1、荆州中学 2018 届高三 4 月考文科数学试题考试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 若集合 ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 , .故选 C.2. 已知复数 ，则在复平面上对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】复数对应的点在复平面内的坐标为故选 D.3. 某商场在一天的促销活动中，对这天 9 时到 14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知 11 时至 12 时的销售额为 20 万元
2、，则 10 时到 11 时的销售额为（ ）A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元【答案】B【解析】组距相等频率之比即为销售额之比又10 时到 11 时的频率为 ，11 时到 12 时的频率为 0.410 时到 11 时的销售额为 （万元）.故选 B.4. 设 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】画出可行域如图所示：联立 ，解得 ，则 .表示可行域内的点 与 连线的斜率，从图像可以看出，经过点 时， 有最大值 .故选 B.点睛：本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的
3、一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：（1）截距型：形如 ，求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距 的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如 .5. 如图，半径为 的圆 内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为 ，这四个小圆都与圆 内切，且相邻两小圆外切，则在圆 内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设小圆的半径为，则大圆的半径为 ，阴影部分恰好合为三个小圆，面积为 ，大圆的面积为 .所求概率为故选 C.6. 张丘建算经卷上第 22 题为“今有女善织
4、，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈 ”其意思为：现有一善于织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，第 1 天织了 5 尺布，现在一月（按 30 天计算）共织 390 尺布，记该女子一月中的第 天所织布的尺数为 ，则 的值为（ ）A. 55 B. 52 C. 39 D. 26【答案】B【解析】因为从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，所以该女子每天织的布构成一个等差数列 ，其中 。所以。故选 B。【点睛】将每天织的布构成一个等差数列，根据条件求出公差，将要求的 a14+a15+a16+a17转化为公差与首项来求。7. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 1，
5、则所有输入 的取值的和是（ ）A. 0 B. C. 4 D. 6【答案】C【解析】程序框图表示函数 ，若函数值等于 1，则有 得 （舍）或得 ，由韦达定理得 .所有输入 的取值的和是 4故选 C.8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等腰三角形，则该几何体中的最长棱的长为（ ）A. B. C. 3 D. 【答案】C【解析】还原三视图可得，几何体为一个三棱锥，如图所示：其中 ， 平面 ，等腰三角形 的高为 ，则 ， .最长棱为故选 C.9. 设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答
6、案】C【解析】由 ，得 ，即 ，即 . ，即 .当 时，易得 .“ ”是“ ”的充要条件.故选 C.10. 已知函数 ，将函数 先向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位后，得到 的图象，关于 的说法，正确的是：A. 关于点 成中心对称 B. 关于直线 成轴对称C. 在 上单调递减 D. 在 上的最大值是 1【答案】D【解析】由题意， .对于 A，当 时， ，则 关于 轴对称，不关于 成中心对称，故错误； 对于 B，当 时， ，则 关于 成中心对称，不关于 成轴对称，故错误； 选项 C，D，当 时， ，从而 在 单调递增；于是 . 故选 D.点睛：由 的图象，利用图象变换作函数 的图象，要特别
7、注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿 轴的伸缩量的区别先平移变换再周期变换( 伸缩变换)，平移的量是 个单位；而先周期变换 (伸缩变换)再平移变换，平移的量是 个单位11. 已知 是椭圆 的左焦点，设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，则直线 （ 为原点）的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由椭圆方程 ，可求得 ，由 ，得 ，过 作 轴垂线与椭圆交于 ，则 在弧 上时，符合题意， 斜率的取值范围是 ，故答案为 ,故选 C.【方法点晴】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的斜率及圆锥曲线求范围，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何
8、意义，特别是用圆锥曲线的定义和几何性质来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法解答.12. 在三棱锥 中， ， ， 面 ，且在三角形 中，有 （其中为 的内角 所对的边） ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设该三棱锥外接球的半径为 .在三角形 中， （其中 为 的内角 所对的边）.根据正弦定理可得 ，即 .由正弦定理， ，得三角形 的外接圆的半径为 . 面该三棱锥外接球的表面积为故选 A.点睛：本题考查正弦定理解三角形及三棱锥外接球的表面积，解
9、答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用的方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，球心与截面圆心的连线垂直截面，同时球的半径，小圆的半径与球心到截面的距离满足勾股定理，求得球的半径，即可求得球的表面积.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知函数 （为自然对数的底数） ，则 在点 处的切线方程为_。【答案】【解析】函数又 ， 在点 处的切线方程为 ，即 .故答案为 .14. 已知向量 ， ， 的夹角为 ，则 _.【答案】2【解析】 ， 的夹角为故答案为
10、2.15. 若函数 为奇函数， ，则不等式 的解集为_。【答案】【解析】函数 为奇函数 ，即 ，当 时, ，解得 ；当 时, ，解得 .不等式 的解集为故答案为 .16. 已知双曲线 的左焦点为 ，圆 与双曲线的渐近线在第二象限相交于点（ 为坐标原点） ，若直线 的斜率为 ，则双曲线 的离心率为 _。【答案】【解析】双曲线 的左焦点为 ，且双曲线 的渐近线方程为 .圆 与双曲线的渐近线在第二象限相交于点联立 ，得 .直线 的斜率为 ，即 .故答案为 .点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从
11、而求出；构造 的齐次式，求出； 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解; 根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据直线 的斜率为可以找出 之间的关系，求出离心率三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 为必考题，每个考生都必须作答。第 22、23 题选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分17. 已知 的内角 所对的边分别为 ，且 .（1）求证：（2）若锐角 满足 ，且 ，求 的面积.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）根据正弦定理将 边化角，可得 ，再根据三角形三角关系，化简即可证明 ；（2）根据三角恒等变换可得 ，从而可
12、得 的值，再由余弦定理可得， ，即可求得 的面积.试题解析：（1）由正弦定理易得： ，从而，即： . ，即 . （2）.故 . 为锐角 . 由余弦定理，可得 ，从而 . 的面积为 18. 四棱锥 中， 交于点 ,且 ，。（1）若 为 中点，求证： 。（2）当三棱锥 的体积最大时，求三棱锥 的体积，并证明： 。【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由 ，推出 在 的垂直平分线上，同理 在 的垂直平分线上，从而推出 ，且 为 中点，再根据 ， 为 中点，即可推出 ，可证 ，即可证明 面 ；（2）根据 及 ，可推出当 与底面垂直时，三棱锥的体积最大，此时可证 ，从而证明 ，且可
13、算出 ，再根据，即可算出三棱锥 的体积.试题解析：（1）证明： 在 的垂直平分线上，同理 在 的垂直平分线上. 即为 的垂直平分线 ，且 为 中点 ， 为 中点三角形 中， （2）由题知 ，显然 .故当 与底面垂直时，三棱锥 的体积最大，此时可得 . ，此时 三棱锥 的体积为 2 19. 2017 年 11 月、12 月全国大范围流感爆发，为研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，一兴趣小组抄录了某医院 11 月到 12 月间的连续 6 个星期的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料:日期 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 第六周昼夜温差 x(C) 10 11 13 12 8 6
