1、1数学习题精选 立体几何（三）答案1.(1)证明：连接 A1C1 交 B1D1 于点 OABCDA 1B1C1D1 是长方体AA 1平面 A1B1C1D1，A 1C1 是 AC1 在平面 A1B1C1D1 上的射影AB=BC，A 1C1B 1D1，根据三垂线定理得：AC 1B 1D1；AB平面 BCC1B1，且 BC1B 1E，AC 1B 1EB 1D1B1E=B1，AC 1平面 B1D1E1 (2)解：在 RTBB 1C1 中， 在 RTEC 1B1 中，3tg2CC1E=B1C1tgC 1B1E=B1C1ctgBC 1B1=2 ，V C1B1D1E = 4VD1B 1C1E = 11118
2、()3329SDEA(3)解：连接 OE，B 1C1E1 D 1C1E1 ， B 1E=D1EO 是 B1D1 中点， B 1D1OE ，C 1OE 是二面角 EB 1D1C 1 的平面角 在 RTOC 1E 中， 112tg3C所以，二面角 EB 1D1C 1 的平面角为 ， 2arctg32.（1）证明：ABCA 1B1C1 是直三棱柱，CC 1平面 ABC， ACCC 1.ACBC， AC平面 B1BCC1.BC 1AC.BC=CC 1， 四边形 B1BCC1 是正方形，BC 1B 1C. BC 1平面 AB1C.（）解：设 BC1B 1C=O，作 OPAB 1 于点 P，连结 BP.B
3、OAC，且 BOB 1 C， BO平面 AB1C.OP 是 BP 在平面 AB1C 上的射影.根据三垂线定理得，AB 1BP.OPB 是二面角 BAB1C 的平面角.OPB 1ACB 1， ,1AOP61aA在 Rt POB 中， ，二面角 BAB1C 的大小为 603Btg（）解：B 1C1平面 ACC1A1， .62333111 aSVCABA 23.证：（1）连结 OE、AE根据已知有 OE=AE又 D 为 OA 的中心 DOAE，K且同理连结 CD、DB 可证 BCDE且DE 是异面直线 OA 与 BC 的公垂线易求得 2)1(23232 ORt，中在（2）OABC 是正四面体。二面角
4、 OABC 与二面角 OBCA 的大小相同。OEBC AEO 为二面角 OBCA 的平面角AEBC cosAED21362Dcos 1)(1cos2cos 2OEO 31arAE4.（）证明： 分平 面 ，平 面平 面 ，平 面，平 面知 ， 平 面由 直 三 棱 柱 ， 分的 中 点是），（， 即， 有 、 由 ，又 ，）（， ），（，），（ ），（），（则 分，），（， 可 设，），（，），（又 ），（，），（则 坐 标 系 如 图 ，为 原 点 ， 建 立 空 间 直 角以 2 2011.190 22021 2000.221 111 ABCD ABCDABCADnmmnEADEnBBnA
5、DAmE nmEC（）解： 分的 大 小 为二 面 角 ， 分），（的 法 向 量， 故 可 取 平 面平 面显 然 ），（可 取， 可 得令 ，即 ，且则 有 ，），（的 法 向 量 为设 平 面 ），（，），（ 3.3arcos.1|cos 4.01.1.11.0.02.20011212111 ACDnn nCABnzyxxzCAnDnzyA5.解：（1）取 BC、C 1C 的中点分别为 H、N，连结 HC1，连结 FN，交 HC1于点 K，则点 K 为 HC1的中点，因FN/HC，则HMCFMK，因 H 为 BC 中点3BC=AB=2，则 KN= ， 23,1FK,321MKHC则 HM
6、= ，在 RtHCC 1，HC 2=HMHC1，解得 HC1= ， C1C=2.15HC5另解：取 AC 中点 O，以 OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高为 h，则 C（0，1，0） ，F（ ） ，D（2,03h） ，E（0，0，h） ， ，由 CFDE，得,23 ),2(),3(EF，解得 h=2.12DCF（2）连 CD，易得 CD面 AA1B1B，作 DGAF，连 CG，由三垂线定理得 CGAF，所以CGD 是二面角 CAFB的平面角，又在 RtAFB 中，AD=1，BF=1，AF= ，5从而 DG= tanCGD= ，,55DGC故二面角 CAFB 大
