） A 卷一：填空（ ）51 设 ，则 。ln)(23xef _)1(f 曲线 的拐点为 。yarct 设函数 在 处连续，则 。0,sin1)(023xadtxf _a设 的一个原函数为 ，则 。)(xf xln_)(dxf 。_1lim2nn二： （判断下列各题是否正确，不正确的给出反例，若错题，)5(举不出反例，则该小题不给分） 函数 在 内可导，则 在 内无界的充分必要条件是)(xf,ba)(xf,ba在 内无界。 正确； 错误；反例： 。AB_连续的奇函数的任一原函
4、数都是偶函数。 正确； 错误；反例： 。设 在 内连续且有界，则 在 内至少有一个)(xf),)(xf),极值点。 正确； 错误；反例： 。AB_若 在 内有定义，且对 ，有)(xf),),(x，则 在 内是连续函数。0(lim0hxfh )f正确； 错误；反例： 。AB_3假设 存在，则 收敛。Adxf)(limdxf)(正确； 错误；反例： 。B_三： 设函数 可导，且满足方程)6()(xf，xdtft1)(ln1试求函数 。)(xf四： 求极限：26( ； 。xxsinta)co1lim022)(sinlimxx五： 设 由 确定，求 。)8()(y0)cos(iiytdxy六： 求积分
5、：0125 ； 。dxcos dxx1022)(七： 设 ，)8(2sinxtf证明： ；)(xff求 的最大值和最小值。)x八： 由原点 向曲线 作切线，试求该切线与曲线8(0,(xyln及 轴所围平面图形的面积，并求该图形绕 轴旋转一xyln x周所形成的旋转体的体积。九： )824( 设 为 上的单调递减的连续函数，证明：当 时，有xf,00x。0)(3(2xdtft 若 满足以下条件： 在 上连续； 存)(f x),a)(limxfx在且有限； 收敛；试证明： 。af)( 0(lifx2008 级（上） A 卷一：填空题 )216( 极限 。_arctnlim30xdtx4 设隐函数
6、由方程 确定，则 。)(xy12xy_dy 的垂直渐近线是 。21xey _ 。_)3(d 曲线 在 上的拐点是 。 432xxy,1 _ 由曲线 轴及 所围平面区域的面积为 。,ln2y二：单项选择 )052( 数列 单调且有界是该数列收敛的 。nx _必要条件； 充分条件； AB充要条件； 既非充分又非必要条件。CD.当 时， 与 是同阶无穷小量。0x )21ln()cos()xxf； ； ； 。 345C2xD设 在 连续， 则 是)(f,ba),()(badtfFxa(F的x。_原函数的一般表达式； 一个原函数；AB上的积分与一个常数之差； 上的定积分。C,baD,ba 设曲线 处处有
7、切线，且满足 ，则该)(xfy 12)()1lim0xfx曲线在点 处的切线斜率为 。1, _2； ； ； 。AB-CD 曲线 在区间 上是 。 2xey,0_单调上升且下凸的 ； 单调上升且下凹的；单调下降且下凸的； 单调下降且下凹的。C三：计算极限或判断连续性 )216( ；xx2tan)1(lim求 的间断点,并指出其类型。si|(1)f四：求导计算 025 设 ，求 。 ln()arctxy2,dxy 设 ，求 。si2()ny5五：计算积分 )216( . 10arctnxd21xd六：计算广义积分 。)6(2(1)x七： 设 , ,讨论方程 的根的存在情况。)(0alnfa()0f
8、x八： 有一容器开口向上，其侧壁是由抛物线 绕 轴)6( 2,py旋转而成旋转曲面，当匀速向容器内注入水时，试证明水面升高的速度与当时液面的高度成反比九： 设函数 满足 ，)6()(xf ,)(baxfa,)(kxf，其中 。试证明：在 上存在 ，使得,bax10k； 令 ， ， ，则极限()f,xb1()nnxf1,2存在且极限值为中的 。limnx2007 级（上） A 卷一： 填空 ( )513 当 时， 关于 的 阶无穷小，则0x2bxaex3；_,a 曲线 在 相应的点的切线方程为_。4cos9inxty设 ，则 _。 2xe(5) 积分 _。10d 曲线 上相应于 从 到 的一段弧
