1、初三数学同步辅导教材（第 3 讲）一、本周教学进度：6.2 正切和余切二、 本周教学内容：. 正切和余切的有关概念；. 解决运用正切和余切的有关问题 三、重点、难点剖析. 正切、余切与已学过的正弦、余弦是初中阶段必须理解并掌握的锐角三角函数，由于任意一个锐角都可以看作是直角三角形的一个角（显然这样的直角三角形都是相似的） 因此，我们在直角三角形中，就可以对这个锐角作出如下的定义：sinA , cosA , tgA , ctgA .cacbbaab其中 a、b 分别为的对边和邻边，c 为斜边 学习锐角三角函数时首先要熟知定义，切不可以张冠李戴，只有在理解的基础上熟记，在运用中加深理解 . 学习正
2、切和余切时，要充分利用学过的正弦和余弦，经常地把它们加以比较，就会既见到许多相类似的地方，又重视它们的区别，不至于产生混淆 如，在 RtABC 中， sinAcosB ;cacosBsinB ;btgActgB ;actgAtgB .b这种互为余角的三角函数关系，为我们把它化为同角的三角函数创造条件，这在解题中是经常用到的 若 、 都是锐角，且则 sin sin ; tg tg ;cos cos ; ctg ctg .可见一个锐角的正弦值（或正切值）随着锐角的增大而增大；余弦值或余切值随着锐角的增大而减小，这就为比较三角函数值的大小提供了依据 如，比较 tg43与 ctg57的大小 tg43t
3、g(90 47)ctg47, 而 ctg47ctg57即 tg43ctg57值得一提的事，比较两个三角函数值的大小，通常总是先把它们化为同名三角函数.cAB a Cb要熟记特殊角的三角函数值学习正弦和余弦时已经知道，30、45、60称为特殊角，对于这些角的各个 三角函数值应用极为广泛，必须熟记 角度 函数值 函数名称30 45 60正弦sin 212 23余弦cos 3 1正切tg 33余切ctg 怎样熟记呢？正弦、余弦的 30、45、60值的分母都是 2，而分子，正弦为 （） 、1、 ；余弦为 、 、 （） ，分别读作根号、；根号2321、 正切、余切的 30、45、60值的分母都是，分子则
4、为（ ） 1、( )2、( )333,即tg3 ， tg45 13)(1 23)(tg60 . 余切则相反 )(3必须告诉大家，0、90也是特殊角，且sin， cos01, tg00, ctg0不存在；sin， cos901, tg90不存在， ctg0 因此，今后我们指的特殊角是：0、30、45、60、90 同角三角函数间的关系同角三角函数间存在以下关系：平方关系： sin cos 2 1;a商的关系： tg , ctg ;cosinsinco倒数关系： tg , ctg .tg1tg1这些关系不仅在学习中，解题时用处很大，而且对这些关系的真正掌握也是有助于对三角函数定义的理解 如，sin
5、cos 2（ ） （ ） cacb (c2a 2 b2);2+ sin ;ctgosabctg ctg 1, 即 tg ctg1四、典型例题例 在 Rt ABC 中, C90,a: b3:1, 求的四个三角函数值 解 a:b3:1, a3b由勾股定理，得 c b.2+10则 sinA ;b10cosA ;c10tgA 3;ba3ctgA .1解这道题的关键就是要熟知三角函数的定义, 由于三角函数值是两边之比 结果是个数值，因而本题是通过把 RtABC 的三条边长用同一条边去表示，以求得任意两边之比值.例 已知 是锐角，且 sin , 53求 cos、tg、 ctg 的值 分析 这是已知一个三角
6、函数值，求其余的同角三角函数值的问题，因此可采用同角三角函数关系去解决 解 sin cos 21， 且 sin ， 是锐角，53cAB a Cb cos 2sin12)53(14又 tg ，4=cosi ctg .tg13注意 锐角的各个三角函数值都是正值 例 已知 ctg的值小于 ，则锐角的取值范围是（ ） A. 0A90 B. 30A 90C. 0A60 D. 60A 90 解 ctg30 ,ctgActg30 A 303又 A 是锐角， 30A 90故应选（）例 已知 是锐角，tg ctgk 1, tg2ctg 214, 求 k 的值 分析 要求 k 的值，就需要得到一个 k 的等式，因
7、此如何从已知的两个条件中消去tg、ctg 是解题的关键 解 tgctgk 1, (tgctg) 2( k 1)2即 tg2ctg 22tgctg(k 1)2142(k 1)2则 k 1k15, k2 3,又 tgctgk 1， k 3 舍去则 k5.注意 当 是锐角时，tg ，ctg 例 在ABC 中，ctgA0, 且 tgB、ctgC 是关于 x 的方程 x2 2 x k0 的两根，求A、及 k 的值 解 ctgA0, A 90 （这是基本的） 90，tgBctgC（互余关系）根据题意，得tgBctgCtgBtgB tgB 3tgB ， 则 60，30.3又tgB ctgCk, ktg60c
8、tg30 3(利用特殊角的三角函数值)ktgBctgCtg 2Btg 260( )23.3练 习 一. 填空：1已知 Rt ABC 中，C90,a15， c17，则sinA_, tgA_, ctgA_, cosB_, tgB_, ctgB_.2.根据条件，求出锐角 的度数 (1)ctgtg45tg361, 则 _;(2)tgctg45 tg561, 则 _;(3)已知 tg2 , 则 _;3021tg(4)已知 ctg(90 )tg25 , 则 _.3. 在ABC 中，C 90, AC BC, 则_;若 BC5cm, 则 AB_cm.4.在ABC 中，、满足sinA 1| (tgB 1)20,
9、 则_.二、解答题5计算(1)sin260 sin30 ctg45ctg90;1(2) ;350+3cos16ctgt(3) cos45 3tg30sin60.26.已知方程（xtg） 2 mxctg 20( 是锐角) 有两个相等的实数根，求m 的值 7.如图，ABC 中，是商,BCa, B, C, 求的长 （用 、a、 表示长）ABCD答案与提示【答案】一. 1. ， ， ， ， ， ；17581578152.36, 34, 30, 25;3.30, 10;4.45.二. 5. (1) 1, (2) 1, (3) ;216. m2;7. AD .ctga+【提示】. (3) tg2 , 260, 30.23)(1. 解 在 RtABC 中，ctg , BDAD ctg ADB在 Rt ABC 中，ctg , DCADctg C , 得BDDCAD(ctg ctg)即 AD .ctga+B
