1、1立体几何大题一、证明平行1.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点求证：(1)EG平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H.2(2015四川改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系并证明你的结论二、证明垂直1.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.2.(2015山东)如图，三棱台DEF
2、ABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点求证：BD平面FGH；若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.2三、求线面角、二面角（1)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值（2）. (2014山东)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点(1)求证：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD13，求平面C1D1M和平面ABCD
3、所成的角(锐角)的余弦值（3）(2015广东)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.(1)证明：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值3四、空间向量在立体几何中的应用1、如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.2、如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中
4、，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点求证：DE平面ABC；B1F平面AEF.3、如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)求二面角DA1AC的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由4、(2015课标全国)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的底面相交，交线围成一
5、个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值45、如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值6、(2015重庆)如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB2.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE2，CE2EB2.(1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值7、如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的
6、交点，且PB1平面BDA1.(1)求证：CDC1D；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；(3)求点C到平面B1DP的距离8、(12分) (2014天津)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值5立体几何大题一、证明平行1.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点求证：(1)EG平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H.证明(1)取
7、B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OBGE，由线面平行的判定定理即可证EG平面BB1D1D.(2)由题意可知BDB1D1.如图，连接HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1BF.又B1D1HD1D1，BDBFB，所以平面BDF平面B1D1H.2(2015四川改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系并证明你的结论6解(1)点F，G，H的位置如图所示(2)平面BEG平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以
8、BCFG，BCFG，又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是BCHE为平行四边形，所以BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH，同理BG平面ACH，又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.五、证明垂直如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.7而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AE
9、PC.由(1)，知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.(2)(2015山东)如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点求证：BD平面FGH；若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.证明方法一如图，连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点，又H为BC的中点，8所以HMBD，又HM平面F
10、GH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.方法二如图，在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.又因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面
11、BCD平面EGH.六、求线面角、二面角线面角、二面角的求法（1）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点9(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值(1)解在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.(2)证明在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD
12、，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.又PCCDC，综上得AE平面PCD.(3)解过点E作EMPD，垂足为M，连接AM，如图所示由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AMPD.10因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30.设ACa，可得PAa，AD2 33 a，PD213 a，AE22 a.在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，则AMPAADPDa2 33 a213 a2 77 a.在RtAEM中，sinAME
13、AEAM144 .所以二面角APDC的正弦值为144 .（2）. (2014山东)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点(1)求证：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD13，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC.又由M是AB的中点，因此CDMA且CDMA.连接AD1，如图(1)11在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为CDC1D1，CDC1D1，可得C1D1MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，
14、因此C1MD1A.又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.(2)解方法一如图(2)，连接AC，MC.由(1)知CDAM且CDAM，所以四边形AMCD为平行四边形，可得BCADMC，所以ABCDAB60，所以MBC为正三角形，因为AB2BC2，可得CA3，因此CACB.以C为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系Cxyz，所以A( 3，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，3)，因此M 32，12，0，所以MD132，12，3，D1C1MB32，12，0 .设平面C1D1M的一个法向量为n(x，y，z)，12由nD1C10，nMD10，得3xy0，
15、3xy2 3z0，可得平面C1D1M的一个法向量n(1，3，1)又CD1(0,0，3)为平面ABCD的一个法向量，因此cosCD1，nCD1n|CD1|n|55 .所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为55 .方法二由(1)知平面D1C1M平面ABCDAB，过点C向AB引垂线交AB于点N，连接D1N，如图(3)由CD1平面ABCD，可得D1NAB，因此D1NC为二面角C1ABC的平面角在RtBNC中，BC1，NBC60，可得CN32 .所以ND1CD21CN2152 .在RtD1CN中，cosD1NCCND1N3215255，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)
16、的余弦值为55 .（3）(2015广东)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.13(1)证明：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值(1)证明在PDC中，PDPC且E为CD的中点，PECD.又平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，PE平面ABCD，又FG平面ABCD，PEFG.(2)解由(1)知PE平面ABCD，PEAD，又ADCD，PECDE，AD平面PDC，ADPD，PDC为二面角PADC的
17、平面角，在RtPDE中，PD4，DE3，PE1697，tanPDCPEDE73 .即二面角PADC的正切值为73 .(3)解如图，连接AC，AF2FB，CG2GB，ACFG.直线PA与FG所成角即直线PA与AC所成角PAC，在RtPDA中，PA2AD2PD216925，PA5.又PC4.AC2CD2AD236945，AC3 5，cosPACPA2AC2PC22PAAC254516253 5925 5.即直线PA与直线FG所成角的余弦值为9 525 .14七、空间向量在立体几何中的应用1、如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，
