1、2012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 1 页 共 16 页湖南省湘潭市2012届高三第三次模拟考试试卷数 学(理科)本试卷分第一卷(选择题、填空题)和第二卷(解答题)两部分,共 150 分,考试时量 120 分钟.第卷(选择题 40 分,填空题 35 分,共 75 分)注意事项:请将选择题、填空题答案填在第卷解答题前的答题卡内一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1. 下列函数中,周期为 的是 2A B C Dsinxysin2yxcos4xycos4yx2.双曲线方程为 21xy,则它的右焦点坐标为 A ,0B
2、 5,02C 6,02D 3,03函数 的零点所在区间是21()logfxxA B C D (2,3)0, 1(,)(1,2)2012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 2 页 共 16 页4.下列说法中,正确的是A命题“若 2amb,则 a”的逆命题是真命题B命题“ xR, 0x”的否定是:“ xR, 02x”C命题“ p或 q”为真命题,则命题“ p”和命题“ q”均为真命题D已知 x,则“ 1”是“ 2x”的充分不必要条件5求曲线 2yx与 所围成图形的面积,其中正确的是 A 10()Sd B 120()Sxd C 2y D y6在数列 中, , , ,则 的值为 na1nan1N8
3、aA35 B36 C37 D387若 ,若 的最大值为 ,则 的值是 0xya2zxy3aA B C D1 42012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 3 页 共 16 页8.函数 ()(0)fxabc的图象关于直线 2bxa对称。据此可推测,对任意的非零实数 a,b,c ,m,n,p,关于 x 的方程 ()()0mfnfp的解集都不可能是A. 1,2 B 1,4 C 1,34 D 1,46二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 35 分其中 911 题为选做题,1216 题为必做题, )(一)选做题(911 题)每个考生从 9-11 这三个题中选做两个计入总分,如果全做,
4、则按选做题的第一、二个题计分 (每题 5 分,共 10 分)9 (优选法选做题)那霉素发酵液生物测定,一般都规定培养温度为( )C,培养时371间在 16 小时以上,某制药厂为了缩短时间,决定优选培养温度,试验范围固定在3245C,精确度要求 ,用分数法安排实验,令第一试点在 处,第二试点在 处,1C 1t2t则 = 。12t10 (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 cos2,则曲线 C 上的点到直线 tyx(21为参数)的距离的最小值为 11 (几何证明选讲选做题)如图,半径为 2 的O 中, 90AB,D为 OB的中点, AD的延长线交O 于点 E,则线段 D的长为 B
5、ODE2012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 4 页 共 16 页(二)必做题(12-16 题,每题 5 分,共 25 分)12已知随机变量 服从正态分布 2(,)N则 ()P 13.已知抛物线 的准线与圆 相切,则 的值为 )0(2pxy 16)3(2yxp14. 已知空间正四面体 ,则异面直线 所成角的度数为 BCDACDAB和15. 已知向量 和 的夹角为 , ,则 ab90|1,|3abba16在平面直角坐标系 xOy中, 为坐标原点定义 ()1,Pxy、 ()2,Qy两点之间的“ 直角距离”为 1212(,)dPQ=-+-若点 13A-,则 ,= ;已知点 (),0B,点 M
6、 是直线 30()kxyk-=上的动点, (,)dBM的最小值为 2012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 5 页 共 16 页湘潭市2012届高三第三次模拟考试试卷数 学(理科)三题号 一 二17 18 19 20 21 22 总分 合分人 复分人得分一选择题(本大题共 8 小题,每小题 5,共 40 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案二、填空题(本大题共 8 小题,其中 9,10,11 任选两题,满分 35 分)(一)选做题(任选两题作答,若 3 题都做,则按前两题给分)9、 10、 11、 (二)必做题12、 13、 14、 15、 16、 ; 三、解答题(本大题共 6
7、小题,共 75 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 )17(本小题满分 12 分)在 ABC中,角 、 、 C所对应的边分别为 a、 b、 c, 4a. ()若 52b,3sin, 求 的值;()若 ,求 的面积. c得分 评卷人 复评人得分 评卷人 复评人2012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 6 页 共 16 页18 (本小题满分 12 分)某种产品的广告支出 与销售额 (单位:百万元)之间有如下xy的对应关系 x2 4 5 6 8y30 40 60 50 70(1)假定 与 之间具有线性相关关系,求回归直线方程.(2)若实际销售额不少于 60 百万元,则广告支出应该不少于多
8、少?参考公式: niiixyb12 xbya2012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 7 页 共 16 页19 (本小题满分 12 分)已知正方形 ABCD 的边长为 1, ACBDO将正方形 ABCD沿对角线 BD折起,使 1AC,得到三棱锥 ABCD,如图所示(1)求证: O平 面 ;(2)求二面角 的余弦值2012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 8 页 共 16 页20 (本小题满分 13 分) 某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次按下后,出现红球与绿球的概率都是 ,从按钮第二次按下起,若前次出现红球,则下一12次出现红球、绿球的概率分别为 ;若前次出现
