线性代数试题15套.doc

1、线性代数试题 (一)一、 填空（每题 2 分，共 20 分）1. N (n12(n-1)= 。 2. 设 D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则 D= 。3. 关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件是 ，结论是 。 4. n 阶矩阵 A 可逆的充要条件是 ，设 A*为 A 的伴随矩阵，则 A-1= 。5. 若 n 阶矩阵满足 A2-2A-4I=0,则 A-1= 。6.43121= ， 43214= 。7. 设向量组 321,线性相关，则向量组 321,一定线性 。8. 设 A 三阶矩阵，若 A=3，则1= ,*A= 。 9. n 阶可逆矩阵 A 的列向

2、量组为 n,21，则 r( n,21)= 。10.非齐次线性方程组 A nmX=b 有解的充要条件是 。二、单项选择题（10 分，每题 2 分）1 12k0的充要条件是（ ） 。（a） k （ b） k 3（c） k 3,1k且 （d）k 3,1k或2. A,B,C 为 n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ）(a) AB=BA (b) AB=0,则 A=0 或 B=0 (c) （ A+B） （ A-B） =A2-B2 d) AC=BC 且 C 可逆,则 A=B3. 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ）(a) ,0 (b) 10(c) r(A)=n (d) A 的行向量组线性相关

3、4. 设矩阵 A=(aij) nm， AX=0 仅有零解的充要条件是（ ）(a)A 的行向量组线性无关(b)A 的行向量组线性相关(c)A 的列向量组线性无关(d)A 的列向量组线性相关5. 向量组 s,21的秩为 r,则下述说法不正确的是（ ）(a) s,中至少有一个 r 个向量的部分组线性无关(b) 21中任何 r 个向量的线性无关部分组与 s,21可互相线性表示(c) s,21中 r 个向量的部分组皆线性无关(d) 中 r+1 个向量的部分组皆线性相关三、判断题（正确的划，错误的划 ，共 10 分，每题 2 分）15 级排列 41253 是一个奇排列。 （ ）2 A 为任意的 m n矩阵

4、, 则 ATA, AAT都是对称矩阵。 （ ）3 s,21线性无关，则其中的任意一个部分组都线性无关。 （ ）4行列式 01=-1 （ ）5若两个向量组可互相线性表示，则它们的秩相等。 （ ）四、计算 n 阶行列式（12 分） xaaxaa 2解矩阵方程 AX=A+X,其中 A= 1203(13 分) 注：A 不可逆，修改为21033求向量组 )1,32(),01(),24(1 ， )2,5(4的极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 （10 分）4用消元法解下列方程组。 （15 分）2120431431xx五、证明题 （从下列三题中任选两道, 每题 5 分，共 10 分）1设向

5、量组 3,21线性无关，证明 1, 2, 321也线性无关。 （5 分）2已知向量组 ,线性无关，而向量组 ,线性相关，试证明：（1）向量 一定可由向量组 ,线性表示；（2）表示法是唯一的。 （5 分）3 A,B 是同阶对称矩阵，证明：AB 为对称矩阵的充要条件是 A 与 B 可交换。（5 分）线性代数试题(一)答案一(1). 2)1(n (2). 12(3). 线性方程组的系数行列式 0D；方程组有唯一解且 DxJj(4). 0A；*1(5). )2(41IA(6). 30，1628493(7). 相关 (8). 3, 9 (9). n (10). Arbr二(1)C (2)D (3)D (

6、4)C (5)C 三(1)(2)(3)(4)(5)四. (1). 1)()1(naxnx(2). 21043X(3).极大线性无关组为 21, 4213;(4) 全部解为： TTTcc1,0,01,0,2, 2(c1 ,c2为任意常数)五略线性代数试题（二）一、 填空（每题 2 分，共 20 分） 1. 设 D 为一个四阶行列式，第三行元素分别为-1，2，0，1，其余子式分别为5，3，-7 ，4，则 D= 。2. 2. k 时，齐次线性方程组 0321kx仅有零解。 3. 3. 如果 D= 32311a=1,则 D1= 323214aa= 。4. 4. n 阶矩阵 A= na2可逆的充要条件是

