1、荆州中学 2018 届高三 4 月考文科数学试题考试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、若集合 2lgxMxy， 1Nx，则 MNA. 0， B. 0， C. 2， D. 0，【答案】C2、已知复数 ，则 在复平面上对应的点在（ ）iz13zA、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限【答案】D所以对应的点在复平面内的坐标为 ，故选 D。1,3、某商场在一天的促销活动中，对这天 9 时到 14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知 11 时至 12 时的
2、销售额为20 万元，则 10 时到 11 时的销售额为（ ）A 万元 B 万元 C 万元 D 万元57.5810【答案】B4、设 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ,xy20xy2yx）A、1 B、 C、 D、451223【答案】B5、如图，半径为 的圆 内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为 ，这四个小圆都与圆 内RO,ABCO切，且相邻两小圆外切，则在圆 内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A、 B、 C、 D、342332432【答案】C【解析】设小圆的半径为 ，则大圆的半径为 ，r(1)r阴影部分恰好合为三个小圆，面积为 ，23大圆的面积为 ，2(1)()rr故所求概率为 .
3、326、 张丘建算经卷上第 22 题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈 ”其意思为：现有一善于织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，第 1 天织了 5 尺布，现在一月（按 30 天计算）共织 390 尺布，记该女子一月中的第 n天所织布的尺数为 na，则 41617a的值为（ ）A55 B52 C39 D26【答案】B7、执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 1，则所有输入 的取x值的和是（ ）A、0 B、 C、4 D、62【答案】C【解析】程序框图表示函数 ，若函数值等于 1，21(0)xy则有 得 （舍）或 得 ，由韦01x241x240x达定理
4、得 。故选 C。248、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等腰三角形，则该几何体中的最长棱的长为（ ）A、 B、 C、 3 D、5223【答案】C 9、设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则“ ”是“naqnnS1q”的（ ）42SA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C10、已知函数 ，将函数 先向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位后，()2sin()14fxx()fx4得到 的图象，关于 的说法，正确的是：()ggA、关于点 成中心对称 B、关于直线 成轴对称3,08 8xC、 在 上单调递减 D、 在 上的最大值是 1()gx,4()g0
5、,4【答案】D【解析】由题意， ()2sin()4x选项 A，当 时， ，则 关于 轴对称，不关于 成中心对称，错； 38x()2gx()gx383,08选项 B，当 时， ，则 关于 成中心对称，不关于 成轴对称，错； ()0(),0x选项 C，D，当 时， ，从而 在 单调递增；于是 ,4x2,4x()gx,4max()1g11、已知 是椭圆 的左焦点，设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，则直线 （F213yPFP3OP为原点）的斜率的取值范围是（ ）OA、 B C. D ,23,283,28,2【答案】C【解析】当 的斜率为 时， 点位于 或 的位置，当 的斜率趋近 时， 点趋近 或
6、 ，FP3P1/FPP2/因为 的坐标为 ， ，21,223OPk所以点 在弧 上运动（不含端点） ， 的范围为 ，P12 OPk3,2且点 还可在弧 上运动， 为正，由选项可以看出，C 正确。/1212、在三棱锥 中， ， ， 面 ，且在三角形 中，有AB3ABABCABC（其中 为 的内角 所对的边） ，则该三棱锥外接球的表面积为cos2cosab,abc,（ ）A、 B、 C、 D、402012203【答案】A【解析】由题可知， ，故可得 ,CabBcbac cosos)(os 321cosC由正弦定理， ，得三角形 的外接圆的半径为 ，32sinrAC3r又由 ， 2210PArR所以
