1、重庆市綦江区高 2018 级高三（上）半期考试数学（理科）试题考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀第 I 卷（共 60 分）一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的
2、四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 请将其编号选出，并涂在机读卡上的相应位置）1.若集合 1,2345,6A， 370x，则 A等于 （ B ）A , B , C 5,6 D 3,4562.复数 z1=3+i,z2=1i，则 z=z1z2在复平面内的对应点位于 ( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设向量 ,4， C,m，且 A，则实数 m的值为 （ A ）A 13 B 10 C 7 D 44.与直线 5xy关于 y轴对称的直线的方程为 ( A )A 40 B.345x C.3450xy D 350xy5.下列选项中叙述错误的是 （ D ）A命题“若 1
3、,则 20”的逆否命题为真命题B若 :pxR,则 002:,1pxxRC“ ”是“ 2x ”的充分不必要条件D若“ p q”为假命题,则“ p q”为真命题6. 函数 y= 12x2 x 的单调递减区间为 （ B ）A( 1,1 B(0,1 C1,+) D(0,+)7由曲线 y= 2x,y= 3围成的封闭图形面积为 （ A ） A 1B 14C 13D 7128.若平面向量 ,abc两两所成的角相等,且 ,abc则 abc等于 ( C )A 2 B5 C2 或 5 D 或 59.已知函数 ln1931fxx,则 3lg(3)l(og10)ff= ( D )A-1 B0 C1 D210若 1a，
4、设函数 ()4xfa的零点为 m， ()l4axx的零点为 n，则 1m的取值范围是 ( B )A(3.5，) B(1，) C(4，) D(4.5，)11直线 21axby与圆 21xy相交于A、B两点(其中 ,ab是实数)，且 AO是直角三角形(O是坐标原点)，则点 (,)Pa与点 ,0)之间距离的最大值为 （ D ） A 0 B C 21 D 2112已知定义在 1,6上的函数348|,()1()62xfxf则下列结论中,错误的是( C )A (4)0f B函数 x的值域为 4,0 C将函数 )(f的极值由大到小排列得到数列 *,Nna，则 na的前 项和 8nSD对任意的 1,6x，不等
5、式 ()60xf恒成立第卷（共 90 分）二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.抛物线 21yx 的焦点坐标为 ( 12,0)14. 0000tan5t3tant3A的值为 315.若函数 ()e(,)xfb 的图象在 x处的切线与圆 21xy相切,则 ab的最大值是 16.设 ()sin)3cos()0fxx是偶函数， ()0Axf，若 1,A含有10 个元素，则 的取值范围是 _ 91,2三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 12 分）已知 (sinx，cosx )， =(cosx, cos
6、x)，函数 f(x) = + a b 3 a b (1)求 f(x)的最小正周期；(2)当 02时，求函数 f(x)的值域（1） 23()sincosfxx 1 分3i2(1) 3 分sin()x 5 分函数 f(x)的最小正周期为 6 分（2） 02， 233x， 8 分 3sin()1x， 11 分即 f(x)的值域为 ,2 12 分18.（本小题满分 12 分）在锐角ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且 32sinacA。(1)求角 C; （2）若 c 7,且ABC 的面积为 23,求 ab 的值.解（1）由 3sinaA及正弦定理得， siniaAcC3si0,i
7、2CQBQ是锐角三角形， 35 分（2） 7,.c由面积公式得13sin,622abab即 8 分由余弦定理得 2cos7,73ab即 由变形得 5,b2（ +)故 12 分19.（本小题满分 12 分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803立方米，且 2lr 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 6 千元，设该容器的建造费用为 y千元( 4=VR球 , 2S球 )（1）写出 y关于 r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求当 取