7、小为 arctan .16.（1）由题意，A 1D平面 ABC，A 1DBC。又 ACBC，BC平面 A1ACC1（II）过 D 作 DHAB 于 H，又 A1D平面 ABC，ABA 1HA 1H 是 H1到 AB 的距离BA 1AC 1，BC平面 A1ACC1，由三垂线定理逆定理，得 A1CAC 1 A 1ACC1是菱形 A 1A=AC=a, A1D= .a23由 RtADHRtABC，可得 DH= 在 RtA 1DH 中，求得 A1H= 为所求距离。4 a4（III）过 C 作 CMAA 1于 M，则正AA 1C 中，M 为 AA1中点BC平面 A1ACC1，由三垂线定理，得 AA1BM。
8、BMC 是二面角 BAA1C 的平面角。 CM= ，BC=a, tgBMC=a23367 （）证明：CD/C 1B1，又 BD=BC=B1C1， 四边形 BDB1C1是平行四边形， BC 1/DB1.又 DB1 平面 AB1D，BC 1 平面 AB1D，直线 BC1/平面 AB1D.（）解：过 B 作 BEAD 于 E，连结 EB1，B 1B平面 ABD，B 1EAD ，B 1EB 是二面角 B1ADB 的平面角，BD=BC=AB，E 是 AD 的中点， 在 RtB 1BE 中，.23AB 1EB=60。.231Etg 即二面角 B1ADB 的大小为 604（）解法一：过 A 作 AFBC 于
9、 F，B 1B平面 ABC，平面 ABC平面 BB1C1C，AF平面 BB1C1C，且 AF= ,32AFSVBCBAC1113即三棱锥 C1ABB1的体积为.8273)2(3 .827解法二：在三棱柱 ABCA1B1C1中， 11111 CBACABAB VS即三棱锥 C1ABB1的体积为.2)34(11SCBA .8.解：（I）证明：取 A1B1 的中点 F，连 EF，C 1FE 为 A1B 中点，EF BB12又M 为 CC1 中点 EF C1M四边形 EFC1M 为平行四边形EMFC 1而 EM 平面 A1B1C1D1，FC 1 平面 A1B1C1D1EM平面 A1B1C1D1（II）
10、由（I）EM 平面 A1B1C1D1 EM 平面A1BMN平面 A1BMN 平面 A1B1C1D1=A1N A 1NEMFC 1N 为 C1D1 中点过 B1 作 B1HA 1N 于 H，连 BH，根据三垂线定理 BHA 1NBHB 1 即为二面角 BA1NB1 的平角设 AA1=a，则 AB=2a，A 1B1C1D1 为正方形A 1N= a，又A 1B1HNA 1D1 B 1H=5 542a在 Rt BB1H，tan BHB 1= = =54a,即二面角 BA1NB1 的正切值为 4（B） （I）建立如图所示空间直角坐标系，设 AB=2a，AA 1=a（a 0） ，则A1(2a， 0，a)
11、，B（2a，2a，0） ，C（0，2a ，0） ，C 1（0，2a，a）E 为 A1B 的中点，M 为 CC1 的中点 E（2a，a ， ） ，M（0，2a， ）22EM平面 A1B1C1D1（II）设平面 A1BM 的法向量为 n=（x，y，z）又 A1B=（0，2a，a） BM=（ 2a，0 ， ）2=5由 nA 1B，nBM ，得2ayaz=0，2ax+ =02az取 n=（ ）,4而平面 A1B1C1D1 的法向量 n1=（0，0，1） ，设二面角为 ，则又：二面角为锐二面角 cos = ，从而 tan =24|cos|1 214459 （ 1） 证明： 底面 ABCD 是正方形 BC
12、D底面 ABCD DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影SD由三垂线定理得 BCS（2）解： 底面 ABCD，且 ABCD 为正方形可以把四棱锥 补形为长方体 ，如图 2ADAS1面 ASD 与面 BSC 所成的二面角就是面 与面 所成的二面角，BC1又 为所求二面角的平面角SCBSA， /11 S1D在 中，由勾股定理得 在 中，由勾股定理得RtC2RtSSD1即面 ASD 与面 BSC 所成的二面角为SD45 45（3）解： SA190，是等腰直角三角形 又 M 是斜边 SA 的中点A面 ASD，SA 是 SB 在面 ASD 上的射影MSBD， ， B由三垂线定理得 异面直线 DM 与
