1、初三数学(第 3讲)第 21章 专题复习(2)本文由 elfinmali贡献doc文档可能在 WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择 TXT，或下载源文件到本机查看。初 三 数 学(第 3 讲)第 21 章主讲教师: 苏州立达中学) 主讲教师:谢 潮 (苏州立达中学) 专题复习( 专题复习(2)一,教学内容1. 分式的有关概念;分式的基本性质. 2.二,重点,难点剖析1. 什么是分式?如何正确理解分式?分式的值何时为零?分式的基本性质. m3 5 5x 2 A , , 形如 的式子叫分式,其中 A 和 B 均为整式 ,B 中含有字母 .例如: , 2 . x x 3 B m + 2ns x 2
2、3x + 2 , 等都是分式. 3a b 5x 62. 理解分式这个概念,应注意以下两点: (1)分式是两个整式相除的商,其中分母是除式,分子是被除式,而分数线可以理解为除号,同时分数 a +b 线还含有括号的作用,例如 表示(a+b)(c-d). cd (2)分式的分子和分母都是整式,但是分子可以含字母.也可以不含字母,而分母中必须含有字母.下 x 2 1 x + 2 x 2 + y 2 列式子 , , 中,它们的分母中都不含有字母,所以都不是分式,而是整式. 40 3 5 整式和分式统称为有理式. (3)在分式中分母的值不等于零时,分式才有意义. 分式与分数的区别在于分式的分母中含有字母.
3、分式中作为分母的代数式的值是随着式中字母取值的 不同而变化的,字母所取的值有可能使分母的值为零,当分母的值为零时分式就没有意义了.这与分数不 同,分数的分母是一个具体的数,这个数是否为零,一目了然.而分式要明确其是否有意义,就必须分析, 讨论分母中所含的字母不能取哪些值,以避免分母的代数式的值为零. x 2 5 例如 对分式 2 ,要使这个分式有意义,就必须满足 x2+2x-30, x + 2x 3 x 2 5 即 (x-1)(x+3)0, x1 且 x-3,当 x1 且 x-3 时,分式 2 才有意义. x + 2x 3 分式是否有意义,与分子无关.只要分母不等于零,分式就有意义. 3. 要
4、使分式的值为零,必须在分式有意义的前提下,才能谈到它的值是多少.这就是说“分式的值为零“ 包含两层意思: 一是分式有意义, 二是分子的值为零, 不要误解为 “只要分子的值为零, 分式的值就是零“ .4. 分式的基本性质. 分数的基本性质是:分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数,分数的值不变.同样 的,分式也有类似性质: 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. 用数学式子表示为: A A M A AM = , = B B M B B M 其中 M 是不等于零的整式.1分式的基本性质是分式恒等变形的依据,今后我们将要学习的分式的约分,通分,化简和解分式方
5、程 都要用到这一性质,因此,正确理解分式的基本性质,并能熟练的运用它,是本讲内容的关键. 理解分式的基本性质时,必须注意: (1)分式的基本性质中的 A,B,M 表示的都是整式. x y xy a + b (a + b)(a b) a 2 b 2 x 例如: = = (a b) .随着知识的扩 = = 2 , 2 y 2 y y 2 y 3c 3c(a b) 3ac 3bc 充,A,B,M 还可以表示任何代数式. (2)在分式的基本性质中,M0. y y (2 x 3) 2 xy 3 y 例如: ,这里 M=2x-3,因此, M0,即 2x-30,所以 x = = 2 x 2 x(2 x 3)
6、 4 x 2 6 x 3 .这个条件往往被忽略,学习时,必须特别注意. 2 (3)分子,分母必须“同时“乘以 M(M0),不要只乘分子(或分母) .三,典型例题例 1 当 x 取何值时,下列分式有意义? 1 x+2 (1) ; (2) ; x 5 ( x 5)( x + 2) (3)x 2 9 ; | x | +3(4)1 1 1+ x.解 (1)要使分式1 有意义,必须 x-50, x5. x 5 1 当 x5 时,分式 有意义. x 5 x+2 有意义,必须 (2)要使分式 ( x 5)( x + 2) (x-5)(x+2)0, x5 且 x-2, x+2 当 x5 且 x-2 时,分式
7、有意义. ( x 5)( x + 2) x 2 9 有意义,必须|x|+30. | x | +3 |x|+30, x 2 9 x 取任意数时,分式 都有意义. | x | +3 1 (4)要使分式 有意义,必须 1 1+ x1+(3)要使分式x0. 1 当 x-1 且 x0 时,分式 有意义. 1 1+ x 说明 分母不为零时,分式有意义.值得注意的是分式1 0, x x0,x-1,1 x+2 与分式 是不同的两个分式,由 x 5 ( x 5)( x + 2)2前面的例题可知,这两个公式有意义的 x 的取值范围是不一样的,因此,不能把分式 +2 先约分.x+2 中的 x ( x 5)( x +
