1、1柯西不等式应用求证：ac+bd * 这题用比较法是很容易证明的，这里用比值2ba2dc的方法来证明。证明：当 a=b=c(或 c=d=0)时，显然成立；假设 + 0 且 + 0,则22c22*dcba22*dcba= 2222= 2222 *dcbadcba 222211=1故 ac+bd 22*dcbadcba(1) 式就是著名的柯西不等式的一个简单特例。柯西不等式的一般形式为：对任意的实数 有及 nn,2121(2)或 (3),*12121nininii bab其中等号当且仅当 时成立（当 时，认为na21 0kb).1,0nkak柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯
2、西不等式解题作一些介绍。一、 柯西不等式在解题中的应用1、利用柯西不等式证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。例、已知 求证： 。,122aba 12ba,1121 inini2证明：由柯西不等式，得 1112222 baaba当且仅当 时，上式取等号，b2,1ab22b于是 。2、利用柯西不等式解无理方程（或方程组）用柯西不等式解无理方程，是先把方程的（含有无理式的）运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方
3、程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方程的解。例：解方程。121122 xxx解： 222= 2211xx由柯西不等式知 xx1222即,)1(2)1()(122 xxx3)1(2)1()(222xx当上式取等号时有 成立，即)1()(xx（无实根） 或 ，即012x 02，经检验，原方程的根为5251x用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯西不等式取等号的条件，从而求得方程组的解。例：解方程组 486)()(6922224 wyzyxw解：原方程组可化为 486)(69222xzyx运用柯西不等式得, 739)(22z 1822wx两式相乘，得486222xzyx当且仅当 x=y=z=w=3
4、 时取等号。故原方程组的解为 x=y=z=w=3.3、柯西不等式证明不等式。很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。例：设 a,b,c 为正数且不相等到，求证： cbacba9224分析：我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆，9= ，21acbacb2这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。证明：2cbacba accbba acbacacbbaacc 92291 111111 2222222a,b,c 各不相等，等号不可能成立，从而原不等式成立。有些问题本身不具备运用柯西不等
5、式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。例：设 求证：,121naa 011321 ann分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证： ,13211 nn aaa证明：为了运用柯西不等式，我们将 写成1于是3211 nna .1 12 32132 n aaaa nn 5即 ,11321 321 nnn aaa 故 .011321nn我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将
6、原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。例：求证： .2212121 yxyxyx证明： 21212222 yxyx 由柯西不等式得 212121 yx其中等号当且仅当 ， 时成立。kyxk212121yx.22212121 211yxyxyx yx 其中等号当且仅当 ， 时成立。1k2k4、用柯西不等式证明条件不等式柯西不等式中有三个因式 ， ， 而一般题目中只有一nia12nib12niiba1个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值） ，这也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中诸量， 具有广泛的选择余地，任意两个元素 ， （或 ，
7、） iaib iajibj的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。例：已知 a,b ，a+b=1,R,21Rx求证： 2121abxax6分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。证明： 2121axbxa=2121xx= 。2ba例、设 求证：,21Rxn nn xx 21232（1984 年全国高中数学联赛题）证明：在不等式的左端嵌乘以因式
8、，也即嵌以因式132xn，由柯西不等式，得nxx21)(1321232 xxnn,221 1131 22232 21121n nnnnnxx xxxxx 于是 .nnxx 21325、利用柯西不等式求函数的极值有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略举例加以说明怎样利用柯西不等式来求解一些极值问题。7例
9、 设非负实数 满足 求n21, ,121n的最小值。12131221_ nnn（1982 年西德数学奥林匹克度题）解：易验证+1=n21 112)(n同理可得+1= +1=n31 2,12nn2令 1213121_ nnny 故 +1n2n为了利用柯西不等式，注意到 ,12)()()2()( 211 naaan+n12)n= +)()2()(1 naa1(2)1n.12,122 21 nyny aaa nn等号当且公当 时成立，从而 有最小值aa2 y12n例 设 都是正数， 且 求证：nx,21 ,2n,1nix（1989 年全国数学冬令营试题）.11nxinii8证明：令 由柯西不等式，得
10、),2,1(nixyi 即 ,)(121nxinii .1nxii同理，得 ),1()()( 1121 yyiiniii即 .)(1nni又由柯西不等式，得 24111 )(nyyiniiniini 故 ,)(2121 ninii从而.1)(1111nxnyyxii niininiinii6，利用柯西不等式解三角问题。三角问题包括三角不等式，三角方程。三角极值等到，对于一些三角问题，我们为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决。例 在 中 ，求证：ABC40)321(198si
11、n5isin 证明： 9).2sin51(co2)i2cosn102cossin2CBAC当且仅当 A=B 时等号成立。令 ，于是引进参 求)20)(sin51(coxxy ,0t的最值。22s由柯西不等式， 2222 sin51cosin51coxxy=22si5sxtt.sincos125si222222xtxt tt又由平均值不等式 得,42ba222sincos15xtxty= （1）.42t当且仅当 = 时等号成立。cosxin例、已知 a,b 为正常数，且 0x ,求 的最小值。2xbaycosin解：利用柯西不等式，得 233 232cossinixba10等号成立的当且仅当 时；33cossinbxa即 时，于是rtgxxbabacossin3323再由柯西不等式，得32xcsibxaosin33baoin. cssii232 266ba xx等号成立也是当且仅当 时。3barctgx从而 xaycosin.23a于是 的最小值是xbycsi .23b在许多问题中，如果我们能够利用柯西不等式去解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。