13、 SB 所成的角为SB9010. 如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1= AB，点 E、M 分别为 A1B、C 1C 的2中点，过点 A1，B，M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1 于点 N.（）求证：EM平面 A1B1C1D1；（）求二面角 BA1NB1 的正切值. （A） （）证明：取 A1B1 的中点 F，连 EF，C 1FE 为 A1B 中点EF BB1 又M 为 CC1 中点 2EF C 1M24zyxD CBAS6四边形 EFC1M 为平行四边形 EMFC 1 而 EM 平面 A1B1C1D1 . FC1 平面 A1B1C1D1 .EM平面 A1B1C1D1
14、（）由（）EM平面 A1B1C1D1 EM 平面 A1BMN平面 A1BMN 平面 A1B1C1D1=A1N A 1N/ EM/ FC1 N 为 C1D1 中点过 B1 作 B1H A1N 于 H，连 BH，根据三垂线定理 BHA 1NBHB 1 即为二面角 BA1NB1 的平面角设 AA1=a， 则 AB=2a， A 1B1C1D1 为正方形A 1H= a5又A 1B1HNA 1D1B 1H= 452a在 Rt BB1H 中，tan BHB 1= 即二面角 BA1NB1 的正切值为445（B） （）建立如图所示空间直角坐标系，设 AB=2a，AA 1=a(a0)，则A1（2a，0，a） ，B
15、（2a, 2a , 0）, C（0，2a，0） ，C 1（0，2a，a）E 为 A1B 的中点，M 为 CC1 的中点 E（2a , a , ） ，M（0，2a, ）EM/ A 1B1C1D1 22a（）设平面 A1BM 的法向量为 =（x, y , z ）n又 =（0，2a , a ） 由 ，得B1 )20(aBMnA,124,2zyxzxay),4(an而平面 A1B1C1D1 的法向量为 .设二面角为 ，则)1,0(1n又：二面角为锐二面角 ，24|cos|1n 214cos从而 45ta11.解：（）连结 CB1交 BC1于 O，连结 OD 111 /,/ DBCADBCAO平 面内在
16、 面 7（） 2, 111 CDOBCOD中 点为又 45,2cos,23, .,3,1HBHM为 所 求则于交作过 623121111 DCABBDCABDCE VV12(1)证明 取 CD 中点 G，连 AG、GF，则 AGCD，GFDE ，GF= DE，DE面 ACD，面 ACD面 CDE，2AG面 CDE，又 AB面 ACD，DE面 ACD，ABDE，且 AB= DE，AB GF，四边形 AGFB 为平行四边形，12BFAG，BF平面 CDE. (2)解 连 BD，则所求体积 V=VBCDE +VBACD = SCDE BF+ SACD AB= .13133(3)解 延长 EB 与 D
17、A 交于 H，连 CH，则 CH 为所求二面角的棱又 F 为 CE 中点，HCBF，HC平面 CD，ECD 即为面 BCE 与面 ACD 所成二面角的平面角，且ECD=45.A BC EDFDA BC EFHG813.解：(1)连结 AC，则 ，又 AC 是 A1C 在平面 ABCD 内BDAC的射影 ；又 ，且 A1C 在平面1 11面内的射影 ，CBE1 ，又 A1 BDEBD面1(2) 容易证明 BF平面 A1B1C，所求距离即为 BF12/5 (3) 同上BF平面 A1B1C， ，而 BF 在平面 BDE 上，平面 A1B1C平面 BDE(4)连结 DF， A1D， ， ， ， EDF