9、长为_。32yx03二：选择填空( )15函数 的定义域是 。24ln()xxf_； ； ； 。A(,2B,1(),C(,)D(0,)方程 在区间 内 。013x,_无实根； 有唯一实根； 有两个实根； 有三个实根。6 已知函数 ，下面说法正确的是 。21sin,0()xf _和 都存在； 和 都不存在； A(0)ffB(0)f()f不存在，但 存在； 存在，但 不存在。C (0)fD 0 定积分 作适当变换后应等于 。220sin1coxd _； ； ； A20dtB120tC201dtD201dt 若 是 上的可微函数，且 ，则()fxR0()()xfft。_2 ； ； 1 ； 。ABeC
10、D1e三：极限计算( )216 计算数列极限 。 limn 计算 。lim(2arctn)xx四：( )16 求由方程 所确定的函数 的二阶导()lyy()yx数。 求 在区间 内间断点，并指出间断点的类型。()tanxf(1,4)五：积分计算( )26 。 2rcsidx用代换 求积分 。4t40ln(1ta)xd六： 求由 和 轴所围区域绕 轴旋转一周)6(si,2coxtty x的旋转体体积。七： 相互垂直相交的两条河道宽分别为 米、 米，问能在两条河)( ab道中顺利行驶的船只最长不得超过多少米？八： 函数 在 上有二阶导数, 且 ， 曲线)7()fx02(0)2f与 在 内有一个交点
11、, 证明存在 y() (0,)使得 。“()f72005 年所有的答案都要写在答题纸上，写在试卷上无效一 填空题（每小题 2 分，共 20 分）1 若 , 则1,0()()lnxfgx_。()fgx2 的拐点为 _。4(1)6x3 设 ， 为可微函数，则 ()lnfxyfe()fx_。dy4 已知 ，当 时， 比2340()si,()xftdgx 0x()fx是_无穷小（填 高阶、低阶、同阶） 。()gx5 极限 _。20arcsinlim(1)xx6 设 ，则20(|,(0)xFtdx_。()Fx7 心形线 弧长为 _（用积分表2(1cos)示出来即可） 。8 积分 _。122sin()xd
12、x9 设 在 处的 阶 Taylor 公式是 (lnf01n，则 当 时 系数0(1),nkkaxox3_。n10 已知 则极限 2(),1xf_。12lim()nnkf二 计算（每小题 6 分,共 12 分）1 已知 ，求极限 。()5()1ff25()limxfx2 找出函数 的间断点，并且指出间断点的类型。|sin()xf三 计算（每小题 6 分,共 12 分）81 若 ， 求 。2ln(1)arctxy2dyx2 若圆 与 均过（0，0）点，且在22()()br2（0，0）点有相同的一阶和二阶导数，试确定此圆的方程。四 计算（每小题 6 分,共 12 分）1 求 的单调区间和极值。21
13、()lnfx2 曲线 与直线 在 处相切，其中 ，yyaxb(,ln)c24c求 使得 ， ， 所围区域的面积最小。clx24五 计算（每小题 6 分,共 12 分）1 。2arsind2 已知 ，试用 A 表示定积分 。20cos()xA20sinco(1)xd六 证明 （每小题 6 分,共 12 分）1 若数列 ，证明 数列 极限存在。312nxdxnx2 设函数 在 上连续，在 内可导，且()f0,3(0,3)，试证明存在 使得(0)1(2)3,()1fff(0,3)。七 附加题（10 分）本题目不记入总分，本题目分数仅供培优班选拔学生参考下面证明中可直接用“若 存在，则 一定存在”(0
14、)fc(0)fc这一事实。设 在 点附近有定义，()fx1 若 存在，则 。0c0()()()limhfffc2 若 和 都存在，则 。()f()fffc3 举例说明 当 存在时， 可以不存在。c()c4 举例说明当 存在时， 可以不存在。()f0f2011 级（上）答案一： ； ； 6 ；23)(aFba9 ； 。nknxko01)0(2)( )2ln1,(二： 原式 ；xx2sinc)lim2xx2sinlmcosli2x 原式 ；exil0col0ex 原式 。203ln1d三： ，tttytxsic,2， 。ttdsinco2tdxysin3co2四： 令 ，则 ， ，xt 12t2)