7、 ，且其逆矩阵 A-1= 。5. 5. 43211= ， 43214= 。6. 6. 设向量组 21,线性无关，向量组 321,线性相关，则向量 3一定可由 。7. 7. 设 A 三阶矩阵，若 A=3，则 *= ,又若 r(A)=1,则 r(A*)= 。 8. 8. n 阶可逆矩阵 A 的行向量组为 n,21，则 r( n,21)= 。9. 9. 若 n 阶矩阵 A 满足 A2=0,则 A 的特征值为 。10. 10. 若 Q 为正交矩阵，则 Q-1= 。二、单项选择题（10 分，每题 2 分）1.设 A 为 n 阶矩阵，且 ，则行列式 的值为（ ） 。(a) 2 (b) 4 (c) 2 1n

8、 (d) 2 n2. A,B,C 为 n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ）(a) AB=BA (b) AB=0,则 A=0 或 B=0 (c) （ A+B） （ A-B） =A2-B2 d) AC=BC 且 C 可逆,则 A=B3. 若 n 阶矩阵 A 满足 A2-A-3I=0,，则 A （ ）(a) (a) 不可逆(b) (b) 可逆，且 A-1=A-I (c) (c) 可逆，且 A-1= 31(A-I)(d) (d) 以上结论都不对4. 设矩阵 A=(aij) nm，AX=0 仅有零解的充要条件是（ ）(e) (a) A 的行向量组线性无关(f) (b) A 的行向量组线性相关(g) (c

9、) A 的列向量组线性无关(h) (d) A 的列向量组线性相关5. 下述命题正确的是（ ）(a) (a) 一个特征值只对应一个特征向量(b) (b) 一个特征向量只对应一个特征值(c) (c) 一个 n 阶矩阵必有 n 个不同的特征值(d) (d) 一个 n 阶矩阵必有 n 个线性无关的特征向量三、判断题（正确的划，错误的划 ，共 10 分，每题 2 分）61如果 A 与 B 相似，则 BIAI。 （ ）72A,B 为对称矩阵，则 A+B 仍为对称矩阵。 （ ）83 s,21线性相关，则其中的任意一个部分组都线性相关。 （ ）94n 阶方阵 A 与对角阵相似的充要条件是 A 有 n 个线性无

10、关的特征向量。 （ ）10 5Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解。 （ ）四、计算题1.计算 n 阶行列式（10 分）baabaa 2设矩阵 A,B 满足关系式 AB=A+2B,其中 A= 4013,求矩阵 B。(10 分)3判断向量组 ),312,(1),210(26,12),3(是否线性相关，若相关，求一组相关系数。(10 分)4用基础解系表示下列齐次线性方程组的全部解。 （10 分）024321xx5. 若实对称矩阵 A= 1，求正交阵 Q,使 Q-1AQ 为对角矩阵。 （10 分）五、证明题 (从下列四题中任选两道。)（10 分）1 1 设 为方阵 A 的特征值，则 2为 A2

11、-A 的特征值。 （5 分）22设 为 n 维列向量，A 为 n 阶正交矩阵，证明： 。 （5 分）33设 21,分别是 A 的不同特征值 21,的特征向量，试证明：21不是 A 的特征向量。 （5 分）44A,B 是同阶对称矩阵，证明：AB 为对称矩阵的充要条件是 A 与 B可交换。 （5 分）线性代数试题（二）答案一 (1). 15 (2). 1，-2 (3). -12 (4) 021na. naa112(5). 30 1628493(6). 线 性 表 出21,(7) 9, 0 (8) n (9) 0 (10) TQ 二(1)C (2)A (3)C (4)C (5)B三(1). (2)

12、(3) (4). (5) 四(1) 1)()1(nabnb (2) 2013B(3) 线性相关， 243(4) TTcc)()0(1 (5) 36031263Q, 031AQ五略线性代数试题（三）一、 填空（每空 2 分，共 20 分） 1关于线性方程组的克莱姆法则的条件是 ，结论是。2设三阶行列式 )3,21,()jiaDj中元素 jia的代数余子式 jiA，则当 k_时， 03231kkkAaAa。3. 设 D 为一个四阶行列式，第三行元素分别为-1，2，0，1，其余子式分别为5，3，-7 ，4，则 D= 。4、设方阵 A 满足 ,0232E则 1A 。5、设 为 矩阵，且 )(r2， 3

