1、高等数学微积分公式大全 一 、 基本 导数 公 式 ( ) 0 c = 1 xx = ( ) sin cos xx = ( ) cos sin xx = ( ) 2 tan sec xx = ( ) 2 cot csc xx = ( ) sec sec tan x xx = ( ) csc csc cot x xx = ( ) xx ee = ( ) ln xx a aa = ( ) 1 ln x x = ( ) 1 log ln x a xa = ( ) 2 1 arcsin 1 x x = ( ) 2 1 arccos 1 x x = ( ) 2 1 arctan 1 x x = + (
2、) 2 1 arccot 1 x x = + ( ) 1 x = ( ) 1 2 x x = 二 、导 数的四 则 运 算法则 ( ) uv u v = ( ) uv u v uv = + 2 u u v uv vv = 三 、 高 阶导数 的 运 算法则 （1 ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n nn ux vx ux vx = （2 ） ( ) ( ) ( ) ( ) n n cu x cu x = （3 ） ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u ax b a u ax b += + （4 ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () 0
3、n n nk kk n k u x v x cu xv x = = 四 、 基本初等 函数的 n 阶导数公式 （1 ） ( ) ( ) ! n n xn = （2 ） ( ) ( ) n ax b n ax b e ae + = (3) ( ) ( ) ln n x xn a aa = (4) ( ) ( ) sin sin 2 n n ax b a ax b n + = + (5) ( ) ( ) cos cos 2 n n ax b a ax b n + = + (6) ( ) ( ) ( ) 1 1! 1 n n n n an ax b ax b + = + +(7) ( ) ( ) (
4、 ) ( ) ( ) 1 1! ln 1 n n n n an ax b ax b += +五 、 微 分公式 与微分运算 法则 ( ) 0 dc = ( ) 1 d x x dx = ( ) sin cos d x xdx = ( ) cos sin d x xdx = ( ) 2 tan sec d x xdx = ( ) 2 cot csc d x xdx = ( ) sec sec tan d x x xdx = ( ) csc csc cot d x x xdx = ( ) xx d e e dx = ( ) ln xx d a a adx = ( ) 1 ln d x dx x =
5、 ( ) 1 log ln x a d dx xa = ( ) 2 1 arcsin 1 d x dx x = ( ) 2 1 arccos 1 d x dx x = ( ) 2 1 arctan 1 d x dx x = + ( ) 2 1 arccot 1 d x dx x = +六 、 微分运算 法则 ( ) d u v du dv = ( ) d cu cdu = ( ) d uv vdu udv = + 2 u vdu udv d vv = 七 、 基 本积分 公 式 kdx kx c = + 1 1 x x dx c + = + + ln dx xc x = + ln x x a
6、a dx c a = + xx e dx e c = + cos sin xdx x c = + sin cos xdx x c = + 2 2 1 sec tan cos dx xdx x c x = = + 2 2 1 csc cot sin xdx x c x = = + 2 1 arctan 1 dx x c x = + + 2 1 arcsin 1 dx x c x = + 八、补充积分 公式 tan ln cos xdx x c = + cot ln sin xdx x c = + sec ln sec tan xdx x x c =+ csc ln csc cot xdx x x
7、 c =+ 22 11 arctan x dx c ax a a = + + 22 11 ln 2 xa dx c x a a xa = + + 22 1 arcsin x dx c a ax = + 22 22 1 ln dx x x a c xa =+ 九 、 下 列常用 凑 微 分公式 积分型 换元公式 ( ) ( ) ( ) 1 f ax b dx f ax b d ax b a += + u ax b = + ( ) ( ) ( ) 1 1 fxx dx fxd x = ux = ( ) ( ) ( ) 1 ln ln ln fxdx fx d x x = ln ux = ( ) (
8、 ) ( ) xx x x fe e dx fed e = x ue = ( ) ( ) ( ) 1 ln xx x x fa a dx fad a a = x ua = ( ) ( ) ( ) sin cos sin sin fx x dx fx d x = sin ux = ( ) ( ) ( ) cos sin cos cos fxx dx fx d x = cos ux = ( ) ( ) ( ) 2 tan sec tan tan fx x dx fx d x = tan ux = ( ) ( ) ( ) 2 cot csc cot cot fx x dx fx d x = cot
9、ux = ( ) ( ) ( ) 2 1 arctan arc n arc n 1 f x dx f ta x d ta x x = + arctan ux = ( ) ( ) ( ) 2 1 arcsin arcsin arcsin 1 fx dx fx d x x = arcsin ux = 十 、 分 部积分 法 公式 形如 n ax x e dx ，令 n ux = ， ax dv e dx = 形如 sin n x xdx 令 n ux = ， sin dv xdx = 形如 cos n x xdx 令 n ux = ， cos dv xdx = 形如 arctan n x xdx