8、 2)| x | 2 的值为零; x 2 + x 6 2 x +1 (2)x 为何值时,分式 的值为-1. x 5 解 |x|-2=0, (1) 由题意得 x2+x-60, 解式得 x=2,解式得(x-2)( x+3)0,即 x2 且 x-3. x=-2. | x | 2 的值为零. 当 x=-2 时,分式 2 x + x 6 2x+1=-(x-5), (2) 由题意得 x-5 0, 4 由得 2x+1+x=5,即 x= , 3 由得 x5, 4 2 x +1 的值为-1. x= 时,分式 3 x 5例 2 (1)x 为何值时,分式| x | 1 的值为零,求 x 的值. | x|+x | x
9、 | 1 解 分式 的值为零, | x|+x |x|-1=0, |x|+x0, 由式得|x|=1, x1. 当 x=1 时,|x|+x=|1|+1=20,满足式; 当 x=-1 时,|x|+x=|-1|-1=0,不满足式; x=1.例 3 若分式2 x 的值为负数,试确定 x 的取值范围. 1+ x 2 x 分析 分式 值为负数,即分式的分子 2-x 与分母 1+x 的符号相反. 1+ x 2 x 解 0, 2-x0. x2, 解得 x1. x2, x 的取值范围是 x2.例 4 若分式 例 5 不改变分式的值,把下列各式中的分子,分母的各项系数都化为整数.31 2 x+ y 0.3a 0.5
10、b 3 ; (1) 5 (2) . 1 1 0.2a + b y x 4 3 1 2 1 2 x+ y ( x + y )60 12 x + 40 y 5 3 = 5 3 解 (1) = ; 1 1 1 1 15 y 20 x y x ( y x) 60 4 3 4 3 0.3a 0.5b (0.3a 0.5b)10 3a 5b (2) = = . 0.2a + b (0.2a + b)10 2a +10b 说明 解决这类问题,一般用下列方法:若分子,分母中各项系数都为分数,则分子,分母都乘以各 项系数中分母的最小公倍数;若分子,分母中各项系数都是小数,则分子,分母同时乘以 10n;若分子,
11、分母中各项系数有分数,又有小数,则把小数化为分数,再把分子,分母同时乘以各项系数分母的最小公 倍数.例 6 不改变分式的值,使下列分式的分子,分母均不含有负号: 2y 3n 2 ( x + 3) n ; (2)- ; (3) (n 为正整数) . (1) 5x 2 7m 3 ( y ) 2 n +1 解2y 2y =- 2 ; 2 5x 5x 2 3n 3n 2 (2)- = ; 3 7m 7m 3(1) (3)( x + 3) n ( x + 3) n ( x + 3) n = = 2 n +1 . ( y ) 2 n +1 y 2 n +1 y 说明 根据分式的基本性质有:分式的分子,分母
12、与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值 不变.例 7 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数: 1+ a a 2 1 a 3 (1) ; (2)- 2 . 1 a 2 a 3 a a +1 1+ a a 2 (a 2 a 1) a 2 a 1 解 (1) = = 3 ; 1 a 2 a 3 (a 3 + a 2 1) a + a 2 1 (2)-1 a 3 (a 3 1) a 3 1 =- 2 = 2 . a 2 a +1 a a +1 a a +14同 步 练 习一,填空题1. 如果A 表示一个分式,那么 A,B 都表示 ,且 B 中 B 2. 把下列有理式中是分
13、式的代号填在横线上 2 1 x 5 (1)-3x;(2) ;(3) x 2 y 7 xy 2 ;(4)- x ;(5) ; y 3 8 y +3(6). .x 2 1 m 2 1 3m + 2 7a 1 1 ;(7)- ; (8) ; (9) ; (10) 2 x y + z . x 1 0 .5 3a b 2 3 a 1 3. 当 a 时,分式 有意义. 2a + 3 x 2 3 4. 当 x 时,分式 有意义. ( x + 2)(2 x 1) 2x 2 无意义. 4 x 2 5x 2 4 6. 当 x 时,分式 无意义. | x | 3 9 x 2 时,分式 的值为零. 7. 当 x 3x
14、 1 5 | m | 8. 当 m 时,分式 的值为零. (m + 5)(m + 3) 7 时,分式 的值为正数. 9. 当 x 3x 2 3 x 10.当 x 时,分式 的值为负数. 2 x ( ) 2a 11. . = 1 2a a 2a 2 2mn 2 . 12. = 2 3m ns ( ) b a 13. 2 . = ) b b (5. 当 x 时,分式 14.) a 3 b3 ( = . 2 2 a b a +b二,选择题2x 中的 x 和 y 的值都扩大两倍,那么分式的值( ). x+ y A.扩大 4 倍 B.不变 C.缩小两倍 D.无法确定 3x 2 x 2 2. 若分式 2
