1、1CBA斜 边 c 对 边 ab CBA(2)1353CBA(1)34 CBA赣州一中 20142015 学年度第一学期初三数学导学案 28.1 锐角三角函数（1）【学习目标】1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固 定这一事实，理解正弦（sinA）概念。 2、能根据正弦概念正确进行计算【学习重点】理解正弦（sinA）概念，能熟练求出一个锐角的正弦函数【学习难点】探究并掌握正弦函数的概念【学习过程】一、课前导学：学生自学课本第 61-63 页内容，并完成下列问题1、如图在 Rt ABC 中，C=90，A=30，BC=10m， 求 AB2、如图在 Rt ABC 中
2、，C=90，A=30，AB=20m， 求 BC3、问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管， 在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30，为使出水口的高度为 35m，那么需要准备多长的水管？思考 1：如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？ ；如果使出水口的高度为 a m，那么需要准备多长的水管？ ；结论：直角三角形中，30角的对边与斜边的比值 思考 2：在 Rt ABC 中，C=90，A=45，A 对边与斜边的比值是一个定值吗？ 如果是，是多少？结论：直角三角形中，45角的对边与斜边的比值 当A 取其他一定度数的
3、锐角时， 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画 RtABC 和 RtA BC ，使得C= C=90，A=A=a，那么BC与有什么关系你能解释一下吗？结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，A 的对边与斜边的比 二、合作、交流、展示1、正弦函数概念：规定：在 RtABC 中,C=90,A 的对边记作 a，B 的对边记作 b，C的对边记作 c在 Rt ABC 中，C=90 ，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦，记作 sinA，即 sinA= = ac sinA c的 对 边的 斜 边例如，当A=30时，我们有 sinA=sin30
4、= 当A=45 时，我们有 sinA=sin45= 2、如图，在 RtABC 中，C=90，求 sinA 和 sinB 的值3、巩固与应用：1如图，在直角ABC 中，C90 o，若 AB5，AC4，则 sinA（ ）A B C D35 45 34 432 在ABC 中，C=90，BC=2，sinA= ，则边 AC 的长是( )23A B3 C D 1343 53如图，已知点 P 的坐标是（a，b） ，则 sin 等于（ ）A B C 22.ab4、在三角形中，若 sinA= ，且B=90-A，则 sinB= （ ）1A B C D121235、如图，在矩形 ABCD 中，DE AC 于 E，设
5、 ADE= ，且 sin = ，AB=4,求 AD 的长。54四、小结：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，A 的对边与斜边的比都是 在 RtABC 中，C=90，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的 ， 记作 。C B A CBACBA2斜 边 c 对 边 ab CBA6CBA五、作业：必做：课本 P42 习题 T4,5,6； 选做：作业精编相应练习.赣州一中 20142015 学年度第一学期初三数学导学案 28.1 锐角三角函数（）【学习目标】1. 掌握锐角三角函数的概念，能利用锐角三角函数的定义求出锐角的正弦，余弦，正切值2.通过锐角三角函数的学习，进
6、一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力【学习重点】理解余弦、正切的概念【学习难点】熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算【学习过程】一、课前导学：学生自学课本第 64-65 页内容，并完成下列问题1、正弦的定义：在 RtABC 中，C=90，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的 ，记作 ，即 .2、如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于点 D。已知 AC= ，BC=2，那么5sinACD（ ）A B C D532523、如图，已知 AB 是O 的直径，点 C、D 在O 上，且 AB5，BC3则 sinBAC= ；sinAD