9、绿球,则下一次出现红球、绿球的概率,3分别为 ,记第 次按下按钮后出现红球的概率为 。32,5nnP(1)求 的值;2P(2)当 时,,N求用 表示 的表达式;1nn求 关于 的表达式。P2012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 9 页 共 16 页21 (本小题满分 13 分)给定椭圆2:1(xyCab 0 ),称圆心在原点 O,半径为2ab的圆是椭圆 的“准圆 ”。若椭圆 的一个焦点为 (2,0)F,其短轴上的一个端点到 F的距离为 3。(1)求椭圆 C的方程和其 “准圆”方程;(2)点 P是椭圆 的“准圆”上的一个动点,过点 P作直线 12,l,使得 12,l与椭圆 C都只有一个交
10、点,讨论直线 与 的位置关系1l22012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 10 页 共 16 页22.抛物线 ()ygx经过点 (0,)O、 (,0)Am与点 (1,)Pm,其中 0n,ab,设函数 xgnf在 a和 bx处取到极值。(1)用 ,mx表示 ()y并比较 n,的大小(要求按从小到大排列) ;(2)若 2n,且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线 )(xfy均相切,求)(xfy。湖南省湘潭市 2012 年 3 月三模理科数学参考答案及评分标准一、选择题:(每小题 5 分,共 40 分)二、填空题:(每小题 5 分,共 35 分)(一)选做题 9、 77 C 10、 11、 3
11、554(二)必做题 12、 1/2 13、2 14、 90 15、 16、 4 ; 2 (1)30k10三、简答题:17解:()由正弦定理 BbAasini,可得 21siA,3 分又因为 30 6 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D C C B B B A D2012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 11 页 共 16 页() 分由 余 弦 定 理 有 8- 2162bc即 分0-32cb把 b+c=5 代入得 bc=3 分所 以 -4sin1ASABC18、解 : ,5)862(5x, 2 分07043y,1458622251ix,307043022251 iy, 5 分
12、185651 iix 6 分回 归 系 数.51403852125 iiixyb. 7 分7.60xya回归直线方程为 8 分5xy(2)由回归直线方程得 ,60.1.,即11 分.546138x广告费用支出应不少于 6.54 百万元. 12 分19、解: (1)证明:在 AOC中, 1, 2AOC, 2012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 12 页 共 16 页22ACO, ACO 又 BD、 是正方形 ABCD 的对角线, ABD, 又 BD平 面 5 分 (2)由(1)知 平 面 , 则 OC, OA, OD 两两互相垂直,如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 Oxyz则22
13、(0,)(,),(,0)(,0),(,)ACBD(,)是平面 D的一个法向量 7分 2(,0)AC, 2(,0)BC, 设平面 的法向量 ,xyzn,则 n, 0AC即2(,),0),xyz, 10 分所以 ,yx且 ,z令 1,x则 y, 1z,解得 (,1)n从而 3cos,|OAn,二面角 ABCD的余弦值为 312 分 20、 解: (1)P 2 是“第二次按下按钮后出现红球” 。若第一次,第二次均出现红球,则概率为: 12362012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 13 页 共 16 页第一次出现绿球,第二次出现红球的概率为: 12350故所求概率为:P21630754 分
14、(2)第 n1 次按下按钮出现红球的概率为: PnN12(,)则出现绿球的概率为: 1n若第 n1 次,第 n 次均出现红球,其概率为: n13若第 n1 次,第 n 次依次出现绿球,红球,其概率为: ()351PnPPnNnn35415321()(),.8 分由Nnn421(),设 Pxx5即 Pxnn4159令 , 91391Pn1() n 92384151是 等 比 数 列 , 首 项 为 , 公 比 为PnNn384159()(),13 分21、 解:( 1)因为 2,3ca,所以 1b 2 分所以椭圆的方程为 xy, 2012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 14 页 共 16
15、 页准圆的方程为 24xy 4 分(2 ) 当 12,l中有一条无斜率时,不妨设 1l无斜率,因为 l与椭圆只有一个公共点,则其方程为 3x或 ,当 1l方程为 3x时,此时 1l与准圆交于点 (,1),此时经过点 (,1)(或 ,)且与椭圆只有一个公共点的直线是y(或 ,即 2l为 1y(或 ),显然直线 12,l垂直;同理可得 1l方程为 3x时,直线 12,l垂直 7 分当 2,都有斜率时,设点 0(,)Pxy其中 204xy,设经过点 0(,)Pxy与椭圆只有一个公共点的直线为 0()txy,则 213ytt,消去 y得到 2203()3xtyt,即 2 200()6()()txtxt
16、,22041330tytytx,经过化简得到: 2000()1xtt, 9 分因为 204xy,所以有 2(3)(3)0txyt,设 12,l的斜率分别为 12,t,因为 12,l与椭圆都只有一个公共点,所以 ,t满足上述方程 2000(3)(3)xtytx,所以 12t,即 12,l垂直 13 分22、解:(1)由抛物线经过点 (,)O、 (,)Am设抛物线方程 (),0ykxm,2012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 15 页 共 16 页又抛物线过点 (1,)Pm,则 1()1)km,得 1k,所以 2)ygxx。 3 分()(nf 32)()nnx,/23)xmx,函数 fx在
17、 a和 b处取到极值, 5 分故 /()0,(fafb, 0,/22)()0nmn 7 分/()3(fnm又 ab,故 a。 8 分(2)设切点 0(,)Qxy,则切线的斜率 /200()3()kfxmnx又 320 0ynx,所以切线的方程是 20 00()3()()xmmnxx 9 分又切线过原点,故 3 320 0()xxnm所以 32002()xn,解得 ,或 0x。 10 分两条切线的斜率为 /1()kfmn, /2()kf,由 m,得 28, 214n,/ 223() 1()()()244nkf mnm,所以 2212)mn 12 分又两条切线垂直,故 12k,所以上式等号成立,有 2n,且 1n。所以 332()()fxnxx。 13 分2012 届高三第三次模拟考试理科数学试卷 第 16 页 共 16 页