1、 数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.正方体 1ABCD的棱长为 ， 是 的中点，则过 三点的截面面积是（ ）a1EAD1ACE、 、A B C D298a234223a2.如下图，已知圆柱、圆锥、圆台的高相等，轴截面的面积也相等，则圆柱、圆锥和圆台的中截面（过高中点的截面）的面积比等于（ ）A1:1:1 B1:2:3 C2:3:4 D2:3:23.正四棱台两底面边长分别为 ，侧面积等于两个底面积的和，那么它的高为（ ）ab、A B C D ab22ab4.长方体 的长、宽、
2、高分别为 3、2、1，从 到 沿长方体的表面的最短距离为（ ）1CA1A B C. D1321032235.正方体 1CDA中，若 为棱 的中点，则直线 与平面 所成角的正切值为（ EAB1CE1A）A B C. D262417176.已知 为同一球面上的四点，且连接每两点间的线段长都等于 2，则球心 O到平面 的CD、 、 、 BCD距离等于（ ）A B C. D6366126187.圆锥的母线长为 ，过顶点和底面圆心的截面面积为 ，则该圆锥的侧面积为（ ）2cm2cmA B C. D2224c8.已知正四面体 的表面积为 ，其四个面的中心分别为 .设四面体 的表面CDSEFGH、 、 、
3、EFG积为 ，则 等于（ ）TSA B C. D19491139.在正方体 1A中，直线 与平面 所成角为（ ）1AB1CA B C. D2arctn64310.正方形 绕对角线 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是（ ）CDAA两个圆台组合成的 B两个圆锥组合成的 C.一个圆锥和一个圆台组合成的 D两个圆台组合成的11.在棱长为 2 的正方体 1ABCD侧面 上，与 点的距离为 的动点的轨迹的长度是1BCA283（ ）A B C. D333923912.有六根细木棒，其中较长的两根分别为 ，其中四根均为 ，用它们搭成三棱锥，则其中两条a、 a较长的棱所在直线的夹角的余弦值为（ ）A0 B
4、63 C.0 或 63 D以上皆不对第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.一个正四棱柱的顶点都在球面上，底面边长为 1，高为 2，则此球的半径为 14.水平桌面 上放有 4 个半径均为 的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这 4 个球2R的上面放有 1 个半径为 的小球，它和下面 4 个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面 的距离是 15.已知如下结论：“等边三角形内任意一点到各边的距离之和等于此三角形的高”，将结论拓展到空间中的正四面体（棱长都相等的三棱锥），可得出的正确结论是： 16.如图，在直三棱柱 中， ， 分别为1ABC
5、12,90ABCABCEF、的中点，沿棱柱的表面从 到 两点的最短路径的长度为 1AC、 EF三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 12 分）如图，在正三棱柱 1ABC中， ，由顶点 沿棱柱侧面经过棱 到顶点 的最12AB， B1A1C短路线与 1的交点记为 ，求：M（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）该最短路线的长及 的值；1AM（3）平面 与平面 所成二面角（锐角）的大小.1CB18. （本小题满分 12 分）如图，三个 的正方形，都被连结相邻两边中点的直线分成 两片（如图（1），把 6 片粘2cm AB、
6、在一个正六边形的外面（如图（2），然后折成多面体（如图（3），求此多面体的体积.19. （本小题满分 12 分）如图，三棱锥 中， .VABC,90ABC底 面（1）求证： 四点在同一球面上；VABC、 、 、（2）过球心作一平面与底面内直线 垂直.A20. （本小题满分 12 分）如图，已知一个等腰三角形 的顶角 ，过 的一个平面 与顶点 的距离为 1，根据已知120BACB条件，你能求出在 平面 上的射影 的长吗？如果不能，那么需要增加什么条件，可以使 .AB 2AB21. （本小题满分 12 分）已知正四棱锥的侧棱和底面所成的角为 ，侧面和底面所成的角为 ，两相邻侧面所成的角为 ，求证：
7、（1） ；cotan2（2） .si1试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：ACBCAB二、填空题13. 6214. 3R15. 正四面体内任意一点到各个面的距离之和等于此正四面体的高 16. 2三、解答题.22145DC， .MA1AM故 .1（3）连结 ，则 就是平面 与平面 的交线，在 中，1DBC、 1CMBADCB，6039A .又 ，1平 面由三垂线定理得 .1CBD 就是平面 与平面 所成二面角的平面角（锐角）.1MABC侧面 是正方形，1CB .45故平面 与平面 所成的二面角（锐角）为 .1MA4518.解法一：补成一个正方体，如图甲， ，31=2862Vcm正
8、 方 体解法二：补成一个三棱锥，如图乙， .3-3=864Vcm大 三 棱 锥 小 三 棱 锥19.证明：（1）取 的中点 ，VCM，,90ABA底 面 ，在 中， 为斜边 的中点，RtVC .M同理，在 中， .tVC ， 四点在同一圆面上， M是球心.ABA、 、 、（2）取 的中点分别为 ，连结 ，则 就是垂直于、 、 NPQ、 、 PQN、 、 、 PQ的三棱锥 的截面，易证 是平行四边形.ABVM又 ， .,/,/CQPABC故截面 是矩形.MN20.解：在条件“等腰 的顶角 ”下， ABC是不能唯一确定的，这样线段 也是不能确120 1AB定的，需要增加下列条件之一，可使 ：AB ； 或 ；直线 与平面 所成的角 ；12CB515arcsin； .1arctnA115arcos4BAC21.证明：（1）如图设正四棱锥的高 ，底面边长为 ，连 OC，则 ，取 的中点 ，SOhaSABE连结 ，则 .SEO、 S，22tan,cotSOhCaEaSh所以 .cot（2）过 作 于 ，连结 ，易证： ，BFSCDFSC .D连结 ，则 ，且 .O2OB,sin,taFC又 ， .Bsint1