7、C= 4、 在 RtABC 中，C=90，当锐角 A 确定时，A 的对边与斜边的比是不变的 ，现在我们要问：A 的邻边与斜边的比呢？A 的对边与邻边的比呢？ 为什么？5、探究：一般地，当A 取其它一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？它的对边与邻边的比是否也是一个固定值与 有什么关系？ 与 呢？ABC BCA结论：类似于正弦的情况，如图在 RtBC 中，C=90，当锐角 A 的大小确定时，A 的邻边与斜边的比、A的对边与邻边的比也分别是确定的二、合作、交流、展示把A 的 与 的比叫做 A 的余弦，记作 cosA，即 cosA= A与= a；把A 的 与 的比叫做 A 的正切，
8、记作 tanA，即 tanA=与=ab例如，当A=30时，我们有 cosA=cos30=；当A=45时，我们有tanA=tan45= 例 2：如图，在 RtABC 中，C=90，BC=6 ，sinA= 35，求 cosA、tanB 的值4、巩固与应用：1.在 中，C90 ，a，b，c 分别是A、B 、C 的对边，则有（ ） A B C D 2. 在 中，C 90，如果 cos A= 那么 的值为（ ） 45A B C D35 54 34 433、如图：P 是 的边 OA 上一点，且 P 点的坐标为（3，4）， 则cos_. 4、如图，边长为 1 的小正方形网格中，O 的圆心在格点上，则AED
9、的余弦值是_.5、如图，在ABC 中，D 是 AB 的中点，DC AC,且,求 sinA、cosA、 的值。3tanBCAtan6 思考，你能利用下图求出 吗？15t四、小结：A BCDEOA BCD A的 邻 边 b A的 对 边 a斜 边 c CBA3斜 边 c 对 边 ab CBA CBACBA余弦和正切的定义五、作业：必做：课本 P65 练习； 选做：作业精编相应练习.赣州一中 20142015 学年度第一学期初三数学导学案 28. 锐角三角函数 （）【学习目标】1.能推导并熟记 30、45、60角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数.2.能熟练计算含有 30、45、60角的三
10、角函数的运算式.【学习重点】熟记 30、45、60角的三角函数值，能熟练计算含有 30、45、60角的三角函数的运算式.【学习难点】30、45、60角的三角函数值的推导过程,熟练应用值进行计算.【学习过程】一、课前导学：学生自学课本第 6567 页内容，并完成下列问题1在 RtBC 中，C=90，当锐角 A 的大小确定时，A 的对边与斜边的比、A 的邻边与斜边的比、A 的对边与邻边的比都是一个 的值，我们把它们分别叫做A 的正弦、余弦和正切，记作 sinA, cosA 和 tanA，即：sinA ； cosA ； tanA 2在 RtABC 中，C=90，sinA= 35，则 cosA 、ta
11、nA 。3 【探究】观察我们手中的两块三角板，你能分别求出 30、45、60的正弦值、余弦值和正切值吗？完成下表：4在ABC 中，A、B 都是锐角，且 sinA= ，cosB= ，则ABC 的形状是 .125. 求下列各式的值（1）sin30cos45+cos60; （2）2sin60 -2cos30sin45（3） 2cos60in;二、合作、交流、展示：1 【结论】熟记 30、45、60角的三角函数值2.【拓展】观察 30、60的三角函数值，你能发现什么结论，你能用三角函数的定义证明你的结论吗？【结论】3.例题 例 1：求下列各式的值（1）cos 260+sin260； （2） cos45
12、in-tan45；（3） sin45cos3026sin60（1-sin30）例 2：（1）如图（1） ，在 RtABC 中，C=90，AB= 6，BC= 3，求A 的度数 （2）如图（2） ，已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径 OB 的 倍，求 a三、巩固与应用：1下列各式中不正确的是（ ） Asin 260+cos260=1; Bsin30+cos30=1;Csin35=cos55; Dtan45sin452计算 2sin30-2cos60+tan45的结果是 3若A、B 都是锐角，且（ tanA-3） 2+2cosB- =0，则ABC 的形状是 3 34 RtABC 中，ACB=90
13、，CDAB 于 D，BC=3，AC=4，设BCD=a，则 tana的值为 5在ABC 中，三边之比为 a：b：c=1： ：2，则 sinA+cosA 等于 .6设 、 均为锐角，且 sin-cos=0，则 += _7在 RtABC 中，C=90，已知 tanB= ，则 cosA= _8sin 272+sin218的值是（ ） A1 B0 C D129当锐角 a60时，sina 的值（ ） 30 45 60siaAcosAtanA4bcBCaA bcBCaAA小于 B大于 C大于 D大于 112 1210已知 为锐角,且 cos ,则 的取值范围是（ ）A. 00 300; B. 60090 0
