1、1导数、微分、积分公式总结 【导数】 （1）（u v） u v （2）（u v） uv u v （记忆方法：u v u v ，分别在“u”上、“v”上加） （3）（c u） c u（把常数提前） uv u v （4） （ v 0 ） v 【关于微分】 左边：d 打头 右边：dx 置后 再去掉导数符号 即可 【微分】 设函数u（x ），v（x）皆可微，则有： （1）d（u v） du dv （2）d（u v） duv udv duv udv （3）d （ v 0 ） v（5）复合函数（由外至里的“链式法则”） dy f（u ）（x ） dx 其中 y f（u），u （x ） （6）反函数的导数：
2、 1 f（y） f（x ） 其中， f（x） 0 【 导数】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的导数： （c） 0 （2）x 的 次幂： 【】 【 1】 （3）指数类： 【x】 【x】 2 lna （其中 a 0 ，a 1） 【x】 【x】 （4）对数类： 1 1 log log （其中 a 0 ，a 1） a x a xlna 1 （lnx） x （5）正弦余弦类： （sinx） cosx （cosx） sinx 【微分】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的微分： dC 0 （2）x 的 次幂： 【】 【 1】 d dx （3）指数类： 【x】 【x】 d lnadx （其中 a 0
3、 ，a 1） 【x】 【x】 d dx （4）对数类： 1 1 dlog log dx （其中 a 0 ，a 1） a x a xlna 1 dlnx dx x （5）正弦余弦类： 3dsinx cosxdx dcosx sinxdx 【导数】 （6）其他三角函数： 1 （tanx） secx cosx 1 （cotx） cscx sinx （secx） secxtanx （cscx） cscxcotx （7）反三角函数： （arcsinx） （1 x 1） / 1x （arccosx） （1 x 1 ） / 1x （arctanx） 1x （arccotx） 1x 【微分】 （6）其他三角函
4、数： 1 dtanx secxdx cosx 1 dcotx cscxdx sinx dsecx secxtanxdx 4dcscx cscxcotx dx （7）反三角函数： darcsinx dx （1 x 1） / 1x darccosx dx （1 x 1） / 1 x darctanx dx 1x darccotx dx 1x导数的应用（一） 中值定理 特殊形式 【拉格朗日中值定理】 【罗尔定理】 【拉格朗日中值定理】 如果函数 y f（x）满足： （1 ）在闭区间 a ，b上连续； （2 ）在开区间（ a ，b）上可导。 则：在（a ，b）内至少存在一点 （ a b ），使得 f（
5、b） f（a） f（） b a 【罗尔定理】 如果函数 y f（x）满足： （1 ）在闭区间 a ，b上连续； （2 ）在开区间（ a ，b）上可导； （3 ）在区间端点的函数值相等，即 f（a） f（b ）。 则：在（a ，b）内至少存在一点 （ a b ），使得 f（）0。 导数的应用（二） 求单调性、极值（辅助作图） 【单调性】 （1 ）如果 x （a ，b）时，恒有 f（x） 0 ， 则 f（x）在（a ，b）内单调增加； 5（2 ）如果 x （a ，b）时，恒有 f（x） 0 ， 则 f（x）在（a ，b）内单调减少。 【极值】 若函数 f（x）在点 x处可导，且 f（x）在 x处取得 极值，则 f（x） 0 。 导数的应用（三） 曲线的凹向与拐点（辅助作图 ） 【凹向】 设函数 y f（x）在区间（ a ，b）内具有二阶导数， （1 ）若当 x（a ，b）时，恒有 f（x ） 0 ， 则曲线 y f（x）在区间（ a ，b）内上凹； （2 ）若当 x（a ，b）时，恒有 f（x ） 0 ， 则曲线 y f（x）在区间（ a ，b）内下凹。 【拐点】 曲线上凹与下凹的分界点。