13、012B，则 )(ABr_。6、设 A 三阶矩阵，若 A=3，则 *= ,又若 r(A)=1,则 r(A*)= 。 7、n 阶可逆矩阵 A 的行向量组为 n,21，则 r( n,21)= 。8、若 维单位向量 n,21 可由 维向量组 s 线性表示，则 n与s的大小关系是_ ， ),(21sr _ 。二、单项选择题（10 分，每题 2 分）1. 设 CBA,为 n阶矩阵，且满足 IABC，则下列正确的是_ 。A I； B I； C IA； D ICBA。2关于 阶方阵 ，下列说法正确的是_ 。A 02，则 A; B若 ,YX且 0，则 YX;C若 ，则 0或 I; D、若 可逆，则 的任一特征

14、值不为零。3、设 A 为 n 阶矩阵，且 2A，则行列式 A2的值为（ ） 。(a) 2 (b) 4 (c) 2 1n (d) 2 n4. A,B,C 为 n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ）(a) AB=BA (b) AB=0,则 A=0 或 B=0 (c) （ A+B） （ A-B） =A2-B2 d) AC=BC 且 C 可逆,则 A=B5. 若 n 阶矩阵 A 满足 A2-A-3I=0,，则 A （ ）(e) (a) 不可逆(f) (b) 可逆，且 A-1=A-I (g) (c) 可逆，且 A-1= 31(A-I)(h) (d) 以上结论都不对三、计算题（60 分）1、计算 4 阶行列

15、式 1502334.2、计算 n 阶行列式 11021 naa3设矩阵 A,B 满足关系式 AB=A+2B,其中 A= 4013,求矩阵 B。4判断向量组 ),312,(),210(2)62(),3(是否线性相关，若相关，求一组相关系数。5用基础解系表示下列齐次线性方程组的全部解。 6. 若实对称矩阵 A= 1，求正交阵 Q,使 Q-1AQ 为对角矩阵。 四、证明题（10 分）设 n阶矩阵 BA,相似，对任意非负整数 k，试证 kA B。线性代数试题（三）答案一(1).线性方程组的系数行列式 0D；方程组有唯一解且 DxJj(2).1 或 2 (3). -15 (4). )3(21EA(5).

16、 2 (6). 9；0(7) n (8).ns；n 二(1)A (2)D (3)C (4)D (5)C 024321xx三(1) -270 (2) nna21)(3) 0123B(4)线性相关且 04321 (5) TTcc11 ( 2,c为任意数)(6) 36031263Q, 031AQ四略线性代数试题（四）一、 一、 填空题（每空 2 分，共 30 分）1、设 2kD，则 或 k 时， D0。2、在四阶行列式 ija中，元素 2a413的前面应冠以 号。3、行列式 140中，元素 3 的余子式是 ，元素 4 的代数余子式是 。4、设四阶行列式 D2，现用 3 乘所有的元素，再用（-2）乘第

17、 1 列加到第 4列，再转置，然后交换其第二行与第三行，最后用（-3）去除第一行各元素，其结果为 。5、设 A为 3 阶方阵， 3A，则 A2 ，1。6、含有零向量的向量组一定线性 关，一个非零向量一定线性 关。7、一个向量组的任意两个极大无关组含 的向量。8、设向量组 m21,线性无关，则秩 ),(21m 。9、设naaA2， nii2,10，则 1A 。10、设 与 B为 阶方阵，则 BA= ，A= 。二、计算以下行列式（每小题 6 分，共 12 分）1、 1、 计算 210342D。2、 2、 计算 n阶行列式 ybbybbDn 。三、 三、 要求计算以下各题（每小题 6 分，共 24

18、分）1、 1、 设 2134A， 1032B，求 AB。2、 2、 利用初等行变换，求方阵 01的逆方阵。3、 3、 判断向量 5,1是否是向量组3,1， 402， 6,323的线性组合。4、 4、 求向量组 ,1，24,12 ， 8,1,43的秩，并判断它们是线性相关还是线性无关。四、证明题（每小题 6 分，共 12 分）1、设向量组 1、 2、 3线性无关， ， 321，求证：向量组 1、 2、 3线性无关。2、设 A与 B是同阶可逆矩阵，试证 1AB。五、 五、 设非齐次线性方程组042131057631xx试用其一个特解和导出组的基础解系来表示其全部解。 （12 分）六、 六、 求矩阵

