1、1例 1 在棱长为 1 的正方体 中，求 1、平面 的法向量 2、求点 到平面 的距离。3、 求直线 与平面 所成的角。4、求二面角 的大小。例 2（05 江西 理）如图 4，在长方体 中，AD= =1，AB=2，点 E在棱 AB 上移动。（）证明： ；（）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 的距离；（）AE 等于何值时，二面角 的大小为 。例3（05 全国卷）如图 5，四棱锥 中，底面 ABCD 为矩形， 底面 ABCD，AD=PD ，E，F 分别 CD、 PB 的中点。（）求证：EF 平面 PAB；（）设 AB= BC，求 AC 与平面 AEF 所成角的大小。（）证明：建立空间直角
2、坐标系（如图 5），设 AD=PD=1，AB= （ ），则 E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), .得 ， ， 。由 ，得 ，即 ，同理 ，又 ，所以，EF 平面 PAB。）解：由 ，得 ，即 。得 ， ， 。2有 ， ， 。设平面 AEF 的法向量为 ，由 ，解得 。于是 。设 AC 与面 AEF 所成的角为 ， 与 的夹角为 。则 。所以，AC 与平面 AEF 所成角的大小为 。例 4 如图 6 已知四棱锥 的底面为直角梯形，AB/DC， ， 底面 ABCD，且 PA=AD=DC= ，M 是 PB 的中点。（）证明：面 PAD 面
3、PCD；（）求 AC 与 PB 所成的角；（）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。例 1：如右下图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1.(1) 求二面角 CDEC1的正切值 ;(2) 求直线 EC1与 FD1所成的余弦值 . 例 5：（04 年高考辽宁卷 17）如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 是菱形，DAB=60 0，PD平面 ABCD，PD=AD ，点 E 为 AB 中点，点 F 为 PD 中点。3（1）证明平面 PED平面 PAB； （2）求二面角 P
4、-AB-F 的平面角的余弦值证明：（1）面 ABCD 是菱形，DAB=60 0，ABD 是等边三角形，又 E 是 AB 中点，连结 BDEDB=30 0，BDC=60 0，EDC=90 0，如图建立坐标系 D-ECP，设 AD=AB=1，则PF=FD= ，ED= ，P（0，0，1），E（ ，0，0），B（ ， ，0） =（ ， ，-1）， = （ ，0，-1），平面 PED 的一个法向量为 =（0，1，0） ，设平面 PAB 的法向量为 =（x, y, 1)由 =（ , 0, 1) =0 即 平面 PED平面 PAB（2）解：由（1）知：平面 PAB 的法向量为 =（ , 0, 1), 设平面
5、 FAB 的法向量为 1=（x, y, -1) ，由（1）知：F（0，0， ）， =（ ， ，- ）， = （ ，0，- ），4由 1=（- , 0, -1)二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值 cos= |cos| =例 6、已知正方形 ABCD，边长为 1，过 D 作 PD平面 ABCD，且 PD=1，E、F 分别是 AB 和 BC 的中点，（1）求 D 到平面 PEF 的距离； （2）求直线 AC 到平面 PEF 的距离例 7、在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3 ，CC 1=2（如图）（1）求证：平面 A1BC1/平面 ACD1；（2）求（1）中两个平行平面间的
6、距离；（3）求点 B1到平面 A1BC1的距离。.例 8 如图 , 在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，AC3，BC4，AA 14，点 D 是 AB 的中点， （I）求证：ACBC 1； （II ）求证：AC 1/平面 CDB1；解法一：（I）直三棱柱 ABCA 1B1C1，底面三边长 AC=3，BC =4AB=5， ACBC，且 BC1在平面 ABC 内的射影为 BC， ACBC 1；（II）设 CB1与 C1B 的交点为 E，连结 DE， D 是 AB 的中点，E 是 BC1的中点， DE/AC 1， DE 平面 CDB1，AC 1 平面 CDB1， AC 1/平面 CDB1；. 例 9（
7、2007 武汉 3 月）如图所示，四棱锥 PABCD 中，AB AD，CD AD，PA 底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M 为 PC 的中点。(1)求证：BM平面 PAD；(2)在侧面 PAD 内找一点 N，使 MN 平面 PBD；(3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦。5（1） 是 的中点，取 PD 的中点 ，则，又四边形 为平行四边形 ， （4 分）例 10. （2007 河北省唐山市三模）如图，在长方体 中，点 在线段 上.（）求异面直线 与 所成的角；（）若二面角 的大小为 ，求点 到平面 的距离.解法一：（）连结 。由已知， 是正方形，有 。 平面 ， 是 在平
8、面 内的射影。根据三垂线定理， 得，则异面直线 与 所成的角为 。作 ，垂足为 ，连结 ，则所以 为二面角 的平面角， .于是易得 ，所以 ，又 ，所以 。设点 到平面 的距离为 . 即 ， ，即 ， .故点 到平面 的距离为 。解法二：分别以 为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系.（）由 ，得设 ，又 ，则 。 则异面直线 与 所成的角为 。（） 为面 的法向量，设 为面 的法向量，则 . 由 ，得 ，则 ，即 6由、，可取又 ，所以点 到平面 的距离。.例 11（本小题满分 14 分）如图，已知点 P 在正方体 的对角线 上，PDA=60.（1）求 DP 与 所成角的大小；（2）求 DP