15、1(8td原式 22)(81tdt tt)(42ttt22 dtt112ctarn1ln = ；cxx2arctn21ln 原式 。223ede五：两端关于 求导，有 ，得x0yx ， 两个驻点12y1, 当 时 ，当 时 ，所以 为极小值，x0x0y0f 当 时 ，当 时 ，所以 为极大值。1y1六：旋转体介于 和 之间的体积为：x ，dxV02)1()( 21由题意： ， 。2aa七： utxdtfxf 0)()( 0)(xduf10，xduf0)(xduf0)(xduf0)(两边求导， ， ，x0，由题意， ， ， ffx22 )(f0)(f因此， ，即， 。xx令 ，由 中值定理，fM
16、21,0maLagrne，Nnx,Mff ffffxn2141 021022 所以 ，对区间 ,00xxf 21,n重复上述做法，有 Rf八： 正确； 错误 反例 。xfarctn九：因为 ，所以 为凸函数，由 不等式0xffJensaadxfdxf001即 20ffa ，作数列 ：RnxnTa则 为无穷大量，又 ()0)fxn由 定理 ，但Heilimnxffn所以 ，由 的任意性0af。x2010 级（下） A 卷 答案一： ； ； ； ； 27),1(2arctne31cxln。e11二： 错误；反例： ；B)1,0(,)(xf 正确；A 错误；反例： farctn)( 错误；反例： ；
17、B0,1xf 错误；反例： ，但 发散。sinlmAddxsin三：由条件， 。0)1(fxtt1 1)(xufuxdfu)( df1)xd1，代入原式，1)xx(fln( )fxuf1)(即 ，两边对 求导，得：xdux)1， ，l(f xfln)(， ， 。cxx2n) 01xf2ln1l)(四： 原式 ；)cos1(tan2lim0xxxcos12lim0xsin21l04原式 )2(4ili2xx)2(4li2x8il21五：由 ，两边对 求导，0cosinytyt0)sin()1(ydttt解得： 。 而 ，ttydti)si(ctdtxcosin2。ttytxcosin21i)in
18、(o六：1 令 ，则 。dx,原式 tdcos122t2secttandttancttosl4a12。cxx2osln42ta2 为瑕点，令 ，得1xti原式 202cos)in(stdt202sintd202cos1t。20art4七： 2sin)(xdtf u2)sin(xdu，)(sin2fdux由， 以 为周期，故只需求 在 上得最值即可。)(f )(xf,0时， ；2,0x2sin)(xdtf sinco，令 ，得 ，fsico)( 0f41x；)2(,)4(,10f时，,2xxdtfsin)(2sinxdt2sincox，令 ，得 ，ficos)( 0)(f4321,2)43(,1
19、f故 ， 。max)43(inf八：设切点 ，切线方程： ，)ln,(0 )(l00xxy由切线过原点，得 ，切线方程： ，ex0e面积： ，12ln21dS或 ，)(0yey体积： ln2l3l3 112 dxxexVe。 e)(九：证明：当 时，令0x，dtftF2)(3() xxdtftdtf0202)(3)(13)(3)()(2)( 220 xffxdtfxF )(2)(0xfdtfx由积分中值定理， ，ts.,t0又 单调递减，)(xf )()(xxff， 单调递增，故)2FF0)(x反证：不妨设 ，则 当 时，0)(limxfx ),(aNx；而 ，2)(fadafdf(存在，但是
20、由于 ，所以 不存在，Nadx)(2)xf Nx)从而 发散，矛盾！所以 。f)( 0lifx2008 级（ A 卷）答案一： ； ； ；132ydx 0x ； ； 。23()6xC)3,1(2e二： DAB三： 原式 xx2sinco1limx2cos1lim。sili1x 函数的间断点为 。0,1， ，故 是跳跃间断点；1)0(f)(f0x，故 是可去间断点；1sinlim2xx，故 是第二类间断点。()f四： ； 2dytx2214yt )2(2)1(1)()( sinsinsinn xCxC22 x五： 原式 102arctndx102arctn1dxx1208414 原式 tdttx
21、ansecs1ec2 ctdtsin)cos1(aroxC六： 原式 。dx2)1(1ln2ln七： ，于是驻点为 ， )fxaa时， 单调递减，10)(,0xf时， 单调递增，axf故 为极小值，也是最小值。()1lnf当 时 有唯一的实根，e0fx当 时， ，而 ，0a()a0lim()li()xxff由根的存在定理， 使得 ，,1,21a0)(21xf此时方程 有两个根。()0fx当 时， 没有根。1ae()0fx八：证明:首先必须求出在液面高度为 时，容器内液体的体积 与 的hVh函数关系由于侧壁轴截线方程为 ，从而可知2,0xpy，2002dyxVhh所以有 tpttd由于注水速度为