19、 A= 231的特征值和特征向量，矩阵 A是否可以对角化？若可以对角化，求出相应的可逆矩阵 P及对角形矩阵 ，使 P1。 （10 分）线性代数试题（四）答案一(1). 0；1 (2). 负 (3).-6；3 (4). 54 (5)24； (6). 相；无 (7) 个数相同 (8) =(9) naa112(10) 22BA； 2BA二(1) -2 (2) 1)()(nbyy 三(1) 17058AB(2) 101A(3) 是 (4) 2,32r ，线性相关 四略。五全部解为： 012,3,01,2cT (c 为任意数)六可对角化， P； 41AP线性代数试题（五）一、填空（30 分）：1关于线性

20、方程组的克莱姆法则的条件是_结论是_2设三阶行列式 2D，先交换 1、2 两行；再转置；再将所有元素都变号 ；将第 2 列乘以 3 后加至第 1 列，最后第 3 行乘以 4,最后结果为_。3 n级排列 )( 的逆序数 )21(nN _ 。4设 A为三阶矩阵，若 2A，则*_，*_，1)3(_； )(Ar_， )(*Ar_。5若齐次线性方程组 0XAnm的基础解系由 1 个解向量组成，则)(Ar_。6设 Q是正交矩阵，则 Q_ 。7若向量组 s,21 线性无关，则其任意部分组_ 。8 n阶可逆矩阵 A的行向量组为 n,21 ，则 ),(21nr _ 。9 设 I62，则 1_。10. 设 m个方

21、程 n个未知量组成的线性齐次方程组 BAX，当_时，方程组有无穷多解。二、选择题（10 分，每题 2 分）：11设 CBA,为 n阶矩阵，且满足 IBC，则下列正确的是_ 。A I； B I； C A； D ICBA。2 21,都是 n 阶矩阵 A 的特征值， 21，且 1x与 2分别是对应于 1与的特征向量，当( )时， kx必是 A 的特征向量。A. 021k且 B. 021k且 C. 021k而 D. 021k3关于 n阶方阵 A，下列说法正确的是_ 。A若 2，则 ; B若 ,AYX且 ，则 YX;C若 ，则 0或 I; D若 ,YX且 nr)(，则 。4设 n阶矩阵 A相似，则_ 。

22、A BII； B A,都为可逆矩阵；C ,有相同的特征向量； D 的秩相等。5则下列说法不正确的是_ 。 A 1n个 维向量构成的向量组一定线性相关； B n维单位向量组线性无关 C设 B,为 阶矩阵，若 BA,的特征值相同，则 A,的特征向量也相同D 21线性相关的充要条件是对应分量成比例。三、按要求作下列各题（54 分）：1 D求,1502334； 2 012A，求逆矩阵3求下列向量组的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。 ),32(,),(,)(,)( 4321 。4判断下列方程组是否有解？如果有，用一个特解（固定解）与导出方程组的基础解系来表示。089543121xx5

23、求以下方阵 A的特征值、特征向量以及可逆方阵 P使 A1为对角形方阵。1204四若 n阶方阵 A可逆，问 k是否可逆？若可逆，其逆方阵是什么？试证明之。(8 分)线性代数试题（五）答案一(1).线性方程组的系数行列式 0D；方程组有唯一解且 DxJj(2).8 (3). 2)1(n(4). 4, 541,3,3 (5). n-1 (6). 1(7). 线性无关 (8).n (9). )(6IA(10). nArBr二(1)A (2)C (3)D (4)D (5)C三(1) -135 (2) 04121A(3)极大无关组为： 1,， 214213,(4)有解，全部解为： TTT cc ,047,

24、30,20,41,5 21(其中 21,c 为任意数)(5) 特征值为：2， 253i（此题是否有问题？）四可逆，逆矩阵为：1Ak。线性代数试题(六)一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题 2 分，共 20 分)1. 设行列式 D= 1043k=0，则 k=( ).A. 3 或 1 B. 2 或 1 C. 2 或 3 D. 3 或-22. 若 A 时（ ） ，则 A 必为方阵.A.分块矩阵 B. 可逆矩阵 C. 转置矩阵 D.线性方程组的系数矩阵3. 设 A、B 均为 n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( ).A. AB=BA B.

