1、2018 届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三阶段性检测数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若 ， ，则 ( )MA=(1,3) MB=(1,7)12AB=A. B. C. D. (0,5) (1,2) (0,10) (2,4)【答案】B【解析】 2. 下列命题正确的是（ ）A. ，x0R sinx0+cosx0=2B. 函数 在点 处的切线斜率是 0f(x)=xex x=0C. 函数 的最大值为 ，无最小值y=2x+ 12x54D. 若 ，则a/b,b/c a
2、/c【答案】C【解析】对于 ， ， 不存在 ，故 错；对于 ，A x0 A B，即函数 在点 处的切线斜率是 ，故 错；对于 ，设 ，则f(x)=ex+xex,f(0)=1 f(x)=xex x=0 1 C 12x=t(t0)， ，故 对；对于 ，当 时， 与 位置不确定，故 错，故2x=1t2,y=t2+t+1=(t1)2+5454y(,54) D b=0 a c D选 C.3. 若把函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则 的y=cosx3sinx(0)6 最小值是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】 ，向左平移 可得函数， ， 所得到的图
3、象关于y=cosx3sinx=2cos(x+3) 6 y=2cos(x+6+3) 原点对称， ，当 时， 有最小值 ，故选 A.6+3=k+2 14. 已知 中， ， 分别为边 上的六等分点.设ABC C=900,AC=5,BC=12P1,P2,P3,P4,P5 CB，则 （ ）ai=CBAPi(i=1,2,3,4,5) a1+a2+a3+a4+a5=A. 180 B. 300 C. 360 D. 480【答案】C【解析】， ，故选 C.a2=48,a3=72,a4=96,a5=120a1+a2+a3+a4+a5=3605. 已知数列 是递增的等比数列，且 ，则 （ ）an a4a62a24+
4、a2a4=144 a5a3=A. 6 B. 8 C. 10 D. 12【答案】D【解析】 是递增的等比数列， 由 ， 可得 ，an a4a62a24+a2a4=144a5-a30 a522a3a5+a23=144，故选 D.(a3a5)2=144,a5a3=126. 已知向量 满足 ，则 的最大值是（ ）a,b |a+b|=4,|ab|=2 |a|b|A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】 ， ， 的最|a+b|=4,|ab|=2,|a+b|2+|ab|2=2|a|2+2|b|2=20,|a|2+|b|2=102|a|b| |a|b|5 |a|b|大值为 ，故选 C.57.
5、已知定义在 上的奇函数 满足 ，又 ，且当 时， 恒成立，则函数f(3)=0 g(x)=x2f(x) x0 g(x)0 g(x)0 g(x)因为 是奇函数，所以 也是奇函数， 时，函数 也是减函数，画出函数 g(x)=x2f(x) x0 f(x)=2cos2x(x+1)sin2x(x+1)2 x(1.1,1) f(x)a+1 a2 a+1 ， ,故选 B.cos=(a1)2+a2(a+1)22a(a1) =a24a2a(a1)=12(13a1) a2,10A. B. C. D. (,2017) (2017,0) (2017,2015) (,2018)【答案】C【解析】函数 是定义在 上的可导函
6、数，其导函数为 ，且有 ， ，即 f(x) (-,0) f(x) xf(x)0 F(x)=f(x)x3 f(x)x3=xx2f(x)3xf(x)x6 0， 在 是减函数，可得， ，即 ，F(x+2015)F(2)2 x2017又因为 定义在 ，所以 , 不等式f(x) (-,0) x+20150 (-2017,-2015)【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导
7、函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题根据，联想到函数 再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.F(x)=f(x)x3第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 我国古代数学著作九章算术有“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是依次等量减小的，则正中间一尺的重量为_【答案】3 斤【解析】由
8、题意可知，每斤的重量组成一个等差数列 ，首项为 ，则 ， 中间 尺的重量为an a1=2 a5=4 1斤，故答案为 斤.a3=a1+a52 =2+42 =3 3【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及等差数列的性质，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：将实际问题转化为数列问题14. 分别以边长为 1 的正方形 的顶点 为圆心，1 为半径作圆弧 ， 交于点 ，则曲边三角形ABCD B,C AC BD
