1、2015-2016 学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）第三次模拟数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1 （5 分）已知集合 A=x|x2160，B= 5，0，1，则（ ）AAB= BBA CAB=0，1 DA B2 （5 分）已知 a，bR，则命题“若 a2+b2=0，则 a=0 或 b=0”的否命题是（ ）A若 a2+b20，则 a0 且 b0 B若 a2+b20，则 a0 或 b0C若 a0 且 b0，则 a2+b20 D若 a0 或 b0 ，则 a2+b203 （5 分）复数 z=| |i（
2、i 为虚数单位） ，则复数 z 的共轭复数为（ ）A2i B2+i C4 i D4+i4 （5 分） 等于（ ）A0 B2sin1 C2cos1 D25 （5 分）数列a n的前 n 项和 Sn=2n23n（n N+） ，若 pq=5，则 apaq=（ ）A10 B15 C 5 D206 （5 分）函数 y= （a0，a1）的定义域和值域都是0，1，则 loga +loga =（ ）A1 B2 C3 D47 （5 分）函数 f（x）=sin（x+） （x R） （ 0，| ）的部分图象如图所示，如果，且 f（x 1）=f（x 2） ，则 f（x 1+x2）= （ ）A B C D18 （5 分
3、）在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 Q（1，1）的直线 l 与曲线 C：y= 交于点 M，N，则 =（ ）A2 B C4 D9 （5 分）设 x，y 满足约束条件 向量 =（y2x，m ） ， =（1，1） ，且 ，则 m 的最小值为（ ）A6 B6 C D10 （5 分）已知ABC 中，三个内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为 S，且2S=（a +b） 2c2，则 tanC 等于（ ）A B C D11 （5 分）已知关于 x 的不等式 x2+bx+c0（ab1）的解集为空集，则 T= + 的最小值为（ ）A B2 C D412 （5 分）已知 f（x）=|x
4、e x|，方程 f2（x）+tf（x）+1=0 （t R）有四个实数根，则 t 的取值范围为（ ）A （ ，+） B （， ） C （ ，2） D （2， ）二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知圆 O：x 2+y2=4，直线 l 与圆 O 相交于点 P、Q，且 ，则弦 PQ 的长度为 14 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x）=f（x+ ） ，f（2014）=2，则 f（1）= 15 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上恒不为零的函数，对任意 x，yR ，都有 f（x）f（y）=f（x+y） ，若a1= ，a n=f（n） （nN *） ，则
5、数列a n的前 n 项和 Sn= 16 （5 分）已知函数 f（x） =esinx+cosx sin2x（x R） ，则函数 f（x）的最大值与最小值的差是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）已知函数 f（x） =loga（x+2）+log a（4x） ， （0a1） （）求函数 f（x）的定义域；（）若函数 f（x）在区间 0，3的最小值为2，求实数 a 的值18 （12 分）已知 =（1，a） ， =（sinx，cosx） 函数 f（x）= 的图象经过点（ ，0） （）求实数 a 的值；（）求函数 f（x）的最小正周期与单调
6、递增区间19 （12 分）已知数列a n的前 n 项和是 Sn，且 Sn+ an=1（nN *）（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn=log3（1 Sn+1） （nN *） ，求适合方程 + + = 的 n 的值 20 （12 分）定长为 3 的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，动点 P 满足 =2 （）求点 P 的轨迹曲线 C 的方程；（）若过点（1，0）的直线与曲线 C 交于 M、N 两点，求 的最大值21 （12 分）已知函数 f（x） = +ln （）求证：f（x）图象关于点（ ， ）中心对称；（）定义 Sn= f（ ）=f（ ）+f（ ）+f （
7、） ，其中 nN*且 n2，求 Sn；（）对于（）中的 Sn，求证：对于任意 nN*都有 lnSn+2lnSn+1 22 （12 分）已知函数 f（x） =exsinxcosx，g（x）=xcosx ex，其中 e 是自然对数的底数（1）判断函数 y=f（x）在（0， ）内的零点的个数，并说明理由；（2）x 10， ，x 20， ，使得 f（x 1）+g（x 2）m 成立，试求实数 m 的取值范围；（3）若 x1，求证： f（x）g（x）02015-2016 学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）第三次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分
