1、第 1 页 共 7 页得分 评阅人一、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1按描述的物理过程，数学物理方程可分为 、 及。2定解问题由 和 组成。3勒让德多项式的生成函数是 。4格林函数 的物理意义是 );(0rG。5 是 m 阶柱贝塞尔函数， 是 m 阶诺伊曼函数。它们的取值有如下)(xJ )(xN特点： = ， = (m=1，2，3)，0)0(mJ= (m=0，1，2)。)(mN得分 评阅人二、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1在长为 l 杆的纵振动问题中，x=0 端固定，x=l 端为自由端，则其边界条件为( )。A ， B ，0xulx 0xulxC
2、， D ，l 0lu2 本征值问题的本征值和本征函数分别是( )。A ， 及 B ， 及2mxcosmin2mxcosminC ， D ， itaita)20(),()0yy第 2 页 共 7 页3 是( )。0)41()(22 xyxyxA零阶贝塞尔方程 B 阶贝塞尔方程21C1 阶贝塞尔方程 D 阶虚宗量贝塞尔方程4勒让德多项式 Pl(x)的奇偶性是( )。AP l(-x)= Pl(x) BP l(-x)=- Pl(x)CP l(-x)= (-1)lPl(x) D Pl(-x)= (-1)l/2Pl(x)5将方程 化为标准形式时，应采用的变量代换04uuyxyx是( )。A ， B ， y
3、xy2xy2C ， D ， x3xy3 )3(y)2(6根据达朗贝尔公式，定解问题的解是( )。A B atxatx2)cos()sin( taxsincoC D ti atx2)i()(7将下列定解问题的非齐次边界条件齐次化可以选用下列哪一个函数作为辅助函数？( )A ； B ；xltw),( )1(),(lxAtxw1,sin)(),(002ttxtua)(x0(lx,02tlxxtuAta第 3 页 共 7 页C ； D 。)1(),(lxAtxw xlAttw),(8分离变量法适用于( )。A 齐次方程，非齐次边界条件 B齐次方程，齐次边界条件C非齐次方程，非齐次边界条件 D任意数理方
4、程，任意边界条件得分 评阅人三、证明题（19 分）在直角坐标系(x ，y ，z)转化到一般坐标系(q 1，q 2，q 3)时拉普拉斯算符的转化为其中 h1，h 2，h 3 为度规因子。试证明直角坐标系下的拉普拉斯方程 =0 在柱坐标系下的形zyxuu2式为。3211321323212uh第 4 页 共 7 页01)(122zuu得分 评阅人四、 计算题（7 分）已知贝塞尔函数的递推关系是 mmxJxd)()(11试计算 dJa03)(第 5 页 共 7 页得分 评阅人五、计算题（15 分）试用本征函数求一维有界区间上的格林函数 );(0xG其中常数 (n=1,2,3)。22)lkl00, )();(02lxxGxkd第 6 页 共 7 页得分 评阅人六、计算题（20 分）试用分离变量法求解下列问题(要求有主要步骤) )0,(tlx)()0,(),(02xlxuatlxxt第 7 页 共 7 页
