1、八年级数学竞赛第五讲 龙川学校1八年级数学竞赛第五讲 三角形的边角关系 龙川学校 陈艾虎三角形边角性质主要的有：1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和用式子表示如下：a，b，c 是ABC 的边长 .bacbac推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和.2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于 180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和推广到任意凸多边形：凸四边形内角和=2180 ， 凸五边形内角和=3180 凸六边形内角和=4180 凸 n 边形内角和=(
2、n2) 1803. 边与角的关系 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边 在直角三角形中，ABC 中， (勾股定理及逆定理)90C22cbaABC 中 ， abc=1 2.3A3ABC 中， abc=11 .45902例 1. 如图若以 AB 和 CD 分别绕着点 B 和点 C 旋转，使点 AyzCDxyBxA,和 D 重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？ , , 2z22z例 2 1988 年泉州市初二数学双基赛题 要使三条线段 能组成一个三aa12,43角形求 的取值范围.a八年级数学竞赛第五讲 龙川学校2例 3已知ABC 的三边都是正整数， 符合条件的三角形共
3、有几个？试写,5cab出它们的边长.例 41989 年泉州市初二数学双基赛题 ABC 中，AB C，2C=5A，求B 的取值范围.例 5. 在凸四边形 ABCD 中，ABBCCD，A ：B ：C1：1：2 .求各内角的度数.例 6. 如图所示：求 54321的度数.习题（五）1. ABC 中， ,则第三边 c 和第三边上的高 h 的取值范围是_.75ba2. 是ABC 的三边长，化简 得_.cb, 22)()(cbaba3. 已知ABC 的两边长 ,则这个三角形的周长 L 的取值范是和_.4. 1987 年全国初中数学联赛题 三边长是连续正整数，周长不超过 100 的三角形共有八年级数学竞赛第
4、五讲 龙川学校3_个，按边长的数字写出这些三角形_.（按由小到大的顺序排列，可用省略号）5. 各边都是整数且周长小于 13，符合条件的 不等边三角形有_个，它们的边长是：_； 等腰三角形有_个，它们的边长是：_.6. 如果等腰三角形的周长为 S，那么腰长 X 的适合范围是_.7. 四边形 ABCD 中，AB 2，BC4，CD7，边 AD 的适合范围是_.8. 1986 年泉州市初二数学双基赛题 三角形不同顶点的三个外角中至少有 _个钝角.9. 1987 年泉州市初二数学双基赛题 ABC 中， ,那么C 的度数是范围cba_.10. ABC 中，C 、B 的平分线相交于 O，BOC 120 ，则
5、A_.11. 1986 年泉州市初二数学双基赛题ABC 中，ABAC，A40 ，点 D，E，F 分别在 BC，AC，AB 上，CEBD，BF DC，则EDF _12若一个三角形的周长为 ，问三角形的最大边长度在什么范围变化？p13江苏省第十九届初中数学竞赛初三年级第 2 试试题 设一个三角形的三边长为正整数，其中 .则对于给定的边长 ，所有这样的三角形的个数是（ ）,anbnan（A） （B） （C） （D ）121()数学大师丘成桐 （百度百科）想 起 数 学 家 ， 我 们 自 然 会 想 起 国 际 数 学 界 的 泰 斗 、 2002 年 国 际 数 学 家 大 会 名 誉主 席 陈
6、省 身 先 生 ， 他 一 生 不 仅 在 几 何 学 上 取 得 巨 大 的 成 就 ， 还 为 祖 国 培 养 了 很 多 世 界级 的 数 学 家 ， 吴 文 俊 是 其 中 一 位 ， 而 我 们 今 天 要 介 绍 的 这 位 梅 州 人 则 是 他 的 另 一 位 高徒 ， 他 于 1983 年 获 得 菲 尔 兹 奖 ,这 是 世 界 数 学 领 域 的 诺 贝 尔 奖 ,直 到 今 天 ,他 还 是 华 人中 第 一 位 的 获 奖 者 （ 2006 年 陶 哲 轩 成 为 第 二 位 华 人 获 得 者 ） ， 这 个 殊 荣 就 连 陈 大 师 都没 有 获 得 过 ， 他
7、 就 是 丘 成 桐 。他 26 岁 便 登 峰 造 极 ， 成 就 了 一 生 的 辉 煌 。 丘 教 授 最 重 要 的 工 作 是 在 26 岁 之 前就 完 成 了 。 40 年 来 他 对 数 学 永 不 停 歇 的 追 求 ， 让 他 的 名 字 在 几 何 、 拓 扑 和 理 论 物 理学 界 几 乎 无 处 不 在 。 国 外 一 个 很 有 名 的 数 学 家 劳 森 说 ， 他 和 丘 教 授 合 作 的 时 候 ， 丘 教授 还 没 毕 业 ， 但 当 时 他 就 感 觉 到 这 个 年 轻 人 的 名 字 将 会 在 几 何 领 域 里 处 处 稠 密 ， 但 他 没有