15、的值等于 0,则 x 等于( ). 2 x x 1 2 2 1 A.- B.x=1 C. x=1 或 x=- D.x=1,x=- 3 3 21. 如果把分式 3. 分式1 有意义的条件是( ). 1 +1 1+ x A.x0 B.x-1 C.x-1 且 x25D.x-1 且 x04. 若分式4 的值为-1,则 a 等于( ). | a | +a A.a=2 B.a=-2 C.a=2 或 a=-2 x+a 中,x=-a 时,分式( ). 5. 分式 2 x 1 1 A.值为 0 B.无意义 C.当 a- 时,值为 0 2D.不存在D.不能确定三,解答题1. 不改变公式的值,把下列分式中分子与分母
16、系数化为整数: 1 1 x+ y 0.02 x 0.3 y x 0 .5 y (1) 5 10 ;(2) ;(3) 1 1 1 0.04 x + 0.05 y x+ y 0.25 x + y 3 9 6 2. 若 1 3. a-3 ; 21 ; 26. x=3;7. x=3;2 ; 10.z0, x 2 + 2 x 3 ( x 1)( x + 3) x + 3 |x-1|=x-1. . = = x | x 1| x( x 1) x 1 3. x2-5x+1=0, x2+1=5x, x + =5, x x 4 +1 2 1 1 2 = x + 2 = ( x + ) -2=52-2=23. x2
17、 x x4.13 205. 1一,教学内容1.约分; 2.分式的乘除法.二,重点,难点剖析1.约分 根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分. 约分时,必须先找出分子,分母的公因式,然后再约去分子,分母的公因式. 例 1 约分:(1)3a 2 b 4 c ; 12ab 3 c 2(2)36 m 2 . m 4m 1227解 (1)ab ab 3ab 3 c 3a 2 b 4 c = = ; 4c 12ab 3 c 2 4c 3ab 3 c m+6 36 m 2 (m + 6)(m 6) (m 2 36) (2) = = = . 2 (m + 2)(m 6) ( m
18、 + 2)(m 6) m+2 m 4m 12通过这个例题可知:约分是一种化简分式的运算.约分的根据是分式的基本性质. 2.最简分式 一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式. 约分时,必须把公因式全部约去,把分式化成最简分式.把分式约分所得的结果可能是一个整式. 例 2 约分:(1)m 3n 2 m 2 n 3 26a 2 b 5 c 3 ; (2) . mn 13ab 2 26a 2 b 5 c 3 2ab 3 c 3 13ab 2 = = 2ab 3 c 3 ; 解 (1) 13ab 2 13ab 2 m 3n 2 m 2 n 3 m 2 n 2 (m n ) (2) = =m2n2
19、. mn mn约分时,若分子或分母的系数是负数,一般根据分式的基本性质先把负号提到分式本身的前边. 3.分式的乘法法则 分式的乘法法则是:分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母.用式子表示为:a c ac = . b d bd必须注意: 必须注意: (1)分式乘法法则中的 a,b,c,d 可以表示数,也可以表示含有字母的整式. (2)根据乘法法则,应先把分子,分母分别相乘,化成一个分式后再进行约分,但在 实际演算时,这样做有时显得很繁琐,因此,可根据情况先约分,再相乘,这样做既简单易行,又不易出 错. (3)如果运算结果不是最简分式,一定要进行约分,使运算结果化成最简分式. (
20、4)若分子和分母是多项式时,一般应先进行因式分解,再约分. 例 3 计算:(1) 解 (1) (2) = = =ab 2 4cd m + n 3mn m 2 ; (2) . m 3n m 2 n 2 2c 2 3a 2 b 2 2d ab 2 4cd ab 2 4cd = 2 = ; 2 2 2 2 2 3ac 2c 3a b 2c 3a b m + n 3mn m 2 m 3n m 2 n 2 ( m + n ) m(3n m ) ( m 3n )( m + n )( m n ) m(m 3n ) (m 3n )(m n ) m . mn4.分式的除法法则 分式的除法法则是:分式除以分式,把
21、除式的分子,分母颠倒位置与被除式相乘.用 式子表示如:a c a d ad . = = b d b c bc必须注意: 必须注意: (1)分式除法法则中的 a,b,c,d 可以表示数,也可以表示含有字母的整式. (2)分式除法的运算,其本质是分式乘法的运算,把除式的分子,分母颠倒位置后与被除式做乘法运算.8除式(或被除式)是整式时,可以看出分母是 1 的式子,然后按照除法的法则运算. (3)在分式的乘除法的混合运算中,必须特别注意运算顺序.对分式的乘除法来说,它们是同级运算.在 同级运算中,如果没有附加条件(如括号等),那么就应该按照从左到右的顺序进行计算.例如:1 a 1 a = = 2 .