25、(AB)T=BTAT C. (A+B)2=A2+2AB+B2 D. (A+B)(A-B)=A2-B24. A 为 n 阶方阵，下面各项正确的是( ).A. |-A|=-|A| B. 若|A|0,则 AX=0 有非零解C. 若 A2=A,则 A=E D. 若秩(A)k B. 秩(A)k C. 秩(A)=k D. 秩(A)k6. 设 A、B 为同阶方阵，则下面各项正确的是( ).A. 若|AB|=0， 则|A|=0 或|B|=0 B. 若 AB=0, 则 A=0 或 B=0C. A2-B2=(A-B)(A+B) D. 若 A、B 均可逆，则(AB) -1=A-1B-17. 当 k 满足( )时，

26、0z2y-kx 只有零解.A. k=2 或 k=-2 B. k2 C. k2 D. k2 且k28. 设 A 为 n 阶可逆阵，则下列( )恒成立.A.(2A)-1=2A-1 B. (2A-1)T=(2AT)-1C. (A -1)-1 T=(A T)-1 -1 D. (A T)T -1=(A -1)-1 T9. 设 A 是 n 阶方阵，则 A 能与 n 阶对角阵相似的充要条件是( ).A. A 是对角阵 B. A 有 n 个互不相同的特征向量C. A 有 n 个线性无关的特征向量 D. A 有 n 个互不相同的特征值10. 向量组 s,21的秩为 r,则下述说法不正确的是（ ）(a) s,21

27、中至少有一个 r 个向量的部分组线性无关(b) 中任何 r 个向量的线性无关部分组与 s,21可互相线性表示(c) s,21中 r 个向量的部分组皆线性无关(d) 中 r+1 个向量的部分组皆线性相关二、填空题(每小题 2 分，共 20 分)1. N(3712456)=_.2. 行列式 163054中，元素 6 的余子式是_，元素-6 的代数余子式是_.3. n1=_.4. A 是 3 阶矩阵，且|A|=5,则|-A 2|=_.5. 若向量组 1, 2,， s线性无关,且可由向量组 1, 2,， t线性表出，则 s _ t.6. 已知 4 阶方阵 A 的秩为 2，则秩(A *)=_.7. A

28、为 n 阶方阵，若 Ax=0 有非零解，则 A 必有一个特征值为_.8. 设 n 阶方阵 A 的行列式|A|=2,则|A -1|2|A|=_.9. 3 阶方阵 A 的特征值分别为 3，-1，2，则 A-1的特征值为_.10. n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 可对角化的_条件.三、计算题(每小题 10 分，共 50 分)1. 计算 4 阶行列式 1502334.2. 已知 B 满足 A2B+2A=4A2,其中 A= 4102,求 B.3. 求向量组 1=(1,1,3,1), 2=(-1,1,-1,3), 3=(5,-2,8,-9), 4=(-1,3,1,7)的一个极大无关组，并将

29、其余向量用该极大无关组线性表出.4. 设非齐次线性方程组2120431431xx试用其一个特解和导出组的基础解系来表示其全部解. 5. 12A求 A 的特征值及对应的特征向量. 四、证明题(每小题 5 分，共 10 分)1. 设 为 n 维列向量，A 为 n 阶正交矩阵，证明： A。2. 设 A 为 n 阶方阵， 1, 2是 A 的两个不同的特征值，而 1, 2是分别对应于 1, 2的特征向量，证明 1, 2线性无关.线性代数试题(六)答案一(1)A (2)B (3)B (4)D (5)B(6)A (7)D (8)C (9)C (10)C二(1). 7 (2) 0 ，29 (3) 12n(4)

30、.-25 (5) (6) 0 (7) 0 (8) (9) ,3 (10) 充分三(1) 270 (2) 402(3) 极大线性无关组为 21,， 214213,7(4) 全部解为：TTTcc1,0,01,0,21, 2(c1 ,c2为任意常数)(5) 特征值为 51， 32。51对应的特征向量为： Tc1,(c0)32,对应的特征向量为： Tc1,002(c1,c2不全为零)四略线性代数试题(七)一、一、填空题（每空 2 分，共 20 分）1、行列式10D= 。2、设 54213415a是五阶行列式 ija的一项，该项的符号为 。3、设 ijA是 n阶行列式 ijD中的元素 ij的代数余子式且