10、，令 arctan ux = ， n dv x dx = 形如 ln n x xdx ，令 ln ux = ， n dv x dx = 形如 sin ax e xdx ， cos ax e xdx 令 ,sin ,cos ax ue x x = 均可。 十 一 、 第二换 元积分法中 的三角换元 公式 (1) 22 ax sin xa t = (2) 22 ax + tan xa t = (3) 22 xa sec xa t = 【特殊角的三 角函数值 】 （1 ）sin 0 0 = （2 ） 1 sin 62 = （3 ） 3 sin 32 = （4 ）sin 1 2 = ） （5 ）sin
11、 0 = （1 ） cos 0 1 = （2 ） 3 cos 62 = （3 ） 1 cos 32 = （4 ） cos 0 2 = ） （5 ） cos 1 = （1 ） tan 0 0 = （2 ） 3 tan 63 = （3 ） tan 3 3 = （4 ） tan 2 不存在 （5 ） tan 0 = （1 ） cot 0 不存在 （2 ） cot 3 6 = （3 ） 3 cot 33 = （4 ） cot 0 2 = （5 ） cot 不存在 十二、 重要公 式 （1 ） 0 sin lim 1 x x x = （2 ） ( ) 1 0 lim 1 x x xe += （3 ） l
12、im ( ) 1 n n aa o = （4 ） lim 1 n n n = （5 ） lim arctan 2 x x = （6 ） lim tan 2 x arc x = （7 ） lim arccot 0 x x = （8 ） lim arccot x x = （9 ） lim 0 x x e = （10） lim x x e + = （11 ） 0 lim 1 x x x + = （12） 0 0 1 01 1 01 lim 0 nn n mm x m a nm b ax ax a nm bx bx b nm = + + = （系数不为 0 的情况） 十 三、下列常 用等价无穷 小关系
13、 （ 0 x ） sin xx tan xx arcsin xx arctan xx 2 1 1 cos 2 xx ( ) ln 1 xx + 1 x ex 1 ln x a xa ( ) 11 xx + 十 四 、 三角函 数公式 1.两角和 公式 sin( ) sin cos cos sin AB A B A B += + sin( ) sin cos cos sin AB A B A B = cos( ) cos cos sin sin AB A B A B += cos( ) cos cos sin sin AB A B A B = + tan tan tan( ) 1 tan tan
14、 AB AB AB + += tan tan tan( ) 1 tan tan AB AB AB = +cot cot 1 cot( ) cot cot AB AB BA += +cot cot 1 cot( ) cot cot AB AB BA + = 2.二倍角 公式 sin 2 2sin cos A AA = 22 2 2 cos 2 cos sin 1 2sin 2cos 1 A AA A A = = 2 2 tan tan 2 1 tan A A A = 3.半角公 式 1 cos sin 22 AA = 1 cos cos 22 AA + = 1 cos sin tan 2 1 c
15、os 1 cos A AA AA = = +1 cos sin cot 2 1 cos 1 cos A AA AA + = = 4.和差化 积公式 sin sin 2sin cos 22 ab ab ab + += sin sin 2cos sin 22 ab ab ab + = cos cos 2cos cos 22 ab ab ab + += cos cos 2sin sin 22 ab ab ab + = ( ) sin tan tan cos cos ab ab ab + += 5.积化和 差公式 ( ) ( ) 1 sin sin cos cos 2 a b ab ab = + (
16、) ( ) 1 cos cos cos cos 2 a b ab ab = + ( ) ( ) 1 sin cos sin sin 2 a b ab ab = + ( ) ( ) 1 cos sin sin sin 2 a b ab ab = + 6.万能公 式 2 2 tan 2 sin 1 tan 2 a a a = +2 2 1 tan 2 cos 1 tan 2 a a a = +2 2 tan 2 tan 1 tan 2 a a a = 7.平方关 系 22 sin cos 1 xx += 22 sec n 1 x ta x = 22 csc cot 1 xx = 8.倒数关 系 t
17、an cot 1 xx = sec cos 1 xx = c sin 1 cs x x = 9.商数关 系 sin tan cos x x x = cos cot sin x x x = 十 五 、 几种常 见的微分方 程 1.可分离 变量的 微分方程 ： ( ) ( ) dy f xgy dx = ， ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 2 0 f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微 分方程 ： dy y f dx x = 3.一阶线 性非齐 次微分方程 ： ( ) ( ) dy pxy Qx dx += 解为 ： ( ) ( ) ( ) p x dx p x dx y e Q x e dx c = +