8、 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1 （5 分） （2016 甘肃校级模拟）已知集合 A=x|x216 0，B= 5，0，1，则（ ）AAB= BBA CAB=0，1 DA B【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|x 2160=x|4x4，B= 5，0， 1，则 AB=0，1，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2 （5 分） （2014 丹东一模）已知 a，bR，则命题“若 a2+b2=0，则 a=0 或 b=0”的否命题是（ ）A若 a2+b20，则 a0 且 b0 B若 a2+b20，则 a0 或 b0C若 a0 且 b0，则
9、 a2+b20 D若 a0 或 b0 ，则 a2+b20【分析】根据命题“若 p，则 q”的否命题是“ 若p，则q” ，直接写出它的否命题即可【解答】解：命题“若 a2+b2=0，则 a=0 或 b=0”的否命题是“若 a2+b20，则 a0 且 b 0”故选：A【点评】本题考查了四种命题之间的关系的应用问题，是基础题目3 （5 分） （2016 河南模拟）复数 z=| |i（i 为虚数单位） ，则复数 z 的共轭复数为（ ）A2i B2+i C4 i D4+i【分析】化简复数 z，写出 z 的共轭复数即可【解答】解：复数 z=| |i= i=2i，复数 z 的共轭复数为 =2+i故选：D【点
10、评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目4 （5 分） （2015 秋 沈阳校级月考） 等于（ ）A0 B2sin1 C2cos1 D2【分析】找出被积函数的原函数，计算定积分【解答】解： =（x 3+cosx）| =1+cos1+1cos1=2；故选 D【点评】本题考查了定积分的计算；关键是正确找出被积函数的原函数5 （5 分） （2015 江西模拟）数列a n的前 n 项和 Sn=2n23n（n N+） ，若 pq=5，则 apaq=（ ）A10 B15 C 5 D20【分析】利用递推公式当 n2，a n=SnSn1，a 1=S1 可求 an=4n5，再利用 apaq=4（pq） ，
11、p q=5，即可得出结论【解答】解：当 n2，a n=SnSn1=2n23n2（n 1） 2+3n3=4n5a1=S1=1 适合上式，所以 an=4n5，所以 apaq=4（pq） ，因为 pq=5，所以 apaq=20故选：D【点评】本题主要考查了利用数列的前 n 项和，求解数列的通项公式，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键6 （5 分） （2016 河南校级二模）函数 y= （a0，a1）的定义域和值域都是0，1，则loga +loga =（ ）A1 B2 C3 D4【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可【解答】解：当 x=1 时，y=0
12、，则函数为减函数，故 a1，则当 x=0 时，y=1，即 y= =1，即 a1=1，则 a=2，则 loga +loga =loga（ ）=log 28=3，故选：C【点评】本题主要考查对数的基本运算以及函数定义域和值域的应用，比较基础7 （5 分） （2015 青岛模拟）函数 f（x）=sin（x+ ） （xR ） （0，| ）的部分图象如图所示，如果 ，且 f（x 1）=f（x 2） ，则 f（x 1+x2）= （ ）A B C D1【分析】通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出 f（x 1+x2）即可【解
13、答】解：由图知，T=2 =，=2 ，因为函数的图象经过（ ） ，0=sin （ +） ，所以 = ， ， ，所以 故选 C【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力8 （5 分） （2014 湖北模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 Q（1，1）的直线 l 与曲线 C：y= 交于点 M，N，则 =（ ）A2 B C4 D【分析】曲线 ，可知：曲线 C 的图象关于点（1，1）成中心对称，Q 是线段 MN 的中点，因此 【解答】解：曲线 ，曲线 C 的图象关于点（1， 1）成中心对称，Q 是线段 MN 的中点，故 = （ + ）=2 2=4故选：C【
