1、课题： 立体几何中的向量方法求空间距离(1)【教学简案】课时：06课型：新授课教学目标：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题（1）点到平面的距离：1 （一般）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度；2还可以用等积法求距离；3向量法求点到平面的距离.在 中，PAORtsin|sinPd又 |iA（其中 为斜向量， 为法向量）|nPdn例：如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC 平面 ABCD，且 GC2，求点 B 到平面 EFG 的距离分析：由题设可知 CG、C
2、B、 CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系用向量法求解，就是求出过 B 且垂直于平面 EFG 的向量，它的长即为点 B 到平面 EFG 的距离解：如图，设 4i， 4j， 2k，CDCG以 i、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系 Cxyz由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0) ，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2) (2,0)BE， (4,20)BF，4G， E，,F设 M平面 EFG，M 为垂足，则 M、G、E、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数 a、b、c ，使得 BabcB(1)abc， (2,0)(4,20),
3、42)(2a+4 b,2b4c,2c) 由 平面 EFG，得 ， ，于是GE， FOPnAdOPnAdl (24,2)(,4)01abc整理得： ，解得15731abc10235cba BM(2a+4b,2b4c,2c) )6,2( 2|11故点 B 到平面 EFG 的距离为 说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了例 2：如图，在正方体 中，棱长为 1， 为 的中点，求下列问题：1DCBAE1DC（1） 求 到面 的距离；1E解：如图，建立空间直角坐标系 ，则xyz，设 为面 的法向量),10(),2(11 A),(zyxnBA1则 1zyxBnE取 ，得 ，x2,)2,1(n选点 到面 的斜向量为1EA0BA得点 到面 的距离为1B3|1ndABCD11EyzxABCD11Eyzx课后练习：1如图在直三棱柱 中， , ， ，求点1CBA190ACB21到面 的距离. B12.在三棱锥 中， 是边长为 4 的正三角形，平面 平面 ，黄肌ABCSSACB瘦 ， 、 分别为 、 的中点,求点 到平面 的距离.32MNABSMN教学反思:B1A1BC1ACSABCNMO