31、 lk，则 nslskAa1。4、设 为五阶矩阵，若 kA，则 。5、若三阶矩阵 的伴随矩阵为 *，已知 ,2A则 1)3(， *A。6、设 A与 B为同阶方阵，则 )(22BB 。7、若向量组 s,21 的秩为 ，则该向量组必定线性 。8、若 为四阶矩阵 A的一个特征值，且 0A，则秩 )(AIr 4，且1是矩阵 的一个特征值。二、判断题（每小题 1 分，共 10 分）1、每行元素之和为零的 n阶行列式的值一定等于零。 （ ）2、若 n阶矩阵 A的伴随矩阵为 *A， k为任一非零常数，则 kA的伴随矩阵为.)(*k（ ）3、向量组 s,21 线性相关的充要条件是其中任一向量都是其余向量的线性

32、组合。（ ）4、将 4 5矩阵按标准形可以分成 5 类。 （ ）5、齐次线性方程组 OAX是线性方程组 bAX的导出组，则当 OAX只有零解时， b有唯一解。 （ ）6、若向量 和 正交，则 和 中至少有一个是零向量。 （ ）7、若矩阵 A与 B相似，则它们的秩相等，即 ).(BrA （ ）8、若矩阵 满足 T，则 A的主对角线上的元素全为零。 （ ）9、初等矩阵是指对单位矩阵施行初等变换所得到的矩阵。 （ ）10、任意 n阶矩阵 A都与某一约当矩阵 J相似。 （ ） 三、单项选择题（将正确答案的序号填在括号内，每小题 2 分，共 10 分） 1、已知四阶行列式 D，其第 2 列元素依次为 1

33、，3，-2，2，它们的余子式分别为 3，-2，1，1，则行列式 =（ ）)(A-5 )(B-3 )(C5 )(D32、设 BA,为 n阶矩阵，下列结论中正确的是（ ）)(22)；若 ,都可逆，则 BA也可逆；C若 可逆，且 O，则 ;)(DTT.3、设 A是任一 nm矩阵，以下矩阵（ ）必为 n阶对称矩阵。)(T； )(BTA； )(CTA； )(D.AT4、向量组 )3,61,32,1(,12的秩为（ ）)(3 )(1 )(2 (05、若 21,是线性方程组 bX的两个解向量，则（ ）必为其导出组OAX的解。 )(213； )(B21； )(C21； )(D以上答案都不对。四、计算题（每小题

34、 6 分，共 30 分）1、1、计算 n阶行列式 1221 D=2、2、设矩阵,10,31,32CBA计算行列式 .3CAB3、3、利用初等变换法求矩阵 523A的逆矩阵。 4、4、判断向量组 )1,3,4(),1,(),51,2( 321 是否线性相关。5、5、求矩阵 3A的特征值，并判断（不必求特征向量）其是否可以对角化，若可以对角化，试写出与其相似的对角形矩阵 的可能形式。五、应用题（每小题 10，共 20 分）1、1、求向量组 )2,53(),12(),01(),24( 431 的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。2、设有非齐次线性方程组 8432154051xxx试

35、用其一个特解和其导出组的基础解系表示其全部解。六、证明题（从以下两题中，任选一题，10 分）1、设向量组 321,线性无关， 133221, ，求证：向量组 ,线性无关。2、试证： n阶矩阵 A是奇异矩阵的充要条件是 A有一个特征值为零。1、1、证明：如果 ，利用线性无关的定义推出 321,k全为零即可。2、2、提示：利用 n阶矩阵 的行列式的值等于其特征值之积即可。线性代数试题(七)答案一(1). -1 (2). 负 (3). 0 (4). 6k (5). 541, 4 (6).BA-AB(7) 无关 (8).小于, 1A 二(1). (2) (3) (4). (5) (6) (7) (8)

36、 (9) (10)三(1)A (2)C (3)D (4)A (5)B四(1) )12()n (2) 144(3) 72051A(4)是 （5）特征值为-2,4；可以对角化；与其相似的对角矩阵为242或。五1.(1) 一个极大无关组为 21,(2) .,1423(注意：答案不唯一)2.特解为 T0,43,1基础解系为： T1,205,22全部解为： 为 任 意 数 ）11(cc六略线性代数试题（八）一、 填空（每题 2 分，共 20 分）1 1 设 D 为一个三阶行列式 ，第三行元素分别为-2，3，1，其余子式分别为 9，6，24，则 D= 。2 2 关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件是 ，结