7、其表面积为 ，故选 A4S二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、已知函数 （ 为自然对数的底数） ，则 在点 处的切线方程为lnxfxeyfx1,f。【答案】 1y【解析】 ， ，又 ，/lnxfxe/1fe1fe则切线方程为 ，即 。yyx14、已知向量 ， ， 的夹角为 ，则 .,ab2,ab23ab【答案】2【解析】 22415、若函数 为奇函数， ，则不等式 的解集为。1xaf ,0 axlnge1gx【答案】 ,0,e【解析】函数 为奇函数， ，即 ，21xaf0f1a ，,0 xlnge当 时,解 得： ，0l10,xe当 时,解 得： ，xxge,故不
8、等式 的解集为 。11,0,e16、已知双曲线 的左焦点为 ，圆 与双曲线的渐近线在第二2:,xyCabF22:Oxya象限相交于点 （ 为坐标原点） ，若直线 的斜率为 ，则双曲线 的离心率为。MOMbaC【答案】 2【解析】联立 ，得 ，2xyab2,abc所以 ，则 。22MFabck22 2abcaec三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 为必考题，每个考生都必须作答。第 22、23 题选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分17、 （本小题满分 12 分）已知 的内角 所对的边分别为 ，且 .ABC, ,abcos4c,2BCa（
9、1）求证： 4bc（2）若锐角 满足 ，且 ，求 的面积.sin()36A1A【解析】 （1）由正弦定理易得： ， 2 分cos4incosiCB从而 sinco4ii()sinCCBB即： ， sn由 可得 ，即： 5 分2ii4bc（2） 314sin()4si(ios)62AAA23iincocin2(s)3si()3故 ，由 为锐角，从而 . 8 分sin2)03AA由余弦定理，可得 10 分221cos1b从而 11 分,4sin3cSc故 的面积为 。 12 分ABC318、 （本小题满分 12 分）四棱锥 中， 交于点 ,且 ，PD,ABO4,3,2, APOBCDBA。EB3（
10、1）若 为 中点，求证： 。FOEFPC面（2）当三棱锥 的体积最大时，求三棱锥 的体积，并证明： 。BCDPEDEBDPAC面面 【解析】（1）证明： ， 在 的垂直平分线ABDB上，同理 在 的垂直平分线上C 即为 的垂直平分线A ，且 为 中点 2 分BDO ， 为 中点EP3F三角形 中， 31BD 4 分 CD面面 , 5 分EFP面（2）由题知 116233BCDpBCDpBCDpBCDVSdd面 面 面显然 pdA面故当 与底面垂直时，三棱锥 的体积最大，此时可得 7 分PPOPA ,A且 面 BDAC面 F面 9 分P面 面此时 8BCDV1334BCDEEBCDEPBCD P
11、PSd面 面面面 11 分24EPBCV三棱锥 的体积为 2。 12 分19、 （本小题满分 12 分）2017 年 11 月、12 月全国大范围流感爆发，为研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，一兴趣小组抄录了某医院 11 月到 12 月间的连续 6 个星期的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料:日期 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 第六周昼夜温差 x(C) 10 11 13 12 8 6就诊人数 y(个) 22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验
12、。()求选取的 2 组数据恰好是相邻两个星期的概率；()若选取的是第一周与第六周的两组数据，请根据第二周到第五周的 4 组数据,求出 关于 的线yx性回归方程 ybxa；()若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(参考公式: 1122(),nni iiii iiyxxybabx)参考数据： 2539681092， 22138498 【解析】()将连续六组数据分别记为 ，从六组中任意选取两组，其基本事件为：,ABCDEF。共 15 种情况。2 分, ,ABCDEAFB其中两组是相邻的为 ，共
