1、第 0 页 共 5 页教 案课题：定积分的概念一、教学内容：1. 定积分的概念及几何意义；2. 利用定积分的概念或几何意义计算简单的定积分。二、教材分析：本次课是学生在导数概念和求曲边梯形的面积还有求变速直线运动的路程后的学习,定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺垫,起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体现着微积分“无限分割、无穷累加” “以直代曲、以不变代变”的基本思想。所以,无论从内容还是数学思想方面,本次课在教材中都处于重要的地位。三、教学目标：通过前面学习的求曲边梯形的面积和求变速运动的路程，归纳它们的共同特征，为引出定积分的概念做好了前期工作，使学生了解定积分的实际背景
2、，理解定积分的思想方法，构建定积分的认识基础;通过“数形结合”的方法使学生理解定积分的几何意义,掌握定积分的概念。四、教学重点、难点 ：教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义；教学难点：用定义求简单的定积分。五、学情分析：我所教授的学生从基础知识比较薄弱，有的接受有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。六、教学方法：根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。七、教学手段：传统教学与
3、多媒体资源相结合。第 1 页 共 5 页八、教学过程：1、复习前面所学的求曲边梯形的面积和求变速运动的路程，归纳它们的共同特征，由这两个实际例子引出定积分的概念.复习 1 求曲边梯形的面积分四步来解决：（1）分割(化整为零) （2）近似代替（以直代曲） （3）求和（求曲边梯形面积的近似值） （4）取极限（积零为整）复习 2 求变速直线运动的路程（1） 分割（化整为零） （2）近似代替（以匀代变） （3）求和（求总路程的近似值） （4）取极限（积零为整）总结：上述二问题一个是几何问题，一个是物理问题，但从数学的角度来考察，所要解决的数学问题相同：求与某个变化范围内的变量有关的总量问题数学结构相同
4、：求 个乘积 之和 ，当 时的极限 nixf)(1()niifx0i它们研究的对象有三个共同的特点：（1）都有一个在某一区间上的连续函数；（2）所研究的量在这一区间上具有可加性：即区间被分为 个小区间时，所研究n的量也被相应的分割为 个部分量，且总量等于部分量之和；n（3）在每一小区间上都可确定相应的部分量的近似值.由此找到了研究这些问题的相同方法：（1）化整为零，找出局部近似值；（2）积零为整，求出和式的极限,得精确值.重要思想：1.由已知求未知；2.极限思想；3.问题归结；4.化整为零；5.以直代曲。第 2 页 共 5 页2、定积分的概念.定义 1 设函数 在区间 上连续，用分点)(xf,
5、ba将区间 等分成 个子区间在每个子区xxanii 120 ,ban间 上任取一点 ，作 个乘积 的和式 如,1iif)(niiii abfxf11)()(果区间长度 即 时，和式 的无限接近某个常数，则这个常数0ixnniixf1称为函数 在区间 上的定积分记作 ，即 )(f,babadf)(badxf)(niiixf1lm其中左端的符号“ ”称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称)(xf dxf)(x为积分变量， 称为积分区间， 称为积分下限， 称为积分上限,baab定积分存在称函数 在区间 上可积，否则称为不可积)(xf,有了定积分的概念，前面两个问题可以分别表述为：曲边梯形
6、的面积 是曲线 在区间 上的定积分，即 S)(fy)0x,baSbadxf)(变速直线运动的物体所经过的路程 是速度 在时间区间 上的定积分，s)(tv,即 batvs)(由定积分的定义可知(1)定积分 只与函数 的对应法则以及定义区间 有关，而与表示badxf)()(xf ,ba积分变量的字母无关，因而=bafbadtf()bafu(2)定积分 的实质是一种特殊和式（ 个乘积 之和）badxf)( nixf)(的特殊极限（ ） （该极限与 的分法无关，与 的取法无关） 0i ,bi什么条件下 可积？)(xf定理 1 若函数 在 上连续，则函数 在 上可积,ba)(xf,ba例 3 利用定义计
7、算 的值. 120xd分割方法-任意分割要求-最大宽度趋于 0这里的教学过程：教师提出问题，让学生思考，教师给出解决方案，让学生思考回答为什么求极限得到的就是我们要求的精确值，教师进行必要的引导、分析与归纳，在此基础上一步一步引导学生抽象出定积分的概念.可积的充分条件说明：-几何直观这里的教学第 3 页 共 5 页图 4.3教师分析与引导： 因 在区间 内是连续的，故 是存在的， 是2yx0,1120xd120xd一常数，且此数的大小与 的分法及对 在区间 的取法无关，为了好计算：,i,1i把区间 分成 等份 分点和小区间长度分别为 0,1n ,ixn(0,12)i n取 作积分和(,2)i
8、nininii xxf 12121 )()( )12(611323 nni )12(6n因为 当 所以n31)2(16lim)(li10210 nxfdxni3、定积分的几何意义从例子，我们看到当 时，定积分0)(xf表示曲边梯形的面积当 时，曲边badxf)( )(f梯形在 轴的下方，定积分 在几何上表示上badx述曲边梯形面积的负值当 在 上有正、有负时，则定积分 在几何)(f, badxf)(上表示：曲线 ，直线 ， 及 轴所围成的几块曲边梯形面积的代数)(xfybx和(图 4.3)，即 321Sdba例 4 利用定积分的几何意义说明： （ abdxa)b教师分析与引导：这里被积函数 ，
9、我们已经知道了定积分的几何意义，()1f故让学生画出草图，观察易得此积分表示底为 ，高为 1 的矩形的面积所以有 abdxa例 5 根据定积分的几何意义推出下列积分的值：（1） , （2） , （3） , （4） .1xRd2xdcos02xd1教师分析与引导：画出图形（1）由下图（1）所示， .)(11A过程：教师提出问题(定积分的几何意义)并给出答案，让学生思考并回答为什么，教师进行必要的引导、分析与归纳.下面请同学们进一步思考： 723?dx，为什么？解：提示学生画出图形，发现此积分等于矩形长为 4，高为5 的面积，故 7231dx教师提问： 72()?为什么？RO x y 2A(2)
10、-1 -1 1 1 1A1A O x y (1) 第 4 页 共 5 页（2）由上图（2）所示， .2d2RAxR（3）由上图（3）所示， . 20345cos()3535()0A（4）由上图（4）所示， .1612x定理 3 设函数 在 上连续，)(xf,a（1）如果 为奇函数，则 . ()0fxd（2）如果 为偶函数， . )(f 02()2()aaafxfdx 4、 课堂小结与思考题这节课我们从实际例子出发学习了定积分的概念及几何意义.定积分是通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量.希望同学们认真理解定积分的概念和几何意义，并灵活地掌握用定义或几何意义求简单的定积分的值.希望同学们灵活地看待问题，积极地思考问题，不断地发现问题和解决问题.切记，数学离不开解题，更离不开思考问题. 只有通过解题和思考问题才能积累经验，提高能力，把握本质，体会奥妙，产生灵感，变得熟练. 5、作业布置这个问题的教学过程：首先让学生思考，并回答问题. 然后教师进行必要的引导、分析与归纳，并给出完整的回答.教师进行必要的引导、分析与归纳，在此基础上一步一步引导学生O xy 1 -1 3A4A5A2 (3)111Oxy6A6(4)