8、 想 到 如 今 这 个 名 字 在 理 论 物 理 界 也 是 处 处 稠 密 。 大 家 应 该 有 稠 密 这 个 概 念 ， 就 是 说 总是 能 听 到 看 到 这 个 名 字 ， 比 如 说 我 们 前 几 天 在 开 超 弦 大 会 ， 卡 拉 比 丘 流 形 ， 几乎 每 一 个 演 讲 里 都 会 提 到 这 个 名 词 。几 十 年 来 数 学 就 是 他 的 生 活 ， 他 的 娱 乐 、 他 的 生 命 。 跟 他 在 一 起 很 累 ， 因 为 你 要 不停 地 跟 着 他 的 脑 子 想 数 学 。 与 他 相 处 ， 开 始 时 或 许 你 不 会 觉 得 他 有
9、 任 何 过 人 之 处 ， 大 家八年级数学竞赛第五讲 龙川学校4看 他 也 许 普 普 通 通 ， 甚 至 连 普 通 话 都 讲 得 不 是 很 清 楚 。 但 在 讨 论 问 题 的 时 候 ， 他 直 达 难题 本 质 的 气 魄 ， 只 能 是 天 生 才 有 ， 我 觉 得 这 是 天 生 的 大 气 魄 。 因 为 解 决 问 题 时 ， 我 们 有时 总 想 耍 一 点 小 技 巧 ， 可 他 碰 到 难 题 就 是 硬 要 把 它 砸 开 。 有 人 称 他 是 数 学 界 的 “凯 撒大 帝 ”.他 似 乎 是 为 数 学 而 生 ， 数 学 因 他 变 得 更 精 彩
10、， 他 做 人 、 做 事 、 做 学 问 ， 都 有 一 种 大开 大 合 ， 征 服 一 切 的 勇 气 ， 在 数 学 内 外 他 都 有 着 无 与 伦 比 的 影 响 力 和 感 染 力 。 我 们 开 一些 大 会 ， 或 者 是 我 们 研 究 中 心 希 望 请 大 师 来 讲 学 ， 甚 至 是 长 期 讲 学 ， 没 有 他 出 面 ， 这些 人 可 能 不 来 ， 他 一 出 面 这 些 人 可 以 自 己 掏 机 票 来 。 这 一 方 面 是 面 子 ， 另 一 方 面 就 是 他的 影 响 力 。人 物 背 景丘 成 桐 1949 年 出 生 于 广 东 汕 头 ,
11、老 家 在 梅 州 蕉 岭 ， 在 香 港 长 大 。 父 亲 曾 在 香 港 香让 学 院 及 香 港 中 文 大 学 的 前 身 崇 基 学 院 任 教 。 父 教 母 慈 ， 童 年 的 丘 成 桐 无 忧 无 虑 ， 成 绩优 异 。 但 在 他 14 岁 那 年 ， 父 亲 突 然 辞 世 ， 一 家 人 顿 时 失 去 经 济 来 源 。 尽 管 丘 成 桐 不 得不 一 边 打 工 一 边 学 习 ， 却 仍 然 以 优 异 成 绩 考 入 香 港 中 文 大 学 数 学 系 。他 的 父 亲 在 他 14 岁 时 去 世 ， 家 境 贫 寒 。 他 中 学 的 时 候 逃 学
12、一 年 ， 曾 经 成 绩 很 差 ，差 一 点 落 榜 。 19 岁 的 时 候 来 到 美 国 伯 克 利 ， “21 岁 毕 业 时 就 注 定 要 改 变 数 学 的 面 貌 ”。这 不 是 我 的 话 ， 这 是 几 年 前 加 州 大 学 洛 杉 矶 分 校 希 望 把 丘 教 授 聘 请 过 来 的 时 候 ， 系里 讨 论 时 一 个 年 纪 很 大 的 几 何 学 家 引 用 陈 省 身 先 生 说 的 一 句 话 。 他 10 年 之 后 成 为 数学 界 的 一 代 天 骄 。 从 他 入 学 伯 克 利 到 在 世 界 数 学 家 大 会 做 一 小 时 报 告 还 不
13、 到 10 年 。当 年 他 只 有 28 岁 ， 也 是 在 那 一 年 ， 陈 景 润 先 生 被 邀 请 做 45 分 钟 的 报 告 。 这 期 间 他证 明 了 卡 拉 比 猜 想 、 正 质 量 猜 想 ， 开 创 了 一 个 崭 新 的 领 域 ： 几 何 分 析 。1981 年 ， 他 32 岁 时 ， 获 得 了 美 国 数 学 会 的 维 布 伦 （ Veblen） 奖 这 是 世 界微 分 几 何 界 的 最 高 奖 项 之 一 ； 1983 年 ， 他 被 授 予 菲 尔 兹 （ Fields） 奖 章 这 是 世界 数 学 界 的 最 高 荣 誉 ； 1994 年 ，
14、 他 又 荣 获 了 克 劳 福 （ Crawford） 奖 。除 此 之 外 ， 他 还 获 得 过 美 国 国 家 科 学 奖 章 和 加 利 福 尼 亚 州 最 优 秀 的 科 学 家 的 称 号 ，是 美 国 科 学 院 院 士 、 哈 佛 大 学 名 誉 博 士 、 中 国 科 学 院 外 籍 院 士 、 香 港 中 文 大 学 名 誉博 士 大 学 期 间 ， 他 以 三 年 时 间 修 完 全 部 必 修 课 程 ， 还 阅 读 了 大 量 课 外 资 料 。 他 的 突 出 成绩 和 钻 研 精 神 为 当 时 的 美 籍 教 授 萨 拉 夫 所 赏 识 ， 萨 拉 夫 力 荐 他 到 美 国 加 利 福 尼 亚 大 学伯 克 利 分 校 攻 读 博 士 研 究 生 。 七 十 年 代 左 右 的 伯 克 利 分 校 是 世 界 微 分 几 何 的 中 心 ， 云 集了 许 多 优 秀 的 几 何 学 家 和 年 轻 学 者 。 在 这 里 ， 丘 成 桐 得 到 IBM 奖 学 金 ， 并 师 从 著 名微 分 几 何 学 家 陈 省 身 。