37、论是 。 3 3 n 阶矩阵 A 可逆的充要条件是 ，设 A*为 A 的伴随矩阵，则 A-1= 。4 4 若 n 阶矩阵满足 A2-2A-4I=0,则( A+I)-1= 。5 5 43121= ， 43214= 。6 6 设向量组 321,线性相关，则向量组 321,一定线性 。7 7 设 A 三阶矩阵，若 A=3,则*= ,又若 r(A)=3,则 r(A*)= 。8 8 n 阶可逆矩阵 A 的列向量组为 n,21，则 r( n21)= 。9 9 齐次线性方程组 A nmX=0 有非零解的充要条件是 。10 10 A,B 为同阶方阵，则 （ A+B） （ A-B） =A2-B2成立的充要条件是

38、 。二、单向选择题（10 分，每题 2 分）1 12k0的充要条件是（ ） 。（a） k （ b） k 3（c） k 3,1k且 （d）k 3,1k或2. A,B,C 为 n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ）(a) AB=BA (b) AB=0,则 A=0 或 B=0 (c) （ A+B） （ A-B） =A2-B2 (d) AC=BC 且 C 可逆,则 A=B3. 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ）(a) ,0 (b) 10(c) r(A)=n (d) A 的行向量组线性相关4. 设矩阵 A=(aij) nm， AX=0 仅有零解的充要条件是（ ）(i)(a)A 的行向量

39、组线性无关(j)(b)A 的行向量组线性相关(k)(c)A 的列向量组线性无关(l)(d)A 的列向量组线性相关5. 向量组 s,21的秩为 r,则下述说法不正确的是（ ）(a) s,中至少有一个 r 个向量的部分组线性无关(b) 21中任何 r 个向量的线性无关部分组与 s,21可互相线性表示(c) s,中 r 个向量的部分组皆线性无关(d) 21中 r+1 个向量的部分组皆线性相关三、判断题（正确的划，错误的划 ，共 10 分，每题 2 分）11 15 级排列 41253 是一个奇排列。 （ ）12 2 A 为任意的 m n矩阵, 则 ATA, AAT都是对称矩阵。 （ ）13 3 s,2

40、线性无关，则其中的任意一个部分组都线性无关。 （ ）14 4行列式 01=-1 （ ）15 5n+1 个 n 维向量必线性相关。 （ ）四、计算题 （50 分）1计算 n 阶行列式（12 分）baabaa 2 解矩阵方程 AX=A+X,其中 A= 1203(15 分)3 设向量组 ,),(),0(321 bacba线性无关，则 a， b， c 应满足什么条件？（10 分）4 用消元法解下列方程组。 （13 分）2120431431xx五、证明题 (从下列三题中任选两道)（10 分）1设向量组 3,1线性无关，证明 1, 2, 321也线性无关。 （5 分）2已知向量组 ,线性无关，而向量组 ,

41、线性相关，试证明：（1）向量 一定可由向量组 ,线性表示；（2）表示法是唯一的。 （5 分）3. A,B 是同阶对称矩阵，证明：AB 为对称矩阵的充要条件是 A 与 B 可交换。（5 分）线性代数试题（八）答案一、 填空（每题 2 分，共 20 分）1.-12 2. 线性方程组系数行列式 D，有且仅有唯一解. 3.|A|0; A*/|A| 4.A-3I 5.30; 16284936.相关 7.9;3 8.n 9. r(A)n 10.AB=BA二、单向选择题（10 分，每题 2 分）1.c 2.d 3.d 4.c 5.c三、判断题（正确的划，错误的划 ，共 10 分，每题 2 分）1. 2. 3. 4. 5. 四、计算题 （50 分）1 （12 分）D n=(b+(n-1)a)(b-a)n-1. 2. (15 分) A= 12340963. （10 分） abc0 4. （13 分） 24312cxcx其中 c1,c2为任意常数.五、证明题 (从下列三题中任选两道)（10 分）1. 证明: 3213210. 故 r(1, 1+2, 1+2+3)=r(1,2, 3), 所以 1, 1+2, 1+2+3线性无关. 2. 证明:因为向量组