22、 b b b b 1 1 而 ab =a1=a 则是错误的,这种错误做法实际上是按照 a(b . )的顺序造成的. b bab5.分式的乘方 分式的乘方就是把分子,分母各自乘方,即a am ( ) m = m (m 为正整数). b b三,典型例题例 1 把下列各式约分: (1)12 x 2 n +1 y n 2 ; 36 x 2 n 1 y n(2)x3 y3 ; x 3 + x 2 y + xy 2(3)64 x x 3 . x 2 + 9x + 8分析 约分时,应先找分子,分母的公因式.当分子,分母是多项式时,应先分别把分子,分母分解因 式,同时把分子,分母的每个因式都按降幂排列,便于约
23、分. x2 12 x 2 n 1 y n 2 x 2 12 x 2 n +1 y n 2 = = 2 ; 解 (1) 36 x 2 n 1 y n 12 x 2 n 1 y n 2 3 y 2 3y (2) (3)( x y )( x 2 + xy + y 2 ) x y x3 y3 = = ; 3 2 2 2 2 x + x y + xy x x( x + xy + y )x( x 8) x( x + 8)( x 8) x 2 8x 64 x x 3 = = = . x 2 + 9x + 8 x +1 x +1 ( x + 1)( x + 8)说明 (1)约分时,必须特别注意“符号问题“.
24、(2)约分的最后结果除了化简为最简分式外,分子,分母应写成多项式的形式. 例 2 计算: 3x 5a 2 y ; (1) 10ab a2 4 a2 (3) 2 ; a 3a 10 a + 2 解 (1) (2)5c 5 3a 2 b 10 ( 6ab 6 c 2 ) ; 2a 2 b 4 20c 3 8x 3 + y 3 4x 2 y 2 2 (4) (4 x 2 + 4 xy + y 2 ) . 2 x y 4 x 4 xy + y 23x 15a 2 xy 3axy 5a 2 y = = ;10ab 2b 10ab 5c 5 3a 2 b 10 (2) 2 4 ( 6ab 6 c 2 )
25、2a b 20c 35c 5 1 3a 2 b10 ) ( 2 4 6 2 2a b 6ab c 20c 3 15a 2 b10 c 5 = 240a 3 b10 c 5 1 = ; 16a=(3)a2 4 a2 2 a 3a 10 a + 2= =(a + 2)( a 2) a + 2 ( a + 2)(a 5) a 2( a + 2) 2 ( a 2) (a + 2)( a 2)(a 5) a+2 ; = a59(4) (4 x 2 + 4 xy + y 2 ) = = = =8x 3 + y 3 4x 2 y 2 2 2 x y 4 x 4 xy + y 2(2 x + y ) 2 2x
26、 y ( 2 x + y )( 2 x y ) 1 (2 x + y )(4 x 2 2 xy + y 2 ) (2 x y ) 2 ( 2 x + y ) 3 (2 x y ) 2 (2 x + y )(2 x y ) 2 (4 x 2 2 xy + y 2 ) (2 x + y ) 2 4 x 2 2 xy + y 24 x 2 + 4 xy + y 2 4 x 2 2 xy + y 2.例 3 计算: (3a 3 3 ba 2 ) (a 2 b 2 ) ( ) . a+b b+a 3a 3 3 ba 2 ) (a 2 b 2 ) ( ) 解 ( a+b b+a (3a 3 ) 3 (a
27、+ b)( a b) (b a ) 2 = 1 ( a + b) 3 (b + a ) 2= =27a 9 ( a + b)(a b) (a + b) 2 1 ( a + b) 3 ( a b) 2 27a 9 . ab说明 分式的乘法,除法运算,必须先把除法转化为乘法,同时注意运算的顺序,然后把分子,分母 分解因式,再直接约分. x+y=3 , 4x 2 4 y 2 x-y=1 , 求分式 2例 4 已知x + 2 xy + y 2的值.分析 本题可以根据条件,先求出 x,y 的值,再化简求值.考虑到分式的分子,分母因式分解分别得 到 4(x+y)(x-y)和(x+y)2,约分后可化简为 解