8、多少时，该容器的建造费用最小？并求出其最小值。 解：（1）设容器的容积为 V，由题意知23480,Vrl又故322280()3lrrr由于 ，因此 .所以建造费用 221604yrlr（ 2r）6 分（2）由 2160得322(5)3ryr当 0,5时 0y, 3,时 0y所以，当 3r时，该容器的建造费用最小，其最小值为 34825千元。12 分20.（本小题满分 12 分）直线 l与椭圆21(0)yxab交于 1(,)Axy， 2(,)By两点，已知 m),(1byax， n),(2bax，若椭圆的离心率 32e，又经过点 3,1， O为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）当 mn时,试问：
9、 AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 解 ： （1）223314cabe 2,1ab 椭圆的方程为 2yx4 分（2）当直线 AB斜率不存在时，即 2121,xy，由已知 nm0，得 21404xy 又 1(,)xy在椭圆上， 所以 2111|,|2xy121|Sxy,三角形的面积为定值 6 分当直线 AB斜率存在时：设 AB的方程为 kxt222(4)4014ykxtxkt必须 0 即 22()ktt得到 124ktx，214txk8 分 nm， 121212404()0xyxktxt代入整理得： tk 2112|()4SABtx 22|4164|tttk所以
10、三角形的面积为定值 12 分21.（本小题满分 12 分）设定义在区间 ,21x上的函数 )(xfy的图像为 C，点 A、B 的坐标分别为)(),(,21fxf且 )(,fM为图像 C 上的任意一点，O 为坐标原点，当实数 满足21)(xx时，记向量 kMNOBAON|.)1(若恒成立，则称函数 )(xfy在区间 ,上可在标准 k下线性近似，其中 k是一个确定的正数。 （）求证：A、B、N 三点共线（）设函数 2)(xf在区间 0,1上可在标准 下线性近似，求 k的取值范围；（）求证：函数 gln在区间 1,()meR上可在标准 81下线性近似。（参考数据： e2.718, ()0.541）解
11、()由 ON= A+(1) OB得到 N= A，1 分所以 B， N， A 三点共线. 2 分 ()由 21)(xx与向量 =+(1 )OB，得 N 与 M 的横坐标相同 3 分对于 0,上的函数 2)(f， A(0，0)， B(1，1)， 4 分则有 214x，5 分故 04N， ；所以 k 的取值范围是 1， 6 分 ()对于定义在 1em，上的函数 lnyx， A(em)， B( 1em，) 则直线 AB 的方程 1()emy， 7 分设 (,)Nx，则易知 (,l)Mx，且点 N 在直线 AB 上， 1()mmyxee所以， lny1()mmxee 8 分令 1()()emhxx，其中
12、 1R， ，于是 ， 9 分列表如下： xem (em，e m+1e m) em+1e m (em+1e m，e m+1) em+1()h+ 0 0 增 1()h减 0则 MNx，且在 1em处取得最大值， 11 分又 1 2(e)lnemh0.123 8，从而命题成立 12 分请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， A切 于点 ，直线 AO 交 A于 D， 两点， CD，垂足为 C（I）证明： CD；（II）若 3， 2，求 的直径解：（I）因为 DE 为圆 O 的直径，
13、则 BED90，又 BCDE，所以 CBD+ EDB=90，从而 CBD= BED.又 AB 切圆 O 于点 B，得 DBA= BED，所以 CBD= DBA.5 分（II）由（I）知 BD 平分 CBA，则 =3AC,又 =2，从而 32AB=，所以 24AC=-，所以 D.由切割线定理得 2BAE，即2B=6，故 DE=AE-AD=3，即圆 O 的直径为 3. 10 分 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xy中，直线 l的参数方程为132xty（ 为参数）以原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系， CA的极坐标方程为 3sin（I）写出 CA的直
14、角坐标方程；（II） 为直线 l上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求 的直角坐标解：（I）由 223sin,3sin得 ，从而有 2+xyxy所 以.5 分(II)设 1(3t,)C(0,3)2P又 ,则2213|P31ttt，故当 t=0 时，|PC|取最小值，此时 P 点的直角坐标为（3，0）.10 分24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 0,abc，函数 ()|fxaxbc=+-的最小值为 4()求 +的值；()求 22149c的最小值解 ()因为 (x)|(x)|a|fabcabc=+-=+当且仅当 ab-时，等号成立又 0,，所以 |,所以 ()f的最小值为 ,所以 c4+= 5 分()由(1) 知 ab，由柯西不等式得()()22221912+311649abccabc=+,即 2287ab+.当且仅当13c=,即 182,7abc=时，等号成立所以 2249ab+的最小值为 .10 分
