1、指数函数教学过程（一）问题引入问题 1 从 2000 年起的未来 20 年，我国国内生产总值年平均增长率可达到 7.3%那么，在 20012020 年，各年的国内生产总值可 望为 2000 年的多少倍？分析：如果把我国 2000 年 GDP 看成是一个单位，2001 年为第一年，那么：一年后（即 2001 年） ，我的 GDP 可望为 2000 年的（1+7.3%）倍；两年后（即 2002 年） ，我的 GDP 可望为 2000 年的（1+7.3%） 2倍；三年后（即 2003 年） ，我的 GDP 可望为 2000 年的 倍；引导学生逐年计算，并得出规律：设 年后我国的国内生产总值为 200
2、0 年的 倍，那么x y )20*,(073.1xNx（二）指数函数的概念观察 和 y= 有什么共同特点，得出)20*,(073.1xNyx x定义：一般地，函数 叫做指数函数(exponential function)，其中)1,(ay且x 是自变量，函数的定义域是 R。因为 a0， x是任意一个实数时， x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集 R.0,xa当 时 等 于若 当 时 无 意 义若 a0，如 1(2),8yx先 时 对 于 =等 等6在实数范围内的函数值不存在。若 =1， 1,x 是一个常量，没有研究的意义。所以，只有满足 (0,1)ya且 的形式才能称为指数函数。思考：
3、函数 是指数函数吗？说明：指数函数 中， 的系数为 1，有些貌似指数函数，其实不是，但有些看上去x不是指数函数，实际上却是，如： 因为它可化为)1,0(ayx1,01ayx回答：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1） (2)x （2） xy （3） xy （4） 2yx （5） 4y （6） （7） (1)a （ 1，且 a）32（三）指数函数的图像及性质为了研究指数函数的性质，我们先利用描点法作出指数函数的图像，描点法作函数图像的步骤：列表、描点、连线。1、指数函数 的函数图像xy2列表 x-2 -1 0 1 2 2y 1421 2 4 2、作出 的函数图像xy)1(列表从图中我
4、们看出 12()xxy与 的 图 象 有 什 么 关 系 ?通过图象看出： y与 的 图 象 关 于 轴 对 称 ,实质是 2xy上的点（x，y） x,y1与 =()上 点 (-)关 于 轴 对 称 .2总结：从图上看 a（ 1）与 xa两函数图象的特征关于 y轴对称.x2 1 0 -1 -2 1()y 41 2 4 3、 指数函数的性质图象特征a1 0 a1向 x轴正负方向无限延伸 :函数的定义域为 R图象关于原点或 y轴不对称：非奇非偶函数函数图象都在 轴上方：函数的值域为 ,0函数图象都过定点（0，1）：因为 a=1自左向右，图象逐渐上升：增函数 自左向右，图象逐渐下降：减函数在第一象限
5、内的图象纵坐标都大于 1：x0， xa1在第一象限内的图象纵坐标都小于 1：x0， xa1在第二象限内的图象纵坐标都小于 1：0， x1在第二象限内的图象纵坐标都大于 1：0， x1（四）例题讲解1 比较下列各题中的两个值的大小（ 1）1.7 2.5 与 1.7 3( 2 ) 0.8与 0.2( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1解：(1) 1.7 2.5 与 1.7 3可以看作是函数 的两个函数值。xy7.1由于底数 1.71，所以指数函数 在 R 上为增函数，x.因为 2.5-0.2，所以 0.8-0.11.70=10.93.1 0.93.12 截止到 1999 年底，我们人口哟 13
6、 亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在 1%，那么经过 20 年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）解：设今后人口年平均增长率为 1%，经过 x年后，我国人口数为 y亿，则13(%)xy当 =20 时， 2013(%)16()y亿答：经过 20 年后，我国人口数最多为 16 亿.说明：在实际问题中，经常会遇到类似例 2 的指数增长模型，设原有量为 N，每次的增长率为 p,经过 x 次增长，该量增长到 y，则 y=N(1+p)x（x N） 。形如的函数是一种指数型函数，这是非常有用的函数)1,0;,(akRkay且且模型。例 3. 已知 a= 91,b=9.求： （1） ;3158332
7、7a （2） 1)(ab.解：（1）原式= 3127a. 312a 21)38( 2135= 2167)534(=a 21.a= 9，原式 =3.（2）方法一 化去负指数后解. 来源:Z*xx*k.Com.1)(1 baaba= ,91a+b= .82方法二 利用运算性质解. .)( 1111 abaa= ,9ba+b= .82例 4. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=3 452x; （2）g(x)=-( 5)21(4xx.解：（1）依题意 x2-5x+40, 解得 x4 或 x1,f（x）的定义域是（-，14，+）.令 u= ,49)25(52x（-，14，+） ，u0