22、常数，即 ，于是Ct，11d2hVktpth九：证明： 令 ，因为 在 上连续，(),Fxfxab()Fx,ab且 ， ；由根的存在定理，()0af()0f在 上存在 ，使得 集 。,b()由 1nx)(fxfnfnxk12k1k15而 ，于是 .1lim|0nkxlimnx2007 级（ A 卷） 答案一： ； ；,2ab924yx ； ； 。16(5)xe143二： CBD三： 原式 2limx2lilimn2(ln)xx0原式 (arct)li1/xx21x2lix四： 方程两边对 求导得 ，()ln(1)yy而 ，于是 ,于是 xy2)ln(2。22311“xyy 当 时函数无定义，且
23、 ，于是 是可去间断点；0x0lim1tanx0x当 时函数无定义，且 ，于是 是可去间断点；22litx2当 时函数无定义，且 ，于是 是第二类间断点。xlitanxx五：令 则 ，,arcsinttsi原式 tdtdt cscoitoslc。cxx21lnari(295 页例 11)六： 20dyV203)cos(dt203)sin(dt。062sin1ut 22065iu七： 船的最大长度是 的最小值sicoball16，令 得332cosin()ibal0)(b33t.0t当 取最小，求出最小值即可。3arctnb船的最大长度为 。23()la八：证明：令 ,则 ，2(),02Fxfx
24、()20F由已知存在 使得 ,于是由罗而定理，存在0,t()t，使得 11(,)(2)11()再次使用罗而定理存在 使得 。1(,)(0,21“()0F05A参考答案一 填空1 ； 2 ； 3 ln,12x (4,162)；()()llfxfxdyfeedx4 同阶；5 ； 6 ；7 13421,x；220(cos)inad8 ； 9 ； 10 。/(1)1ln2二 1 解 225()5()()(2limli 5(2)3xxf fxfbal172 解 函数 的间断点是全体整数，|(1)()sinxf，所以 是跳跃间断点；1(0,0ff0x，所以 是可去间断点；其他间断点是第二类1lim)x1x
25、间断点。三 计算 1 解 ；2231,4dytxt2 解 由于 在圆上，因此 ， 在（0，0）点(0,)22abr2yx有相同的一阶和二阶导数分别为 ， 圆的方程两边对 x 求0,导得 (0,)(0,)|,dyxaab(0,)21“|2,()ybr于是圆的方程为 4x 四 计算 1 解 ，22ln(l)()01,xf xore，因此 在 上单调下降，()0,fxf,因此 在 单调上升，2,(,)e()x21,e因此 上单调下降。()fxf)是极小值点，极小值为 0； 是极大值点，极大值为 12xe24()fe2 解 设切点为 ，则切线的方程为 (,ln)(24)cc1lnyxc42 6()l)
26、lscxdc 6 0,3c2“()09s因此 时面积最小，最小值点为 3c,ln3五 解 118221arcsin()arcsin1il|dxxdx2 解 220000sinco1sin1sin1cos()42uxx duddux分部积分可得 ()A六 1 证明 由于被积函数为正的连续函数，因此 单调增加，又nx32311212nnxdx由单调有界必有极限原理，数列 极限存在。nx2 证明 设 在 上最大值和最小值分别为 ，于是()fx0, ,Mm1()(2)13mff由连续函数的性质，存在 使得 。 在 满,()fx,3足罗尔定理的条件，于是存在 使得 。(03)0七 1 证明 由于 存在，则 一定存在。令(0)fc(0)fc，;(),fxF则 0 000()()(limlimlim()li()0)h hhhfcfcFffc2 证明 又若 都存在则 在 点右连续，于是()f()fx00)()()lili (0)hhccff fc3 例如 ， 存在，但 不存在。,1xf()f()f4 例如 ， 存在，但 不存在。2sin,0(),fxx()f(0)f