18、 即为 EDEF1CF面与平面 A1B1C 所成的角 6 分 由条件 ， ，可知 ，34151，52F， ， ， 6159FFBCE1207FBCE1491 42DCE 59sinD ED 与平面 A1B1C 所成角为 arcsin 5914. 解：（1）在底面 ABCD 内，过 A 作 AECD，垂足为 E，连结 PEPBDHCEPA平面 ABCD，由三垂线定理知：PECDPEA 是二面角 PCDA 的平面角在 中，RtAEDaDE35， arcsin9在 中，AEDEasin35RtPAEtanAPE53二面角 PCDA 的正切值为（II）在平面 APB 中，过 A 作 AHPB，垂足为
19、H PA平面 ABCD，PABC又 ABBC，BC 平面 PAB平面 PBC平面 PABAH平面 PBC 故 AH 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离在等腰直角三角形 PAB 中， ，所以点 A 到平面 PBC 的距离为a22a15. 解法 1：(1)延长 B1E 交 BC 于 F, B 1ECFEB, BE 21 ，从而为的中点 2为 的重心，、三点共线，且 ，GE AB 1，FAG1BE3又 GE 侧面 AA1B1B，GE侧面 AA1B1B （）在侧面 AA1B1B 内，过 B1 作 B1，垂足为， 侧面 AA1B1B底面ABC，B 1底面 ABC又侧棱 AA1 与底面 ABC 成 6
20、00 的角， AA1= 2，B 1 ， B1 3在底面 ABC 内，过作，垂足为，连 B1由三垂线定理有B1，又平面 B1GE 与底面 ABC 的交线为，B 1为所求二面角的平面角， ， sin30 0 ，23在B 1中， B1 ，HT132从而平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 arctan 解法 2：（）侧面 AA1B1B底面 ABC，侧棱 AA1 与底面 ABC 成 600 的角， A 1AB ，又 AA1= = 2，取的中点 ,则底面 ABC以 O 为原点建立空间直角坐标系 O如图，则（，） ，（，） ，（ ，） ，3 （， ） （， ） ， （ ， ） 3为 的重心
21、，（ ，） ， BE31C（ ， ） （， ） ，又 GE 侧面 AA1B1B， GE31AGE侧面 AA1B1B （）设平面 B1GE 的法向量为（，） ，10则由 及 得 ； EB1G3323可取（ ， ） 3又底面 ABC 的法向量为（，） ， 设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 ，则 cos , |nm721 arccos . 7216. 解：（） B1D平面 ABC， AC 平面 ABC， B1DAC, 又 ACBC, BCB 1D=D AC平面 BB1C1C () AC 平面 BB1C1C ，要使 AB1BC 1 ，由三垂线定理可知，只须 B1CBC 1， 平行
22、四边形 BB1C1C 为菱形， 此时，BC=BB 1 B1DBC, 要使 D 为 BC 中点，只须 B1C= B1B，即BB 1C 为正三角形， B 1BC= 60 B1D平面 ABC，且 D 落在 BC 上， B 1BC 即为侧棱与底面所成的角故当 =60时，AB 1BC 1，且使 D 为 BC 中点 （）过 C1 作 C1EBC 于 E，则 C1E平面 ABC过 E 作 EFAB 于 F，C 1F，由三垂线定理，得 C1FAB C1FE 是所求二面角 C1ABC 的平面角 设 AC=BC=AA1=a，在 RtCC 1E 中，由C 1BE= ，C 1E= aarcos32在 Rt BEF 中
23、，EBF=45，EF= BE= aC 1FE=45，23故所求的二面角 C1ABC 为 45解法二：（1）同解法一 （）要使 AB1BC 1，D 是 BC 的中点，即 =0，| |=| |，1BCABB1 B1C ， |1B=0， ()0A | ，故BB 1C 为正三角形，B 1BC=60； 1BCC1ABCDA1B111 B1D平面 ABC，且 D 落在 BC 上， B 1BC 即为侧棱与底面所成的角， 故当 =60时，AB 1BC 1，且 D 为 BC中点 （）以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，经过 C 点且垂直于平面 ABC 的直线为 z轴建立空间 直角坐标系，则 A（