8、，即 2x0，而 f(x)=3 452x3 0=1,函数 f(x)的值域是1，+）.u= 49)25(x,当 x（-，1时，u 是减函数，当 x4，+）时，u 是增函数.而 31,由复合函数的单调性可知，f（x）=3 52x在（-，1上是减函数，在4，+）上是增函数.故 f（x）的增区间是4，+） ，减区间是（-，1.（2）由 g(x)=-( ,5)2(45)2(42xxxx 函数的定义域为 R，令 t=( )21x (t0),g(t)=-t 2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2) 2+99,等号成立的条件是 t=2,即 g(x)9,等号成立的条件是( x)1=2，即
9、x=-1，g（x）的值域是（-，9.由 g(t)=-(t-2)2+9 (t0),而 t=( x2是减函数，要求 g(x)的增区间实际上是求 g(t)的减区间， 求 g(x)的减区间实际上是求 g(t)的增区间.g（t）在（0，2上递增，在2，+）上递减，由 0t=( x)12,可得 x-1, 由 t=( x)212,可得 x-1.g（x）在-1，+）上递减，在（-，-1上递增，故 g(x)的单调递增区间是（-，-1 ，单调递减区间是-1，+）.1 bNa，a bN，log aN b(其中 N0，a0，a1)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最
10、好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.2处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.3含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类.4含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.课后作业：1、一批设备价值 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 ，则 年a %bn后这批设备的价值为（ ）A、 B、 C、 D、(%)nab(1)nb1(
11、)nab(1)a2、若 ，则 。215xf25f3、若 ，则 等于 （ ）00xA、 B、 C、 D、51515016254、某商品价格前两年每年递增 ，后两年每年递减 ，则四年后的价格与原来价格2%2%比较，变化的情况是（ ）A、减少 B、增加 C、减少 D、不增不减7.87.849.小结归纳5、已知指数函数图像经过点 ，则 )3,1(p)(f6、若函数 的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）()0xyabaA B1且 010ba且C D0且 且7、方程 2|x|+x=2 的实根的个数为 _8、直线 与函数 的图像有两个公共点，则 的取值范围是ay3)(1ayx且 a_ 9、若 ，则下列
12、不等式中成立的是（ ）01xxA25. xxB521. xxC215. xxD5.10、设 ，则 （ ）1.0.90.48123,yyA、 B、 C、 D、312213y132y12y11、设 那么实数 、 与 1 的大小关系正确的是 ( ).)3(,)(215.1baabA. B. C. D. aba112、函数 的图象恒过定点_。)0(ayx且13、函数 的单调增区间为_2114、如果函数 在区间 上是偶函数，则 =_)(xfa24,a15、 是偶函数，且 不恒等于零，则 ( )2()1()0xFfx()fxfxA、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数 D、不是奇函数，也
13、不是偶函数16、当 时，函数 和 的图象只可能是 （ ）a0yaxbyax17、（2005 福建理 5）函数 的图象如图，其中 a、b 为常数，则下列结论正确bxaf)(的是 （ ）A 0,1baBC ,D 01ba18、下列函数中，值域为 的函数是（ ）,xyA23.12.xyB12.xyCxyD21.参考答案：1、D 2、0 3、A 4、A 5、1/27 6、A 7、2 8、(0,1/3) 9、B 10、C 11、D 12、(3,4) 13、 14、1 15、A 16、A 17、D 18、D),(对数函数基础知识讲解1、对数函数定义：一般地，当 a0 且 a1 时，函数 y= ax.叫做对
14、数函数.这里大家要明确，对数函数与指数函数互为反函数，所以，对数函数的解析式可以由指数函数求反函数得到，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域.即对数函数的定义域是（0，+） ，值域是 R.2对数函数的性质：（1）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于 的对称图形，即可获得。xy同样：也分 与 两种情况归纳，以 （图 1）与 （图 2）a10xy2logxy21log为例。112xy2log11()12logyx（2）对数函数性质列表： 1a01a图象（1）定义域： (0,)（2）值域： R（3）过点 ，即当 时，(,)1x0y性质（