14、; C. 45060 0; D. 30045 0.四、小结：1. 30、45、60角的三角函数值； 2.同角的三角函数值的关系.五、作业：必做：课本 P69 习题 T3； 选做：作业精编相应练习.赣州一中 20142015 学年度第一学期初三数学导学案 28.解直角三角形【学习目标】1. 了解解直角三角形的定义.掌握直角三角形中(除直角外 )5个元素之间的关系,能利用它们解直角三角形【学习重点】利用直角三角形中(除直角外)5 个元素之间的关系解直角三角形 .【学习难点】灵活应用锐角三角函数解直角三角形.【学习过程】一、课前导学：学生自学课本第 72-73 页内容，并完成下列问题1解直角三角形的
15、定义:由直角三角形的_元素（至少有一个边） ，求出其余 元素的过程，叫做解直角三角形2. 【探究 】 ：直角三角形 ABC 中，C=90，a、b、c、A 、B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)三边之间关系 : （ 定理）;(2)两锐角之间关系: ;(3)边角之间的关系:sinA=_ cosA=_ tanA=_ sinB=_ cosB=_ tanB=_如果用 表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.sin=_ cos= _ tan=_3. 【探究 2】：在 R tABC 中， C =90o，a=5, b=12，解这个三角形4. 【探究 3】：在 R tABC 中， C =90o，A
16、=15o ,b=7，解这个三角形二、合作、交流、展示：1 【交流】解直角三角形，(除直角外) 还需要知道几个元素？.【交流】在 R tABC 中 ， C =90o ，根据表中的已知条件，你能快速想出解直角三角形的思路吗?与小伙伴交流!已知条件 求解过程a、ba、cA、cA、a3.例题: 在 RtABC 中，C =90 o ，B =35o，b=20 ，解这个三角形（结果保留小数点后一位）三、巩固与应用：1在ABC 中，C 为直角，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 b= 2，a= 6，则A= ，B= ，c= .2如图，钓鱼竿 AC 长 6m，露在水面上的鱼线 BC 长 m，某钓者想看看鱼
17、钓上的情况，把3鱼竿 AC 转动到 的位置，此时露在水面上的鱼线 为 ，CA CB3则鱼竿转过的角度是 ( )A60 B45 C15 D9053如图，某中学有一块三角 形状的花圃 ，现可直接测量到 ， ，ABC45B30C米请你求出这块花圃的面积 （结果可保留根号）来源:Zxxk.Com8AC四、小结： . 利用直角三角形中(除直角外)5 个元素之间的关系解直角三角形；.感悟方程思想与转化思想. 五、作业：必做：课本 P74 练习； 选做：作业精编相应练习.赣州一中 20142015 学年度第一学期初三数学导学案 28.2.2 解直角三角形应用举例（一）【学习目标】1、进一步巩固解直角三角形的
18、方法 2、能够运用三角函数的知识，解决视角相关的一些实际问题 3、通过把实际问题转化成解直角三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力【学习重点】能够运用三角函数的知识，解决视角相关的一些实际问题【学习难点】实际问题转化成解直角三角形的数学模型【学习过程】1、课前导学：预习课本第 74 页至第 75 页，完成下列问题:1、由直角三角形的_元素（至少有一个边） ，求出其余 元素的过程，叫做解直角三角 形2、直角三角形 ABC 中，C=90， a、 b、 c、A、B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)三边之间关系 : （ 定理）;(2)两锐角之间关系: ;(3)边角
19、之间的关系:sinA=_ cosA=_ tanA=_ sinB=_ cosB=_ tanB=_3、在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线的上方时，这个角是 ；当视线在水平线下方时，这个角是 。二、合作、交流、展示：【例 1】2003 年 10 月 15 日“神舟”5 号载人航天飞船发射成功当飞船完成变轨后，就在离地球表面 350km 的圆形轨道上运行如图，当飞船运行到地球表面上 P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与 P 点的距离是多少？（地球半径约为 6 400km，结果取整数）【例 2】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30，看这栋
20、高楼底部的俯 角为 60，热气球与高楼的水平距离为 120m，这栋高楼有多高（结果取整数）【归纳】利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案三、巩固与应用：1. 建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC40m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角 54，观察底部 B 的仰角为 45，求旗杆的高度（精确到 0.1m）.2. 如图，沿 AC 方向开山修路为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 AC 上