9、 与平面 所成角的大小.空间向量解立体几何问题（一）一、知识梳理(一)基本知识点：1.若 =xi+yj+zk，那么（x，y，z）叫做向量 的坐标，也叫点 P 的坐标.2.设 =（x 1，y 1，z 1）， =（x 2，y 2，z 2），那么 =（x 1x2，y 1y2，z 1z2）， =x1x2+y1y2+z1z2，.3.设 M1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2），则 ， |M1M2|=.例 1、(1) a(2，3，1)， b(2，0，3)， c(0，0，2) ，则 a6 b8 c( )(A)(14，3，3) (B)(14，3，35)(C)(14，3，12) (D)(
10、14，3，3)(2)若向量 a(2，1，2)， b(6，3，2)，则 cos_7(3)若向量 a(1，2)， b(2，1，2)，且 a 与 b 的夹角余弦为 ，则 等于( )(A)2 (B)2 (C)2 或 (D)2 或(4)正方体 ABCD A1B1C1D1中，棱长为 1， E 为 CC1中点，(1)求 ；4.对非零向量 a 与 b，有 ab a=kb；ab ab=0.例 2、（1）下列各组向量中不平行的是( )(A)a(1，2，2)， b(2，4，4) (B)c(1，0，0)， d(3，0，0)(C)e(2，3，0)， f(0，0，0) (D)g(2，3，5)， h(16，24，40)（2
11、）已知向量 a(2，1，3)， b(4，2， x)，若 a b，则 x( )(A)2 (B)2 (C) (D)（3）已知向量 a(1，1，0)， b(1，0，2) ，且 ka b 与 2a b 互相垂直，则 k 值是_（4）直三棱柱 ABC A1B1C1的底面 ABC 中， CA CB1， BCA90，棱AA12， M、 N 分别是 A1B1， A1A 的中点。如图，建立空间直角坐标系(1)求 的坐标及 BN 的长；8(2)求 的值；(3)求证： A1B C1M5、平面 ABC 的法向量：例 3、如图，四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形， PD底面ABCD， AD PD2 AB4
12、， E， F 分别为 CD,PB 的中点求平面 AEF 的一个法向量的坐标（二）运用：1、空间平行问题：(1) 证明：两直线平行 （ =（x 1，y 1，z 1），=（x 2，y 2，z 2）（2）证明：直线 AB 平行平面 CDE (例 4、正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是 AB， A1D1的中点，求证： MN平面 BB1D1D例 5、如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC BC CC1， AC BC，点 D 是 AB 的中点9(1)求证： AC1平面 CDB1；(2)求异面直线 AC1与 B1D 所成的角的大小(3) 证明：两平面平行 （ ）例 6、如图，
13、在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AB2， AA14， E， F， M， N 分另是A1D1， D1D， BC， BB1的中点求证：平面 EFC1平面 AMN2、空间垂直问题：证明：两直线垂直：ABCD 例 7、如图，已知直三棱柱 中，BC=1， ，M 是 的中点。求证：证明：直线垂直平面：PA 例 8、如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为正方形， PA平面 ABCD， PA AD， E， F 分别是AB， PC 的中点求证： EF平面 PCD10证明：两平面垂直： （ ）例 9、正方体 ABCD A1B1 C1D1中， P， M， N 分别是 DC， CC1， BC 中点求证：
14、平面 PA1A平面 MND3、空间角问题：（1）求异面直线 AB 与 CD 所成角：例 10、直三棱柱 ABC A1B1C1中， ACB90， AC BC CC11(1)求异面直线 AC1与 CB1所成角的大小；(2)证明： BC1 AB1(2)求 PA 与面 ABC 所成角 ：设 是面 ABC 的法向量，则 = ，例 11、正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2， E， F 分别为 AD， AB 的中点，求 BC1与平面 A1EF所成角的大小(3)求二面角 ABCD 的大小 ：设 和 是面 ABC 和面 BCD 的法向量，=例 12、正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB BB1，
15、 D 是 BC 的中点，求二面角 C AC1 D 的大小114、空间距离问题：P 点到面 ABC 的距离 d: 其中设 是面 ABC 的法向量 例 13、正四棱锥 S ABCD 的所有棱长均为 2， E， F， G 分别为棱 AB， AD， SB 的中点求点C 到平面 EFG 的距离二、 知识训练：1.若 a=（2 x，1，3）， b=（1，2 y，9），如果 a 与 b 为共线向量，则A.x=1， y=1 B.x= ， y= C.x= ， y= D.x= ， y=2、已知向量 a=（1，1，0）， b=（1，0，2），且 ka b 与 2a b 互相垂直，则 k 值是A.1 B. C. D.
16、 3、已知空间三点 A（1，1，1）、 B（1，0，4）、 C（2，2，3），则 与 的夹角 的大小是_.4、已知 =（2，2，1）， =（4，5，3），求平面 ABC 的法向量.5、如下图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E、 F 分别是 BB1、 CD 的中点. （1）证明 AD D1F； （2）求 AE 与 D1F 所成的角；6、在正棱锥 中，三条侧棱两两互相垂直， 是 的重心，E、F 分别为BC、PB 上的点，且 BE：EC=PF：FB=1：2。求证：平面 GEF平面 PBC123、如图，在正方体 中， 是 的中点，求证： 平面 。5、已知正方体 ， 是底 对角线的交点.求证：() C1O面 ；(2) 面 6、正方体 中，求证：（1） ；（2） .7、正方体 ABCDA1B1C1D1中(1)求证：平面 A1BD平面 B1D1C；(2)若 E、 F 分别是 AA1， CC1的中点，求证：平面 EB1D1平面 FBD如图，在正方体 中， 、 、 分别是 、 、 的中点.求证：平面 平面11、如图，在正方体 中， 是 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面 平面 .12、已知 是矩形， 平面 ， ， 为 的中点（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成的角13