15、4）在（0，+）上是增函数 （4）在 上是减函数(,)热点考题导析例 1求函数 的定义域14log2xy解： 即 函数的定义域为0log21x02x .4120xx且点评：求函数的定义域，往往可转化为解不等式例 2比较下列各组数的大小，并说明理由（1） （2） （3）8.0log7.l3131与 .logl88与.3log41l806.0与解：（1） 是减函数，xy31l,.8l7.0l3131（2） 是增函数，8log,.logl88（3） 4l,041log.066.0 教师点评：本例给出了比较两个对数大小的常用方法：（1）和（2）的解法是利用了对数函数的单调性；（3）利用了对数函数的性质
16、。另外，三个数以上比较大小，0 和（图 1） （图 2）(,)(,)xxlogayxlogayx1是两把尺度。例 3求函数 定义域、值域、单调区间)65(log2xy解：定义域为 .2302 x或（x3 或 x2） ，由二次函数的图象可知（图象41)2(u略）0u+，故原函数的值域为（- ，+） 原函数的单调性与 u 的单调性一致原函数的单调增区间为（3，+） ，单调减区间为（，2） 学生演板：（1）已知 f（x）的图象 g（ x）= 的图象关于直线 y=x 对称，求 的单调减x)41( )2(xf区间 （先求 g（x）= 的反函数)( ),2(log)2,lo)( 41411 xxff 单调
17、减区间为（0，1 ）例 4设函数 .1lg2)(xxf（1）试判断函数 f（x）的中单调性，并给出证明；（2）若 f（x）的反函数为 ，证明方程 =0 有唯一解)(f)(1xf分析：为求单调性，需先求定义域，在定义域中利用单调性的定义作出判断 （1）可先请同学用数字试一下，以便做到心中有数解：（1）由 解得函数 f（x）的定义域为（-1，1） 021x设 则,121 )1lg(l)2()( 2121 xxxff = )(lg)(2121x又 ,0)2(,0,12121 xx又（1+ ,)(,0)(2121 x.0)1(lg11)(10 22122 xxx即,0)(2fxf ).(ff故函数 f
18、（x）在区间（-1，1）内是减函数（2）这里并不需要先求出 f（ x）的反函数 ，再解方程)(1xf .0)(1xf即 是方程 的一个解,0)2(,)0(1ff20若方程 还有另一解 则 又由反函数的定义知1x,x.)(01xf 21)(0xf这与已知矛盾故方程 有唯一解0)(1f点评：（1）中用定义证明了单调性，虽较复杂，但很重要，应掌握可先用数字试探一下，以便做到心中有数 （由（2）知函数在定义域上是单调的，因为存在反函数）（2）中告诉我们并不需要求出反函数，其思维过程，妙用了互为反函数的函数定义域和值域之间的关系，既考虑存在性又反证了唯一性，这是一个好题，我们甚至可以求解不等式；请自己完
19、成.1)(xf例 5若函数 )1(log2axf（1）若函数的定义域为 R，求 a 的取值范围（2）若函数的值域为 R，求 a 的取值范围（1）若函数在 上是增函数，求 a 的取值范围)31,(解：（1）定义域为 R，是指不等式 的解集为 R，即012x 042a.2a（2）值域为 R，是指 能取遍（0，+）中的所有的值只需2axu即 或04.（3） 在 上为减函数且大于 0，由图象可知：1)(2xu)3,(.231210)3aa教师点评：对数函数的定义域为 R，即指不等式的解集为 R值域为 R 指对数函数的真数能取遍所有的正数，不要认为判别式大于或等于 0，那么在 x 轴下面的部分是负数似乎
20、不合题意，实质上定义域会排掉 x 轴下面的负的函数值要画个图仔细研究在（3）中特别要注意在区间 上函数大于 0)31,(例 6已知函数 22log)1(xxfm),0(m且（1）判断 f（x）的奇偶性；（2）解关于 x 的方程 ;1l)(f（3）解关于 x 的不等式： )3(ogxm解：（1）设 则,12t ,1log)(21l,12 tttfx mm它的定义域为（-1，1） ,log)(xfm ),(,xxf（x）为奇函)()1(logl)(xxmm数（2）由 f（x）= 即 得,1logxm,loglxm1021x.21x（3）由 即 得：)3(log)(xfm )13(log1lxmm（
21、a）当 m1 时， 解得：0.0或（b）当 时， 解得：10013x.310x由（a） 、 （b）知，当 m1 时，原不等式解集为 |或教师点评：本题涉及到求函数的表达式，解对数方程，对数不等式要注意对底数 m 的讨论课后作业：1、求函数 f（x）= 的定义域.)32lg(4x2、定义在全体实数上的奇函数 要使 求 x 的取值范围,12(xaf ,1)(f若 在区间0，1 上是减函数，求 a 的取值范围)(loaxy3、 （2001 年上海，1）设函数 ，则满足 的 x 值为 xf81log)(),(4)(f4、 （2001 年上海，4）设集合 A= ,02cs|,),58lg(2| RBRx