21、的一点B 取 ABD = 140， BD = 520m， D=50，那么开挖点 E 离 D 多远正好能使 A， C， E 成一直线。3、如图，线段 AB、 CD 表示甲、乙两幢楼的高从甲楼底部 B 处测得乙楼顶部 C 的仰角是 45，从乙楼顶部 C 处测得甲楼顶部 A 的俯角是 30.已知甲、 乙两楼间的距离 BD60m，求甲、乙两楼的高（精确到 1m） 。6四、小结：1、运用三角函数的知识，解决视角相关的一些实际问题；2、数学建模。五、作业：必做：课本第 78 页练习 T2、3； 选做：作业精编第 6162 页。赣州一中 20142015 学年度第一学期初三数学导学案 28.2.2 解直角三
22、角形应用举例（二）【学习目标】1、进一步巩固解直角三角形 2、能够运用三角函数的知识，解决与方位角、坡角等相关的一些实际问题 3、通过把实际问题转化成解直角三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力【学习重点】能够运用三角函数的知识，解决与方位角、坡角等相关的一些实际问题【学习难点】构造直角三角形，将实际问题转化成解直角三角形的数学模型【学习过程】2、课前导学：预习课本第 76 页至第 77 页，完成下列问题:1、方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 度的角，叫做 ；2、我们通常把坡面的 高度 和 宽度 的比叫做 （或坡比） ，一hl般用字母 表示，即
23、= = 。其中 是 与 的夹角，叫做坡角。iitan二、合作、交流、展示：【例 1】如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？【例 2】如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD（图中 i=1:3 是指坡面的铅直高度 DE 与水平宽度CE 的比） ，根据图中数据求：（1）坡角 a 和 ;（2）坝顶宽 AD 的长（精确到 0.1m）【归纳】 ；三、巩固与应用：7CBA4、如图，水库的横截面是梯形，坝高 23m，斜坡 AB 的坡高
24、度 ，斜坡 CD 的坡度i=1:1,求斜坡 AB 的长及坡角 a（精确到 0.1m）四、小结：1、运用三角函数的知识，解决与方位角、坡度相关的一些实际问题；2、数学建模。五、作业：必做：课本第 78 页练习 T5、7、9、10、11； 选做：作业精编第 6364 页。赣州一中 20142015 学年度第一学期初三数学导学案 28. 锐角三角函数单元复习 【学习目标】1理解并掌握正弦、余弦、正切的定义，并能熟练利用定义进行计算；2能熟练计算含有 30、45、60角的三角函数的运算式.3理解直角三角形中五个元素的关系，熟练运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，并能根据直
25、角三角形的知识解决实际问题；逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生用数学的意识4领悟数学来源于实践又服务于实践的观点，培养学生良好的学习习惯【学习重点】将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决【学习难点】正确熟练的将实际问题转化成数学模型.【学习过程】一、课前导学：学生复习课本，并完成下列问题1.知识结构：2. 三角函数值定义：我们把锐角A 的 与 的比叫做A 的正弦，记作 sinA，即 sinA= ； 把锐角A 的 与 的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即 cosA ；把锐角A 的 与 的比叫做A 的正切，记作 tanA，即 tanA
26、；2、三角函数值（1）特殊角的三角函数值 （2）锐角三角函数值的性质。增减性：在 时，正弦、正切值随着角 90度的增大而增大，余弦随着角度的增大而减当小。(3) 同角、互余角的三角函数关系：30 45 60siaAcosAtanA1:3i8同角三角函数关系： . ； 1cossin22Asintaco互余锐角的三角函数关系：当A+ B=90 时， ， 。)90s(siB )90sin(isABA3. 解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的 已知元素（其中至少有 条边） ，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型已知条件 解 法斜边 c 和锐角 A