9、 E的周长为_. ABE【答案】 1+2【解析】因为两圆半径都是 ，正方形边长也是 ，所以 为正三角形，圆心角 都是 ，弧 1 1 BCE EBC,ECB3 BE弧 ，所以由边三角形 周长是 ，故答案为 .=31=3,EBA=23=6, AE=61=6 ABC =1+3+6=1+2 1+215. 下表给出一个“三角形数阵”：18，14 18， ，38 316332已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第行第列的数为 ，则（ 1） _；（2）前 20 行中 这个数共出现了_次aij a83=14【答案】 (1). (2). 414【解析】观察“三角形数
10、阵” ，根据等差数列的通项公式可得第行第 个数为 ，再由等比数列的通项公式可1i8得第行第列的数为 ，所以 ，当 时，ai-j =i8(12)j1 a8-388(12)31=14 i=2,j=1;i=4,j=2;i=8,j=3;i=16,j=4共有 个位置出现 ，即前 20 行中 这个数共出现了 次，故答案为 ， .414 14 4 14416. 已知 是 外接圆的圆心，若 且 ，则 _O ABC A=3 cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO m=( 的角 所对边分别为 ，外接圆半径为，有 )ABC A,B,C a,b,casinA= bsinB= csinC=2r【答案】32
11、【解析】取 中点 ，则有 ，代入已知式子可得 ，由 ，AB D AO=AD+DOcosBsinCAB+cosCsinBAC=2m(AD+DO) DOAB可得 两边同乘 ，化简得：ODAB=0, AB，即 ，由正弦cosBsinCc2+cosCsinBbccosA=mc2定理化简可得 ，由 ，两边同时除以 得：cosBsinCsin2C+cosCsinBsinBsinCcosA=msin2C sinC0 sinC， cosB+cosAcosC=msinC m=cosB+cosAcosCsinC =cos(A+C)+cosAcosCsinC，故答案为 .32三、解答题 （本大题共 6 小题，共 7
12、0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在锐角 中， .ABC c=2, 3a=2csinA（1）若 的面积等于 ，求 ；ABC 3 a,b（2）求 的面积的取值范围 .ABC【答案】 （1） （2）a=2b=2 SABC(233, 3【解析】试题分析：（1）由 根据正弦定理可得 ，求得 ；，再利用3a=2csinA 3sinA=2sinCsinA sinC=32的面积等于 以及余弦定理列关于 的方程组， 解方程组即可得结果；（2）由正弦定理得ABC 3 a,b，根据 为锐角三角形，求得 的范围，利用三角函SABC=12absinC=43sinAsinB=233sin(2A
13、-6)+33 ABC 2A-6数的有界性求解即可.试题解析：(1) ，由正弦定理得 ，3a=2csinA 3sinA=2sinCsinA ， ，得 .sinA0 sinC=32，12absinC=34ab= 3 ab=4由 得 ，c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab a2+b2-ab=4所以由 解得 .ab=4a2+b2-ab=4 a=2b=2 （2）由正弦定理得 ，a=43sinA,b=43sinB .SABC=12absinC=43sinAsinB又 ， .A+B=23 SABC=43sinAsin(23-A)=233sin(2A-6)+33因为 为锐角三角形， ，ABC A
14、(6,2) .SABC(233, 318. 设数列 的前 项和为 ，且 .令 .an n Sn a1=1,2Sn=(n+1)an,nN* bn=2an1（1）求 的通项公式；bn（2）若 ，且数列 的前 项和为 ，求 .cn=bnlog2bn+1 cn n Tn Tn【答案】 （1） （2）an=n Tn=(n1)2n+1【解析】试题分析：（1）由 可得 ，两式相减可得 ，利用“累乘法”即2Sn=(n+1)an 2Sn-1=nan-1anan-1= nn-1可得 的通项公式，进而可求 的通项公式；（2）利用（1）可得数列 的通项公式,an bn cn,根据错位相减法可得结果.试题解析：（1）当
15、 时， 得n2 2an=2(Sn-Sn-1)=(n+1)an-nan-1anan-1= nn-1 .an=anan-1an-1an-2a2a1a1= nn-1n-1n-2211=n ， （ ） ， .a1=1 an=n nN* bn=2n（2） ，cn=bnlog2bn+1=2n-1log22n=n2n-1所以2Tn=2+222+(n-1)2n-1+n2n作差得 ，-Tn=1+2+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n .Tn=(n-1)2n+1【 方法点睛】本题主要考查由递推公式求数列的通项以及错位相减法求数列的的前 项和，属于中档题.n一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列