22、x 则 的元素个数为 BA5、 （93 年全国文，25）解方程： .1)3lg()64lg(2xx考点检测（1）若 1x2，则下列不等式中正确的是（ ）（A） （B） （C）321logxxx213loxx213log（D）（2）函数 的值域为（ ）)4(log25.0xy（A） （B）R （C ） （D ）,04,0(（3）函数 在 上恒有|y|1，则 a 的取值范围是 xyal),2（4）设 a、b 为正数，若 有解，则 的取值范围是 lg(bxb（5）已知函数 在 有上意义，求实数 C 的取值范围7932l)(Cxfx1,(（6）设 的反函数是 （其中 a0，且 a1）)log2fa )
23、xf（a）求 ，并求出它的定义域)(1x（b）设 若 ） ，求 a 的取值范),2log(21anfP )3(21nnP*N围课后练习答案：1、 定义域为 2、 ， （1，2） ）)351|xx或或 )6,(3、答案：3分析：当 时，值域为 当 时值域为（0，+）1,(x),21),1(x.381,4log,),0,4 481 xy此 时4、答案：1分析：集合 A： ,2cos3.530158158022 时又或 xxxx.30而 x=5 时， 的元素个数为 12cosBA,2cos,25、答案： .53x分析： 解得：10326410326422 xx .53),(53xx舍 去点评：本题主
24、要考查对数方程的解法，属常规题，对等价转化思想有较高的要求考点检测答案：（1）B （2）A （3） （4） 或 （5） )2,1(10ba.10ba),9(（6） （a）当 a1 时， 当 0a 1 时，logax 2log,(ax（b） .3|且幂函数教学目标：（一）知识和技能：1了解幂函数的概念，会画幂函数 ，32xy,xy， 的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的1xy21变化情况和性质。2了解几个常见的幂函数的性质。教学过程：一、创设情景，引入新课问题：如果张红购买了每千克 1 元的水果 w 千克，那么她需要付的钱数 p（元）和购买的水果量 w（千克）之间有何关系？（变量
25、在底数位置，解析式右边都是幂的形式） （适当引导：从自变量所处的位置这个角度）二、新课讲解（一）幂函数的概念1、幂函数的定义：一般地，我们把形如 y=xa 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 是常数 。我们可以归纳出幂函数 的性质yx定义域 值域 奇偶性 单调性 定点2yxR 0偶函数 （0，0） （1，1）3R R 奇函数 增函数 （0，0） （1，1）1yx0y奇函数 （1，1）20非奇非偶 增函数 （0，0） （1，1）归纳：当 是，图象过点 ，且在第一象限随 的增大而上升,函数在区间0),(1x上是单调增函数。请同学们模仿我们探究幂函数 图象的基本特征 的情, y0况探讨 时幂函数
26、 图象的基本特征。xy时幂函数 图象的基本特征：过点 ，且在第一象限随 的增大而下降，0)1,(x函数在区间 上是单调减函数，且向右无限接近 X 轴，向上无限接近 Y 轴。),(当 为奇数时，幂函数为奇函数；当 为偶数时，幂函数为偶函数。（二）例题剖析【例 1】下列函数中式幂函数的有（3） （5）（1） （2） （3） （4） （5）yxxyyx4(1)yx5yx【例 2】幂函数 ，在第一象限的图像如图所示，(),(),(),()fafbfcfd则 的大小关系是（ ）aA)abcd B)dbcaC)dcba D)bcda【例 3】（分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小）三、课堂小
27、结1、幂函数的概念及其指数函数表达式的区别2、常见幂函数的图象和幂函数的性质。四、课后作业1下列函数中，哪几个函数是幂函数？y =x 7 y=2x 2 y=2 x y=x 2 +2 y= x32在下列函数中,定义域为 R 的是( )3 5122. . log. . AxByCyDy3如图所示，曲线 C1、C 2、C 3、C 4 为幂函数 在第一象限内的图象，已知 取x四个值，则相应于曲线 C1、C 2、C 3、C 4 的4， ， ，解析式中的指数 依次可取（ ）3.12.434. .12ABCD ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，4.利用单调性判断下列各值的大小（1）5.2 0.8 与 5.3 0.8 （2）0.2 0.3 与 0.3 0.3(3) 22557与5. 1()(9,)(253yfxf若 幂 函 数 的 图 象 经 过 点 求 的 值 .6、比较下列各组数中两个值的大小：（1） ， （2） ， （3） ，1.521.530.70.71.610.27答案：1 2、c 3、A 4、后者大；后者大；前者大 333355550.96,.,0.9,.6试 比 较 的 大 小 。C1 C2C3C4
