1、1第二章 完全信息的静态博弈和纳什均衡1. 什么是纳什均衡? （见教材）2. 剔除以下规范式博弈中的严格劣策略，再求出纯策略纳什均衡。先剔除甲的严格劣策略 3,再剔除乙的严格劣策略 2,得如下矩阵博弈。然后用划线法求出该矩阵博弈的纯策略 Nash 均衡。乙甲 1 31 2,0 4,22 3,4 2,33. 求出下面博弈的纳什均衡。乙L RU 5,0 0,8甲 D 2,6 4,5由划线法易知，该矩阵博弈没有纯策略 Nash 均衡。由表达式(2.3.13)(2.3.16)可得如下不等式组Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1将这些数据代入(2.3.19)和(2.
2、3.22),可得混合策略 Nash 均衡( ),( )981,734,4. 用图解法求矩阵博弈的解。 351解：设局中人 1 采用混合策略(x,1-x),其中 x0,1,于是有: ,其中)x(Fmav1,0F(x)=minx+3(1-x),-x+5(1-x),3x-3(1-x) 令 z=x+3(1-x),z=-x+5(1-x),z=3x-3(1-x) 作出三条直线，如下图，图中粗的折线，就是 F(x)的图象12331- 1530- 31 xz xv由图可知，纳什均衡点与 1 无关，所以原问题化为新的 2*2 矩阵博弈： 351由公式计算得： 。 v,2y,3x*所以该博弈的纳什均衡点为（2/3
3、 ，1/3 ） ， （0，1/2，1/2） ） ，博弈的值为 1。25. 用线性规划法求矩阵博弈的解。将矩阵中的所有元素都加 4,得341 7103将数据代入(2.4.34)和(2.4.35)可得局中人 1 的混合策略,(0.45,0.24,0.31), 将数据代入(2.4.36)和(2.4.37)可得局中人 2 的混合策略,(0.31,0.24,0.45)6. 某产品市场上有两个厂商，各自都可以选择高质量，还是低质量。相应的利润由如下得益矩阵给出：(1) 该博弈是否存在纳什均衡？如果存在的话，哪些结果是纳什均衡?由划线法可知，该矩阵博弈有两个纯策略 Nash 均衡，即 (低质量, 高质量)
4、， (高质量,低质量)。乙企业高质量 低质量高质量 50,50 100,800甲企业 低质量 900,600 -20,-30该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡Q=a+d-b-c= -970,q=d-b= -120,R= -1380,r= -630，可得 1386y,972x因此该问题的混合纳什均衡为 。)1385,6()97,12(2) 如果各企业的经营者都是保守的，井都采用最大最小化策略，结果如何?乙企业高质量 低质量高质量 50,50 100,800甲企业 低质量 900,600 -20,-30(高质量, 高质量),( 低质量,低质量 )。7. 甲、乙两人就如何分 100 元钱进行讨价还价。
5、假设确定了以下规则：双方同时提出自己要求的数额 s1 和 s2，0s 1，s 2100。如果 s1+s2100，则两人各自得到自己所提出的数额；如果 s1+s2100，双方均获得 0 元。试求出该博弈的纳什均衡。该博弈的纳什均衡为下图的线段 AB：即：s 1+s2=100,s1,s20,100。10100 AB s1s28. 假设古诺寡头垄断模型中有 n 个企业，令 qi 表示企业 i 的产量，且 Q=q1+qn 表示市场总产量，p 表示市场出清价格，并假设逆需求函数由 p(Q)=a-Q 给出（设 Q10。此时乙企0a1,0业的收益为 100+a。11. 假设有一博弈 G=N,S,P，其中 N
6、=1,2,S1=10,20,S2=0,15,， 。试求出最优反应函数，并求出均衡2111s5s4)(P 212s3s50)(P点。解：令 , ，得最优反应函数：0s)(1s)(2 25s3,0s45121由此进一步可求得 ，它们在题设要求的可行域内,所以均衡点为380,1（330/23,80/23） 。12. 证明教材中定理 2.4.6。证明:设矩阵博弈 G1 的纳什均衡为(X *,Y*),其中 X*=(x1,x2,xm),Y*=(y1,y2,yn),由纳什均衡的定义,有 ,即 。由于 d 是YAXYXA1* 1ijj*i1injjimin1jji yxayxayxa常数,因此有 。显然不等式 1injjim1injjiij dyx)da( m1inj*jiij)d(是成立的,此即为 。所以1inj*jiijyx)da(1injj*iij)( YAXYXA2*2*2(X*,Y*)是矩阵博弈 G2 的纳什均衡点,并且 d)G(vyxayx)da(v 1m1inj*jim1inj*jiij2