27、一条边和一个锐角 直角边 a 和锐角 A两条直角边 a 和 b两条边直角边 a 和斜边 c4. 解直角三角形的应用：(1) 与仰角、俯角有关的实际问题；（2）与方位角有关的实际问题；(3) 与坡度、坡角有关的实际问题.二、合作、交流、展示：例题 1、(1)如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于点 D，AC= ，BC=2，那么 sinACD（ ）5(2)如图，已知 AB 是O 的直径，点 C、D 在O 上，且 AB5，BC3则 cosBAC= ；tanADC= (3) 已知：如图，在ABC 中，BAC120，AB10，AC 5则 sinACB 的值是 例题 2、已知:在 RtABC
28、中， C=90,AC=15, A 的平分线 AD= ,310解这个直角三角形.例题 3已知：如图，在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在 B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 D 点已知BAC60，DAE45点 D 到地面的垂直距离 ，求点 B 到m23E地面的垂直距离 BC例题 4如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为 3m，冬天太阳光与水平面的夹角为 30(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为 6 层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离 BD 至少为多少米?(保留根号)(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距
29、离 BD21m ，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?例题 5已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地 A 出发，沿北偏东 60方向走了 500到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m，到达m3目的地 C 点求(1)A、C 两地之间的距离；(2)确定目的地 C 在营地 A 的什么方向?例题 7已知：如图，在 1998 年特大洪水时期，要加固全长为 10000m 的河堤大堤高 5m，坝顶宽 4m，迎水坡和背水坡都是坡度为 11 的等腰梯形现要将大堤加高 1m，背水坡坡度改为 11.5已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方
30、米的土石?A BCDEOA BCDD BCA9三、巩固与应用： 1、若A 是锐角,且 sinA= ,则( ).43A. 00A30 0; B. 300A45 0; C. 450A60 0; D. 600A90 0.2、计算： sin450- cos600=_. cos300- tan600=_.21 3tan 2300+2sin600-tan450sin900-tan600+cos 2300=_.3已知：如图，在高 2m，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 米?(保留整数)4已知：如图，在半径为 R 的O 中，AOB2 ，OCAB 于 C点(1)求弦 AB 的长及弦心距；(2)求
31、O 的内接正 n 边形的边长 an 及边心距 rn5如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为 20cm，台阶面的宽为 30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为 12的斜坡，设原台阶的起点为 A，斜坡的起点为 C，求 AC 的长度(精确到 1cm)6要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角 一般要满 足 ， (如图 ).现有一个长 6m 的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙( 精确到 0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面 2.4 m 时，梯子与地面所成的角 等于多少(精确到 1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子 7如图所示，图中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图中 AB、BC 两段)，其中 CCBB3.2m结合图中所给的信息，求两段楼梯 AB 与 BC 的长度之和(结果保留到 0.1m)(参考数据：sin300.50，cos300.87，sin350.57，cos350.82)四、小结：将实际问题转化成数学模型，利用为直角三角形元素之间的关系解决实际问题解决五、作业：必做：课本习题 P78、79； 选做：作业精编相应练习.