14、点评】本题考查函数图象性质及其向量的运算等知识，考查了推理能力，属于基础题9 （5 分） （2014 许昌三模）设 x，y 满足约束条件 向量 =（y2x，m ） ， =（1，1） ，且 ，则 m 的最小值为（ ）A6 B6 C D【分析】根据向量平行的坐标关系得到 y=2x+m，然后利用线性规划进行求解即可【解答】解： =（y 2x，m ） ， =（1，1） ，且 ，y2x m=0，即 y=2x+m，作出不等式组对应的平面区域，平移直线 y=2x+m，当直线经过点 B 时，直线的截距最小，此时 m 最小，由 ，解得 ，即 B（4，2） ，此时 m=y2x=28=6，故选：B【点评】本题主要考
15、查线性规划的应用，根据向量的关系求出 y=2x+m 是解决本题的关键，利用数形结合是基本思想10 （5 分） （2013 淄博二模）已知ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为 S，且 2S=（a+b） 2c2，则 tanC 等于（ ）A B C D【分析】首先由三角形面积公式得到 SABC = ，再由余弦定理，结合 2S=（a+b） 2c2，得出sinC2cosC=2，然后通过（sinC2cosC） 2=4，求出结果即可【解答】解：ABC 中，S ABC = ，由余弦定理：c 2=a2+b22abcosC，且 2S=（a+b） 2c2 ，absinC=（
16、a+b） 2（a 2+b22abcosC） ，整理得 sinC2cosC=2，（sinC2cosC） 2=4 =4，化简可得 3tan2C+4tanC=0C（0，180） ，tanC= ，故选 C【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，要注意角 C 的范围，属于中档题11 （5 分） （2016 天津校级一模）已知关于 x 的不等式 x2+bx+c0（ab1）的解集为空集，则 T=+ 的最小值为（ ）A B2 C D4【分析】由题意得： ， ，得 利用此式进行代换，将 T 化成，令 ab1=m，则 m0，利用基本不等式即可求出 T 的最小值【解答】解：由题意得： ，
17、，得 ，令 ab1=m，则 m0，所以 则 的最小值为 4故选 D【点评】本小题主要考查基本不等式、一元二次不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于基础题12 （5 分） （2016 陕西校级模拟）已知 f（x）=|xe x|，方程 f2（x）+tf（x）+1=0（t R）有四个实数根，则 t 的取值范围为（ ）A （ ，+） B （， ） C （ ，2） D （2， ）【分析】化简 f（x）=|xe x|= ，从而求导以确定函数的单调性，从而作出函数的简图，从而解得【解答】解：f（x）=|xe x|= ，易知 f（x）在0，+）上是增函数，当 x（，0）时，f（x）=
18、 xex，f（x）=e x（x+1） ，故 f（x）在（，1）上是增函数，在（ 1，0）上是减函数；作其图象如下，且 f（ 1）= ；故若方程 f2（x）+tf（x）+1=0 （t R）有四个实数根，则方程 x2+tx+1=0（tR ）有两个不同的实根，且 x1（0， ） ，x 2（ ，+） ，故 ，解得，t（， ） ，故选：B【点评】本题考查了分段函数的应用及导数的综合应用二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分） （2015 秋 沈阳校级月考）已知圆 O：x 2+y2=4，直线 l 与圆 O 相交于点 P、Q，且 ，则弦 PQ 的长度为 【分析】利用向量的数量积运算，求
19、出OPQ= ，即可求出弦 PQ 的长度【解答】解：由题意，22cosOPQ=2，cosOPQ= ，OPQ= ，PQ=22sinOPQ= 故答案为： 【点评】本题考查向量的数量积运算，考查特殊角的三角函数，属于中档题14 （5 分） （2014 宁波二模）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x）=f（x+ ） ，f（2014）=2，则f（ 1）= 2 【分析】首先，结合奇函数 f（x） ，得到 f（ x）= f（x） ，然后，借助于 f（x）=f（x）=f（x+ ） ，以 x+代 x，得到该函数周期为 3 的周期函数，最后，借助于函数的周期性进行求解【解答】解：奇函数 f（x） ，f（ x
20、）=f （ x） ，f（ x）=f （ x）=f（x+ ） ，以 x+ 代 x，f（x+3）=f（x）函数的周期为 3，f（2014）=f（3671+1） =f（1）=2 ，f（ 1）=f （ 1）=2故答案为：2【点评】本题重点考查了函数的奇偶性和周期性，属于基础题，寻求函数的周期是解题的关键15 （5 分） （2014 秋 宝安区期末）设 f（x）是定义在 R 上恒不为零的函数，对任意 x，yR，都有 f（x）f（y） =f（x+y） ，若 a1= ，a n=f（n） （n N*） ，则数列 an的前 n 项和 Sn= 1 【分析】根据函数的关系式，求出数列a n的通项公式，判断数列是等比数列，求出它的前 n 项和 Sn【解答】解：令 y=x，f（x） f（x）=f（2x） ，f（2x）= f（x） 2，xR；又 a1= ，a n=f（n） （nN *） ，a 1=f（1）= ，an=f（n）=f（1） n= ；数列a n是首项为 a1= ，公比 q= 的等比数列，其前 n 项和为 Sn= =