16、的前 项和时，可采用“错位相减法”求an bn anbn n和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后作差求解, 在写出“ ” 与“ ” 的表达式时应特bn Sn qSn别注意将两式“错项对齐” 以便下一步准确写出“ ”的表达式.SnqSn19. 某校高二（1）班学生为了筹措经费给班上购买课外读物，班委会成立了一个社会实践小组，决定利用暑假八月份（30 天计算）轮流换班去销售一种时令水果.在这 30 天内每斤水果的收入 （元）与时间（天）p的部分数据如下表所示，已知日销售 （斤）与时间（天）满足一次函数关系.Q（1）根据提供的图象和表格，下厨每斤水果的收入 （元）与时间（天）所满足的函数关
17、系式及日销售量p（斤）与时间（天）的一次函数关系； Q（2）用 （元）表示销售水果的日收入，写出 与的函数关系式，并求这 30 天中第几天日收入最大，最大y y值为多少元？【答案】 （1）见解析（2）在第十天时日收入最大，最大值为 90 元.【解析】试题分析：（1）可设 ，由线段 过点 ， 得 ；的值，p=k1t+b1,0t20k2t+b2,20t30 p1=k1t+b1 (0,2) (20,4) k1,b1由线段 过点 ， 得 的值，从而可得结果；（ 2）先求出销售水果的日收入的函数关p2=k2t+b2 (20,4) (30,3) k2,b2系式 ，利用二次函数分别判断出，两段函数的单调性，
18、利用单调性分别求出y=-110t2+2t+80,0t20110t2-10t+240,20t30 最大值，再比较大小即可.试题解析：（1）依题意可设 ，当 时，线段 过点 ， 得p=k1t+b1,0t20k2t+b2,20t30 0t20 p1=k1t+b1 (0,2) (20,4)；k1=110,b1=2当 时，线段 过点 ， 得 .20t30 p2=k2t+b2 (20,4) (30,3) k2=-110,b2=6所以 .p= 110t+2,0t20-110t+6,20t30 令 ，由表中数据得 ，所以 .m=-1,n=40 Q=-t+40(0t30)（2）由 得y=pQy=-110t2+2
19、t+80,0t20110t2-10t+240,20t30 当 时， 在 上的单调递增，在 上单调递减，所以当 时， 有最0t20 y1=-110t2+2t+80(0,10) (10,20) y1大值为 元；当 时， 在 上单调递减，所以 .20t30 y2=110t2-10t+240(20,30) y230,80)综合上述得：在第十天时日收入最大，最大值为 90 元.【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式及二次函数的最值，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题
20、意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者( 最小者).20. 已知 ， 分别为等差数列和等比数列， ， 的前 项和为 .函数 的导函数是 ，an bn a1b1 bn n Sn f(x)=14x2 f(x)有 ，且 是函数 的零点.an=f(n) x=a1,x=b1 y=6x35x2+x（1）求 的值；a1,b1（2）若数列 公差为 ，且点 ，当 时所有点都在指数函数 的图象上.an12 P(an,bn) nN* h(x)=ax请你求出 解析式，并证明： .h(x)=ax13
21、Sn12【答案】 （1） , （2）见解析a1=12【解析】试题分析：（1）求出 ，由 ，得 ，从而可得 ，求出函数f(x)=12x an=f(n) an=12n a1=12的零点，进而可得 的值；（2）根据（1） ，可求出等差数列列 的通项公式，由点y=6x3-5x2+x b1 an，当 时所有点都在指数函数 的图象上可得 ，即 ， 取特殊值列方程组P(an,bn) nN* h(x)=ax bn=aan 13qn-1=an2 n可求得 ，从而可得 ，利用等比数列的求和公式及放缩法可证明结论 .a=19 h(x)=(19)x试题解析：（1）由 得 ，又 ，所以f(x)=14x2 f(x)=12x an=f(n) an=12n .a1=12 的零点为 ，而 是 的零x=0,x=13,x=12 x=a1,x=b1 y=6x3-5x2+x点，又 是等比数列的首项，所以 ， ，b1 b10 a1b1 .b1=13（2） ，an=12+12(n-1)=n2令 的公比为 ，则 .bn q bn=13qn-1又 都在指数函数 的图象上，即 ，即 当 时恒成立，P1,P2,P3,Pn, h(x)=ax bn=aan 13qn-1=an2 nN*