24、a，0，0） ，B（0，a，0） ，C（0， ， a） ，342平面 ABC 的法向量 n1=（0，0，1） ，设平面 ABC1 的法向量 n2=（x，y，z） 由 n2=0，及 n2=0，得ABCn 2=（ ， ，1） cos = ，故 n1 , n2所成的角为 45，即所求的二面角为 4517. 长方体 中， ， ， 是侧棱 的中点.1DCBA1BC2AE1B（1）求证：直线 平面 ；（本题 15 分）E1（2）求三棱锥 的体积；（3）求二面角 的平面角的大小.1（1）依题意： ， ，则 平面 .EA1DAED1（2） .323311 SVD（3）取 的中点 ，连 ，则 、 ，所以 平面
25、.过 在O1O1EO1ADO平面中作 ，交 于 ，连 ，则 ,所以 为二面角 的平1AF1FEEFAD面角.在 中， . .sin51A5tan18.在正方体 中，棱长 .1CBD21(1)若 E 为棱 的中点，求证： ；(2)求二面角 C-AE-B 的平面角的正切值；(3)1CAEDB1求点 到平面 EAB 的距离。1D解：(1)略；（2）3; （3） 521219.（）依题意知三棱柱 是正三棱柱，且侧1CBA棱 ，底面边长为 ，BP=1，CQ=2 延长31A3QP 交 BC 延长线于点 E，连 AE在ACE 中， ， ，ACE =60，于是 AE=33C32BC过 C 作 CFAE 于 F
26、，连 QF 则QFC 为平面 APQ 与平面 ABC 所成的锐二面角,于是32tanQ即：平面 APQ 与面 ABC 所成锐二面角的正切值为（）连 ， 的面积为 55PA1120.解（1）由题意可知，不论 P 点在棱 CC1 上的任何位置，AP 在底面 ABCD 内射影都是AC， ， CBD.AB（2）延长 B1P 和 BC，设 B1PBC=M，连结 AM，则 AM=平面 AB1P平面 ABCD. 过 B 作 BQAM 于 Q，连结 B1Q，由于 BQ 是 B1；Q 在底面 ABCD 内的射影，所以B1QAM，故 B 1QB 就是所求二面角的平面角，依题意，知 CM=2B1C1，从而 BM=3
27、BC. 所以. 在CMA09222 AMBQARt,中中，RtCB1031在，3021tan1BQ.ta1得QBB1212costn为所求s940112 731（3）设 CP=a，BC=m，则 BB1=2m，C 1P=2ma，从而 ,)2(221amPB13.2,54221 mACmAB在 12211cos,.cos, ABPABPCPRt 中在中依题意，得 . .1AB122.1212CPA即 .52)(5mamma 故 P 距 C 点的距离是侧棱的.4021B .410别解：如图，建立空间直角坐标系.设 ).,3(),(),63(,11 aPCBa).,3(),03(),630(1 ACA
28、B .)18(,cos,)18(52)(69,cos 2222 aAaaP 依题意，得 ,cos,cs1APCAB即 .41064102)(3,032 Caa 亦 即故 P 距 C 点的距离是侧棱的 .1点 Q 到平面 的距离为 32AP123 3423111 APQAPV21( 1)平面 ABC平面 BCD, BCD=90 , CD平面 ABC.AB 平面 ABC, 0 CDAB.(2)过点 C 作 CM平面 ABC 于 M,连 DM,由(1)知 CD平面 ABC,DMAB. CMD 是二面角 D-AB-C 的平面角.设,CD=1,由BCD=90 ,0CBD=30 ,BC= A02,3BDA
29、BC 是正三角形, CM= M N.23C14tanCMD= B O C.32CMD故二面角 D-AB-C 的正切值为 . D(1) 取三边 AB,AD,BC 的中点 M .N . O,连 AO,NO,MN,OD.则 OM 平行且等于 AC,MN 平21行且等于 BD.直线 OM 和 MN 所成的锐角或直角就是直线 AC 和 BD 所成的角.21ABC 是正三角形,且平面 ABC平面 BCD,AO平面 BCD,AOD 是直角三角形,ON= 又 CD平面 ABC,AD=AD132CDA在OMN 中,OM= .4cos,1,23MNOONM直线 AC 和 BD 所成角为 arccos .4322.
