1、113 盈亏问题把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余）， 或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差， 就得到分配者的数，进而再求得物品数。解题规律：总差额每人差额=人数 总差额的求法可以分为以下四种情况： 1 第一次多余，第二次不足：总差额=多余+ 不足 2 第一次正好，第二次多余或不足：总差额=多余或不足 3 第一次多余，第二次也多余：总差额=大多余-小多余
2、4 第一次不足，第二次也不足：总差额= 大不足-小不足 把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。一 般 解 法 ： （ 盈 数 +亏 数 ） 除 以 两 次 分 配 只 能 够 每 份 的 差 =所 分 对 象 数 ， 物 品 数 可 由其 中 一 种 分 法 的 份 数 和 盈 亏 数 求 出 。其 它 (高 级 ):盈 亏 临 界 点 交 易 所 股 票 交 易 量 的 基 数 点 ， 超 过 这 一 点 就 会 实 现 盈 利 ，反 之 则 亏 损 。盈 亏 临 界 点
3、计 算 的 基 本 模 型设 以 P 代 表 利 润 ， V 代 表 销 量 ， SP 代 表 单 价 、 VC 代 表 单 位 变 动 成 本 ， FC 代 表 固 定成 本 ， BE 代 表 盈 亏 临 界 点 ， 根 据 利 润 计 算 公 式 可 求 得 盈 亏 临 界 点 的 基 本 模 型 为 ：盈 亏 临 界 点 的 计 算 ， 可 以 采 用 实 物 和 金 额 两 种 计 算 形 式 ：1 按 实 物 单 位 计 算 ：2其 中 ， 单 位 产 设 某 产 品 单 位 售 价 为 10 元 ， 单 位 变 动 成 本 为 6 元 ， 相 关 固 定 成 本 为8000 元 ，
4、 则 盈 亏 临 界 点 的 销 售 量 (实 物 单 位 )=8 000(10 6)=2 000（ 件 ） 。 品 贡 献 毛益 =单 位 产 品 销 售 收 入 单 位 变 动 成 本2 按 金 额 综 合 计 算 ： 盈 亏 临 界 点 的 销 售 量 （ 用 金 额 表 现 ） =固 定 成 本 贡 献 毛 益率其 中 ， 贡 献 毛 益 率 =贡 献 毛 益 / 销 售 收 入数 量 关 系 中 的 盈 亏 问 题已 知 两 个 分 配 方 案 ， 一 次 分 配 有 余 ， 一 次 分 配 不 足 ， 求 参 加 分 配 的 人 数 及 被 分 配 的总 量 。 这 样 的 问 题
5、 通 常 叫 做 盈 亏 问 题 。知 识 背 景盈 亏 的 问 题 曾 记 载 在 我 国 古 代 数 学 名 著 九 章 算 术 中 的 第 六 章 -“盈 不足 章 ”中 ， 盈 ， 就 是 有 余 ； 亏 ， 就 是 不 足 的 意 思 。典 型 的 盈 亏 问 题 一 般 以 下 列 的 形 式 表 述 ：把 若 干 个 苹 果 (未 知 数 )分 给 若 干 个 人 (未 知 数 )， 如 果 每 人 分 2 个 还 多 20 个 ， 如 果每 人 分 3 个 则 少 5 个 。 问 总 共 有 多 少 人 ？ 有 多 少 个 苹 果 ？题 目 中 的 不 变 量 是 人 数 和
6、苹 果 数 ， 比 较 两 种 不 同 的 分 配 方 法 ， 可 知 苹 果 相 差 ：20 + 5 = 25 (个 )； 相 差 25 个 苹 果 ， 亳 无 疑 问 是 由 于 每 人 相 差 苹 果 3 - 2 = 1 (个 )而 做 成 的 ，事 实 上 ， 只 有 唯 一 一 种 情 况 才 会 导 至 上 述 情 形 ， 那 就 是 有 25 人 分 苹 果 ！求 得 人 数 后 ， 进 而 可 以 根 据 题 意 ， 用 两 种 方 法 求 得 苹 果 的 数 目 ：225+20=70(个 )或 325 5=70(个 )。解 盈 亏 问 题 的 公 式【 一 盈 一 亏 的 解
7、 法 】(盈 数 +亏 数 )两 次 每 人 分 配 数 的 差【 双 盈 的 解 法 】(大 盈 -小 盈 )两 次 每 人 分 配 数 的 差【 双 亏 的 解 法 】(大 亏 -小 亏 )两 次 每 人 分 配 数 的 差重 点 难 点3有 些 应 用 题 ， 从 表 面 看 起 来 似 乎 不 是 盈 亏 问 题 ， 但 认 真 分 析 ， 将 条 件 适 当 地 转 化 后 ，竟 然 可 变 成 盈 亏 问 题 进 行 解 答 。学 法 指 导由 解 盈 亏 问 题 的 公 式 可 以 看 出 ， 求 解 此 类 问 题 的 关 键 是 小 心 确 定 两 次 分 配 数 量 的 差
8、和 盈 亏 的 总 额 ， 如 果 两 次 分 配 是 一 次 是 有 余 ， 另 一 次 是 不 足 时 ， 则 依 上 面 的 公 式 先 求 得人 数 (不 是 物 数 )， 再 求 出 物 数 ； 如 果 两 次 分 配 都 是 有 余 ， 则 公 式 变 成 盈 额 差 除 以 两 次 分配 数 之 差 ； 如 果 两 次 分 配 都 是 不 足 时 ， 则 公 式 变 成 亏 额 差 除 以 两 次 分 配 数 之 差 ， 如果 有 时 候 ， 必 须 转 化 题 目 中 条 件 ， 才 能 从 复 杂 的 数 量 关 系 中 寻 找 解 答 ； 有 时 候 ， 直 接从 “包 含