18、AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.证明(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)于是AP(0,3,4)，BC(8,0,0)，APBC(0,3,4)(8,0,0)0，所以APBC，即APBC.(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且点M在线段AP上，AM35AP0，95，125，又BC(8,0,0)，AC(4,5,0)，BA(4，5,0)，BMBAAM4，165，125，15则APBM(0,
19、3,4)4，165，1250，APBM，即APBM，又根据(1)的结论知APBC，且BMBCC，AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BCM.2、如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点求证：DE平面ABC；B1F平面AEF.证明如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)取AB中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，DE(2,4,0)，
20、NC(2,4,0)，DENC，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC.故DE平面ABC.B1F(2,2，4)，EF(2，2，2)，AF(2,2,0)B1FEF(2)22(2)(4)(2)0，16B1FAF(2)222(4)00.B1FEF，B1FAF，即B1FEF，B1FAF，又AFEFF，B1F平面AEF.3、如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)求二面角DA1AC的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由(1)证明设B
21、D与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AA21AO22AA1AOcos 603，AO2A1O2AA21，A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD，A1O平面ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B( 3，0,0)，C(0,1,0)，D(3，0,0)，A1(0,0，3)，C1(0,2，3)由于BD(2 3，0,0)，AA1(0,1，3)，AA1BD0(2 3)10300，BDAA1，即BDAA1.(2)解由于OB平面AA1C1C，17平面AA1C1C的一个法向量
22、为n1(1,0,0)设n2(x，y，z)为平面DAA1D1的一个法向量，则n2AA10，n2AD0，即y3z0，3xy0，取n2(1，3，1)，则n1，n2即为二面角DA1AC的平面角，cosn1，n2n1n2|n1|n2|55，所以，二面角DA1AC的余弦值为55 .(3)解假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，设CPCC1，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0,1，3)从而有P(0,1，3)，BP(3，1，3)设n3(x3，y3，z3)平面DA1C1，则n3A1C1，n3DA1，又A1C1(0,2,0)，DA1( 3，0，3)，则2y30，3x33z30，取n3(1,0，1
23、)，因为BP平面DA1C1，则n3BP，即n3BP330，得1，即点P在C1C的延长线上，且C1CCP.4、(2015课标全国)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的底面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值解(1)交线围成的正方形EHGF如图：18(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EMAA18.因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MHEH2EM26，所以AH10.以D为坐标原点，DA
24、的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，FE(10,0,0)，HE(0，6，8)设n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则nFE0，nHE0，即10x0，6y8z0，所以可取n(0,4,3)又AF(10,4,8)，故|cosn，AF|nAF|n|AF|4 515 .所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为4 515 .5、如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值(1)证
25、明易知，AB，AD，AA1两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系19设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而B1D(t,3，3)，AC(t,1,0)，BD(t,3,0)，因为ACBD，所以ACBDt2300.解得t3或t3(舍去)于是B1D(3，3，3)，AC( 3，1,0)，因为ACB1D3300，所以ACB1D，即ACB1D.(2)解由(1)知，AD1(0,3,3)，AC( 3，1,0)，B1C1(0,1,0
26、)，设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量则nAC0，nAD10，即3xy0，3y3z0，令x1，则n(1，3，3)设直线B1C1与平面ACD1所成的角为，则sin |cosn，B1C1| nB1C1|n|B1C1|37217 .即直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为217 .6、(2015重庆)如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB2.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE2，CE2EB2.(1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值20(1)证明由PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE.由CE2，CDDE2得CDE为等腰直角三角形，故C
27、DDE.由PCCDC，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD.(2)解由(1)知，CDE为等腰直角三角形，DCE4，如图，过D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1，又已知EB1，故FB2.由ACB2得DFAC，DFACFBBC23，故AC32DF32.以C为坐标原点，分别以CA，CB，CP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，P(0,0,3)，A 32，0，0，E(0,2,0)，D(1,1,0)，ED(1，1,0)，DP(1，1,3)，DA12，1，0 .设平面PAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n1DP0，n1DA0，得x1y13z
28、10，12x1y10，故可取n1(2,1,1)由(1)可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为ED，即n2(1，1,0)从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为21cosn1，n2n1n2|n1|n2|36，故所求二面角APDC的余弦值为36 .7、如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA1.(1)求证：CDC1D；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；(3)求点C到平面B1DP的距离(1)证明连接AB1，交BA1于点O，连接OD.B1P平面BDA1，B1P平面AB1P，
29、平面AB1P平面BA1DOD，B1POD.又O为B1A的中点，D为AP的中点C1DAA1，C1为A1P的中点DC112AA112CC1，C1DCD.(2)解建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz，则B1(1,0,0)，B(1,0,1)，D(0,1，12)，A1B1(1,0,0)，A1B(1,0,1)，A1D(0,1，12)设平面BA1D的一个法向量为n(x1，y1，z1)由A1Bn0，A1Dn0，得x1z10，y112z10.令z12，则x12，y11，n(2，1,2)22又A1B1(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，cosn，A1B1nA1B1|n|A1B1|23123.由图形可知二面
30、角AA1DB为锐角，二面角AA1DB的平面角的余弦值为23.(3)解C(0,1,1)，D(0,1，12)，B1(1,0,0)，P(0,2,0)，CD(0,0，12)，DB1(1，1，12)，DP(0,1，12)设平面B1DP的一个法向量为m(x2，y2，z2)由DB1m0，DPm0，得x2y212z20，y212z20.令z22，则x22，y21，m(2,1,2)点C到平面B1DP的距离d|CDm|m|13.8、(12分) (2014天津)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PB
31、D所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值规范解答(1)证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)1分23由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)BE(0,1,1)，DC(2,0,0)，故BEDC0，所以BEDC.3分(2)解BD(1,2,0)，PB(1,0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，则nBD0，nPB0，即x2y0，x2z0.不妨令y1，5分可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量于是有cosn，BEnBE|n|BE|26233，所以，直线BE与平面PB
32、D所成角的正弦值为33 .7分(3)解BC(1,2,0)，CP(2，2,2)，AC(2,2,0)，AB(1,0,0)由点F在棱PC上，设CFCP，01，故BFBCCFBCCP(12，22，2)由BFAC，得BFAC0，因此，2(12)2(22)0，解得34，即BF(12，12，32)9分设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，则n1AB0，n1BF0，即x0，12x12y32z0.24不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，则cosn1，n2n1n2|n1|n2|31013 1010 .易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为3 1010 .12分