13、5 种情况。,设抽到相邻两个星期的数据为事件 ，M则抽到相邻两个星期的数据的概率为 。 .4 分13P()由数据求得 1,24xy由公式求得87b再由307ab所以 y关于 x的线性回归方程为18307yx8 分()当 10时,57, 0|2|；同样, 当 6x时,8y, 17所以,该小组所得线性回归方程是理想的。 12 分20、 （本小题满分 12 分）已知动圆过定点 ，且在 轴上截得弦 的长为 4。2,0AyMN（1）求动圆圆心的轨迹 的方程；C（2）设 ，过点 斜率为 的直线 交轨迹 于 两点， 的延长线交轨迹,B0klC,PQ,B于 两点。C,ST若 的面积为 3，求 的值。PQk记直
14、线 的斜率为 ，证明： 为定值，并求出这个定值。STST【解析】 （1）设圆心 ，过点 作 轴，垂足为 ，,0CxyCEyE则 ， 。 2 分12MEN222CAMEC，化简为： ，22xyx24yx当 时，也满足上式，0所以动圆圆心的轨迹 的方程为 。 4 分C2（没有分 ， 的扣一分）x0（2）设直线 的方程为 ， ，lykx221,4yyPQ由 ，得 ， 5 分24yxk280， ， 6 分2163012124,yyk PQBSA，解得 。 8 分23k2k设 ，则 ， ，3,4yS1,4yBP231,4yBS因为 共线，所以 ，,2231310即 ，解得： （舍）或 ，231340yy
15、31y314y所以 ，同理 ， 10 分21,S24,T，12124STyykk故 （定值） 。 12 分STk21、 （本小题满分 12 分）已知函数 。2lnlaxfxkxaA（1）若 ，试判断 的零点的个数。0kf（2）若 恒成立，求 的取值范围。0fxk【解析】 （1）若 ， ，k2lnlafx/2axfx当 ， ， 单调递减；当 ， ， 单调递增。0,2ax/0ff ,/0ffx所以 ，min2lnl21ln0aff所以函数 的零点个数为 0。 4 分fx注：（求导 1 分，单调区间 1 分，最值 1 分，结论 1 分）（2）若 ，变形得到： 。2lnlaxf kaA2lnxakA令
16、 ，得到 。 6 分0xta2t设 ， ， 7 分2l1tgt/ 3ln1tg令 ， ，lnktt/lktt可得 在 上单调递增，在 上单调递减， 9 分0,11,所以 ，则 ，kt/0gt所以 在 上单调递减。 10 分g,当 ， ，所以 ，ttt所以 。 12 分0k（注：若令 ，得到 ，atx2lntk令 ， ，2lngt/1lgt，/1ttt所以在 上单调递减，在 上单调递增，0,1,所以 ，/gt即 在 上单调递增。,当 时， ，所以 ，0t0t0gt所以 。 ）0k（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22、选修 4-
17、4：坐标系与参数方程：（本小题满分 10 分）在直角坐标系 中，过点 的直线 的参数方程为 （ 为参数） 。以原点 为极xOy(1,2)Pl123xtyO点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 。x C4sin（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；l（2）若直线 与曲线 相交于 ， 两点，求 的值。MN1PN【解析】 （1）由已知得 ，消去 得 ，123xtyt23(1)yx即 ，320x所以直线 的普通方程为 ；2 分l3230xy曲线 ： 得 ，因为 ， ，所以 ，C4sin24sin22xysiny24xy整理得 ，所以曲线 的直角坐标方程为 ；5 分2()xy
18、C2()4（2）解法一：把直线 的参数方程 （ 为参数）代入曲线 的直角坐标方程中得： l123xtyC，即 ，2213()()4tt20t设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，则 ，8 分MN1t2123t所以 。10 分1P12PNt212112()4ttt 3解法二：作 于点 ，则圆心 到直线 的距离为 ；CQl0,C330lxy： 2CQ所以 ，22231QMC又因为 ，所以 ，1P2PCQ所以 ，132，PNQ所以 。121313M23、选修 4-5：不等式选讲：（本小题满分 10 分）已知函数 。()2fxx（1）求不等式 的解集；6（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。xR()fxaa【解析】 （1）当 时， ， ，故 ；24()646fx2x当 时， ， ，故 ；x()3fx3f 当 时， ， ，故 ；()x10x综上可知： 的解集为 ；5 分()6fx,210,)（2）由（1）知： ，4()3,1xf【解法一】如图所示：作出函数 的图象，()fx由图象知，当 时， ，解得：1x3a ，2a实数 的取值范围为 。10 分a(,2【解法二】当 时， 恒成立，24x ，4当 时， 恒成立， ，x32a当 时， 恒成立， ，1a综上，实数 的取值范围为 。(,2