9、 ”入 手 比 较 困 难 ， 可 以 间 接 从 其 反 面 “不 包 含 ”去 想 就 会 比 较 容 易 。习题：1、一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分 10 个桃子，则有两只猴子没有分到，如果每只猴子分 8 个桃子，则刚好分完 .求有多少只猴子，多少个桃子？分析 按第一种分法，每只猴子分 10 个桃子，有两只猴子没有分到，就是桃子不足，差20 个（因为这两只猴子应该各分 10 个桃子）；按第二种分法，每只猴子 8 个桃子，刚好分完，也就是不多不少，或者说盈数为零.每只猴子分 8 个刚好分完，每只猴子多分 2 个（每只猴子 10 个桃子）就差 20 个，说明猴子数目应为：202=10（
10、只）.桃子数当然就是 80 个了.也就是（不足的桃子数+多余的桃子数）2=猴子的只数.一般地，在盈亏问题中：（盈数+亏数） （两次的差）= 人数.解 每只猴子分 8 个桃子刚好分完，每只猴子分 10 个桃子，就差 20 个.所以猴子数为：20（10-8） =10（只）.桃子数目为：810=80（个） .答：猴子有 10 只，桃子有 80 个.2、实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐 60 人，则有 15 人上不了车；如果每辆车多坐 5 人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？4解 每辆车坐 60 人，则多余 15 人，每辆车坐 60+5=65 人，则多出一辆车，也就是差65 人. 因此
11、车辆数目为：（65+15）5=805=16（辆）.学生人数为：60（16-1）+15=6015+15=900+15=915（人）.答：一共有 16 辆车，915 名学生.3、小胖的爷爷买回一筐梨，分给全家人.如果小胖和小妹二人每人分 4 个，其余每人分2 个，还多出 4 个，如果小胖 1 人分 6 个，其余每人分 4 个，又差 12 个.问小胖家有多少人？这筐梨子有多少个？分析 这个问题稍微复杂一点，可以这样来想：第一次分法是小胖、小妹各 4 个，其余每人 2 个，多余 4 个. 假设小胖、小妹也分 2 个，那么会多多少个梨呢？很容易想，那就会多出：22+4=8（个）.第二次分法是小胖一人得
12、6 个，其余每人 4 个，差 12 个，假如小胖也只分 4 个呢，那么就只差：12-2=10（个）.这样一想，就变成和前面讲的例子一样了.解 小胖家的人数为：22+4+（12-2 ）2= （8+10 ）2=9（人）.梨子数为：42+2（9-2）+4=8+14+4=26 （个），或者 6+4（9-1）-12=6+32-12=26（个）.答：小胖家有 9 人，这筐梨有 26 个.4、用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多 5 米；如果绳子 3 折时，差 4 米. 求绳子长度和井深.分析 这还是一个盈亏问题，当绳子长一定，井深度一定，绳子折 2 折比井深多 5 米，实际意思是绳子长度是井深的 2
13、 倍多 10 米即 52=10（米）.绳子折 3 折，差 4 米，就是说绳子的长是井深的 3 倍差 12 米即 43=12（米），由此我们就很容易计算出绳子长和井深了.解 井的深度为：5（52+43）（3-2）=221=22（米）.绳子长度为：（22+5）2=272=54（米），或者 （22-4）3=183=54（米）.答：井深 22 米，绳长 54 米.5、食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉 18 千克，则差 4 元；如果买猪肉20 千克，则多 2 元.已知牛肉、猪肉每千克差价 8 角. 问牛肉、猪肉各多少钱一千克？分析 这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分
14、析一下已知条件，买牛肉 18 千克差 4 元，而买猪肉 20 千克还多 2 元，说明牛肉贵一些. 每千克贵 8角，如果 18 千克牛肉换成 18 千克猪肉，就要少花818=144（角）=14 元 4 角.这样就会多出 14 元 4 角-4 元=10 元 4 角.因此问题就可变为：“小李买猪肉 18 千克多余 10 元 4 角，买 20 千克多余 2 元，求猪肉单价和钱数.”虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题，不过猪肉单价=两次钱的差两次千克量差.解 由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵 8 角.18 千克牛肉比 18 千克猪肉贵818=144（角）=14 元 4 角.因此小李若买 18 千克猪肉就会
15、多余14 元 4 角-4 元=10 元 4 角 .由已知小李买 20 干克猪肉多余 2 元，所以猪肉每千克价格为（104-20） （20-18）=842=42（角）=4 元 2 角.所以牛肉每千克价格为：4 元 2 角+8 角=5 元.小李带的钱为：4.220+2=86（元）.答：猪肉每千克 4 元 2 角，牛肉每千克 5 元.小李带的钱为 86 元.6、王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的 2 倍.桔子每人分 3 个，多 4 个；苹果每人分 7 个，少 5 个 .问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？分析 和上例一样，把苹果换为桔子，就容易思考多了.6解 因为桔子每人分 3 个多 4 个，而苹果是桔子的 2 倍，因此苹果每人分 6 个就多 8 个.又已知苹果每人分 7 个少 5 个，所以应有（8+5）（6-5）=13（人）.苹果个数为 137-5=86（个）.桔子数为 133+4=43（个） .答：有 13 个小朋友，86 个苹果和 43 个桔子.