30、 （1）略 （2）arctan （3）2523.（）证明：在长方体 ABCD- 中，AB=2， ，E 为 的中1DCBA11BC1D点。 为等腰直角三角形， 。ED145E同理 。 ，即 DEEC。45C90在长方体 ABCD- 中，BC 平面 ，又 DE 平面 ，1DBA1DC1DCBCDE 。又 ，DE 平面 EBC。平面 DEB 过 DE，E平面 DEB平面 EBC。（）解：如图，过 E 胡平面 中作 EODC 于 O。在长方体 ABCD- 中，1 1BA面 ABCD面 ，EO 面 ABCD。1DC过 O 在平面 DBC 中作 OFDB 于 F，连结 EFEF BD。EFO 为二面角 E
31、-DB-C 的平面角。利用平几知识可得。515EOtgF15（）解：E 在 上，B 在 AB 上，在长方体 ABCD- 中， ，1CD1DCBA1/CEB 在平面 内。又DC/AB DC/平面 。A1直线 DC 到平面 的距离就等于异面直线 DC 和 EB 的距离。1在长方体 ABCD- 中，平面 平面 ，连结 ，在平面DCB1AB1BC1中，过 C 作 。CH平面 ，CH 为所求的距离。1B1H 。2124.（）连结 AC，AN. 由 BCAB，AB 是 PB 在底面 ABCD 上的射影. 则有 BCPB.又 BN 是 RtPBC 斜边 PC 的中线，即 .由 PA底面 ABCD，有PCBN
32、21PAAC ，则 AN 是 Rt PAC 斜边 PC 的中线，即 ABN又M 是 AB 的中点， AM（也可由三垂线定理证明）（）由 PA平面 ABCD，ADDC，有 PDDC.则PDA 为平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角.由 PA=a，设 AD=BC=b，CD=AB=c， 又由 AB=PD=DC，N 是 PC 中点，则有 DNPC 又平面 MND平面 PCD 于 ND， PC 平面 MND PC MN，而 N 是 PC 中点，则必有 PM=MC.此时 .bacbc.4122 4,1PDAtg16即二面角 PCDA 的大小为 .（） ，4AMDNADV连结 BD 交 AC
33、于 O，连结 NO，则 NO PA. 且 NO平面 AMD，由 PA=a2125. 解：（1）如图 O 为底面 ABCD 的中心，则PAO 为 PA 与底面所成的角PAO=60 2A,6PA过 O 作 OMBC 于 M，连 PM 由三垂线定理得 BCPMPMO 为侧面与底面所成二面角平面角 ，6,1OM 即侧面与底面所成角为6tanParctn（2）如图建立空间直角坐标系则 ， ， ，)0,(A)0,2(C)6,(P)0,2(B假设在 PB 上存在一点 E，满足条件，设 E 分 的比为 则 )16,02(EAEPC 解得 =20162存在点 E 且点 E 分 的比为 2 时，满足 AEPC26
34、. （1）证法一：如图 1，底面 ABCD 是正方形， BCDC.SD底面 ABCD，DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影，由三垂线定理得 BCSC.17证法二：如图 1，底面 ABCD 是正方形， BCDC. 图 1SD底面 ABCD，SD BC，又 DCSD=D，BC平面 SDC，BCSC.（2）解法一：SD底面 ABCD，且 ABCD 为正方形，可以把四棱锥 SABCD 补形为长方体 A1B1C1SABCD，如图 2.面 ASD 与面 BSC 所成的二面角就是面ADSA1 与面 BCSA1 所成的二面角，SC BC，BC/A 1S，SCA 1S，又 SDA 1SCSD 为所求二面角
35、的平面角.在 Rt SCB 中，由勾股定理得 SC= ，2在 Rt SDC 中，由勾股定理得 SD=1.CSD=45.即面 ASD 与面 BSC 所成的二面角为 45.解法二：如图 3，过点 S 作直线 在面 ASD 上，,/ADll底面 ABCD 为正方形，在面 BSC 上，lBCADl,/为面 ASD 与面 BSC 的交线. , SClDlSSCSD 为面 ASD 与面 BSC 所成二面角的平面角.（以下同解法一）（3）解法一：如图 3，SD=AD=1，SDA=90，SDA 是等腰直角三角形.又 M 是斜边 SA 的中点，DMSA. BAAD，BASD，ADSD=D，BA面 ASD，SA
36、是 SB 在面 ASD 上的射影.由三垂线定理得 DMSB.异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90.解法二：如图 4，取 AB 中点 P，连结 MP，DP.在ABS 中，由中位线定理得 MP/SB，18是异面直线 DM 与 SB 所成的角.DMP，又231SB,25)1(,2DP在DMP 中，有 DP2=MP2+DM2， 90M异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90.27. (I) 过 P 作 PQCD 于 Q，则 PQ=AD=1. 平面 ABCD平面 CDEF, PQ 平面CDEF.点 P 到平面 CDEF 的距离为 1. 过 P 作 PREC 于 R，连结 QR，则 QREC.PRQ 为二面角 DECP 的平面角. , PQR 中，PQ QR.5QtanPRQ= 5QR(II)假定线段 AB 上存在点 P 使得 EPPC,连结 PD，由 ED平面 ABCD 知EPPC PDPC 设BCP= ，则 BP=tan ,AP=cot .AB=AP+PB,tan +cot =a, tan +cot 2,当 a2 时, 存在点 P, 使 EPPC; 当 0a2 时, 不存在点 P, 使 EPPC.