28、4( x y ) ,直接把已知条件代入更简单. x+ y4x 2 4 y 2 4( x + y )( x y ) 4( x y ) = = . 2 2 2 x+ y x + 2 xy + y ( x + y)把 x+y=3,x-y=1 代入,得 原式 =4 1 4 = . 3 3例 5 已知 解3 4 5 ab bc + ac = = ,求 2 的值. a b c a + b2 + c2 3 4 5 1 设 = = = (k0), a b c k则 a=3k, b=4k, c=5k,3k 4k 4k 5k + 3k 5k ab bc + ac = 2 2 2 (3k ) 2 + (4k ) 2
29、 + (5k ) 2 a +b +c=(12 20 + 15)k 2 7 = . 50 (9 + 16 + 25)k 2说明 换元法是解决比和比例问题时最常用的方法.10同一,填空题1.约分: (1) (3) (5)ab = bax2 y2 = ( y x) 2步练 习; ; ;(2) (4)4 xy = 25 x 3 y 4( x y ) 3 ( a b) 2 = (b a )( y x ) 65m 2 n(n m ) = 13mn 2 (m n ); ; .49 a 2 = a 2 + a 56 4m n = 3n 2m 32b 2 = 3a(6)2.计算: (1) ; ;xy 2 3x
30、2 y 2 = 4z 2z 2 5 xy 3 2 (4) ( ) = 3z 2(2); .(3) 3ab 二,计算1.3m 3n 50m 2 n 2 ; 10mn m 2 n 2 3x( y ) 3 m ; xy my 22.3. 15 15 y 3x ; x b4.x2 + x 2 5( x + 1) 2 . x 2 + 3x + 2三,计算1.x 2 5x + 6 1 1 ; 2 x2 1 x + x x3 x 2 2x + 4 x3 8 ( x 2 4) ; x 2 + 4 x + 4 3x + 6 x2 1 1 x 1 ; 2 2 x + 4 x + 4 x + 1 x + 3x +
31、2 a 2 + a 42 3 a a+7 . a 2 a b 6 a 2a 122.3.4.5.m 2 + 5m + 4 1 2 5(m + 1) 2 2 m + m 2 m 2m + 12x 5 x + 6 x 2 + 7 x + 12 x 2 x 20 6. 2 x + 8 x + 16 x 2 8 x + 15 x 2 + x 6四,计算1. (a 2b 3 c2 2 bc ) ( ) ( )4 ; a c ab112. (b2 n b n +1 ) ( n )2 . a3 a3.(8a 2 2b 2 ) 4a 2b + 4ab 2 + b3 b 1 1 其中 a = , b = 2 2
32、 2 2 2b 5ab 3a 2 4 b 5ab + 6a 2 2 3 2 a + ab + b b 1 1 4. 2 其中 a = , b = 3 2 a + ab(b 2) b + b 2 3参 考 答 案一,1.(1)-1; (5) 2. (1)a+7 ; a +8(2)4 ; 25 x 2 y 3(3)x+ y ; x y(4) ( x y ) 2 ( a b) ;2 ; 3m 2 15mn 二,1. ; m+n5m . n 2 (2) ; 3xz(6) (3) 2.-3; 2.3; 6.19a 2 ; 2b b 3. ; y x +1 ; x+2(4)25 x 2 y 6 . 9z 44.5x2-5. 4.a6 . a+2三,1. 5.(m + 4)(m 1) 5(m + 2)(m + 1)a8 ; c3x2 2x ; x 13.四,1. 1 2.2 n . ba3. 2(2b + a ) =0 2a + b4.a+b =5 ab121
