1、2018届河南省郑州市第一中学高三上学期入学考试数学（理）第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）6AxNn230BxRABA B C D3,45634,56036xx或2.已知 （ ） ，其中 为虚数单位，则 （ ）2aibi,aiabA-3 B-2 C-1 D13.每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生 3人，女生 2人，现需选出 2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的 2名志愿者性别相同的概率为（ ）A B C D35515104.中国古代数学著作算法统宗中
2、有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）A96 里 B48 里 C. 192 里 D24 里5.已知抛物线 与双曲线 （ ）的一个交点为 为抛物线的焦点，若 ，28xy21xa0a,MF5MF则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C. D530xy35xy45xy540xy6.如下程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法” ，执行该程序框图（图中“”表示 除以 的余数）
3、 ，若输入的 分别为 495，135，则输出的 （ ）mMODnn,mnmA0 B5 C. 45 D907. 的外接圆的圆心为 ，半径为 1， ，且 ，则向量 在向量 方CO2ABCOABCAB向上的投影为（ ）A B C. D12322328.已知 且满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）*,xyN125xyxyA1 B4 C.6 D79.定义运算： ，将函数 （ ）的图象向左平移 个单位，13a24123a3()1fxsinxco023所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值是（ ）A B C. D4574410.设曲线 （ ）上任一点 处切线斜率为 ，则函数 的部2()1cosfxmxR(
4、,)xy()gx2()yxg分图象要以为（ ）11.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（ ） （ 新 工 件 的 体 积材 料 利 用 率 原 工 件 的 体 积）A B C. D8916934(21)312()12.设函数 ，若关于 的方程 有四个不同的解 ，且21,0()logxfx()fa1234,x，则 的取值范围是（ ）1234xx12434xA B C. D(,)(,)3,)(3,第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.已知 是等差
5、数列 的前 项和，若 ，则数列 的公差为 nSna5410Sana14.已知 三点都在体积为 的球 的表面上，若 ， ，则球心 到平面,ABC03O43AB06CBO的距离为 15.已知曲线 在点 处的切线为 ，若 与曲线 相切，则 lnyx(1,)l2()1yaxa16.已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上一点（异于左、右顶点） ，12,F2yab(0)P过点 作 的角平分线交 轴于点 ，若 ，则该椭圆的离心率为 P12xM212F三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 的对边分别为 ，且满足 .ABC, ,abcco
6、s(2)cos()AaB（1）求角 的大小；（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.4b3ABC18. 已知某中学高三文科班学生共有 800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取 100人进行成绩抽样调查，先将 800人按 001，002，800 进行编号（1）如果从第 8行第 7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的 3个人的编号；（下面摘取了第 7行到第 9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 9
7、8 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54（2）抽取的 100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有 .201842若在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 的值：,ab数学人数优秀 良好 及格优秀 7 20 5良好 9 18 6地理及格 a4 b在地理成绩及格的学生中，已知 ， ，求数学成绩优秀的人数比
8、及格的人数少的概率.1a7b19. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， 平面PABCD12ACDB/ADCPC.ABCD（1）求证： 平面 ；BCPA（2）若 为线段 的中点，且过 三点的平面与线段 交于点 ，确定点 的位置，说明理M,CDMPBN由；并求三棱锥 的高.N20. 已知圆 关于直线 对称的圆为 .21:60xy1:2lyxC（1）求圆 的方程；C（2）过点 作直线 与圆 交于 两点， 是坐标原点，是否存在这样的直线 ，使得在平行四(,0)lC,ABOl边形 中 ？若存在，求出所有满足条件的直线 的方程；若不存在，请说明理由.OASBO l21. 已知函数 .2()ln(1)fxax
9、（1）讨论函数 的单调性；（2）当 时，证明：对任意的 ，有 .a(0,)x2ln()(1)xfa请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴xOyC1cosinxty x为极轴，建立极坐标系. .（1）求圆 的极坐标方程；（2）直线 的极坐标方程是 ，曲线 的极坐标方程为 ，其中 满足l2sin()241C00，曲线 与圆 的交点为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长.0tan1C,OPlQP23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .()2fx（
10、1）求不等式 的解集；1（2）若函数 的最小值为 ，且 （ ） ，求 的最小值.()()gxfxamna0,n41mn试卷答案一、选择题1-5:CABAB 6-10: CDBD 11、12：AD二、填空题13. 2 14. 3 15. 8 16. 2三、解答题17.（1） ， .cos(2)cos()bAaBcos(2)cosbAaB由正弦定理可得， ，ininC即 sin()scsB又角 为 内角， ， ，又 ， .CAi01co2B(0,)23B（2）有 ，得 .1sn32BSac4a又 2()16bc ，所以 周长为 .5acAC4518.解：（1）785，667，199.（2） ， ；
11、 .7930%a14a03(2184)(5617b .(25)(986)b因为 ， ，所以 的搭配：1a7,， ， ， ， ， ， ， ， ， ，(,20)(,9)(31)(47)(15,)(6,)(17,4)(8,3)(19,2)(0,1)， ， ， ，共有 14 种.2,8,设 ， 时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件 ， .1a7b A5ab事件 包括： ， ，共 2 个基本事件；A(,0)(1,9)，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为 .2()147P 214719.（1）证明：连接 ，在直角梯形 中， ，CABCDADC，所以 ，即 .2()2BCAD22B又 平面 ，
12、，又 ，故 平面 .PPPP（2） 为 的中点，N因为 为 的中点， 为 的中点，所以 ，且 .MAB/MNAB12AB又 ， ，所以 四点共面，/ABCD/MN,NCD所以点 为过 三点的平面与线段 交点., PB因为 平面 ， 为 的中点，所以 到平面 的距离 .PA12dBC又 ，所以 .11222ACMACSC233NCMV由题意可知，在直角三角形 中， ， ，2PA在直角三角形 中， ， ，所以 .PB22CMNS设三棱锥 的高为 ， ，解得ACNh123NACMNVh故三棱锥 的高为 220.解：（1）圆 化为标准为 .1C2(3)9xy设圆 的圆心 关于直线 的对称点为 ，则 ，
13、,01:lx(,)Cab1Ck且 的中点 在直线 上，1(,)2abM2y所以有 ，13()02ba解得 1b所以圆 的方程为 .C22()()9xy（2）由 ，所以四边形 为矩形，所以 ，OSABOASBOAB是使 ，必须使 ，即： .0120xy当直线 的斜率不存在时，可得直线 的方程 ，与圆l l22(1)()9Cxy交于两点 ， .(1,52)A(1,5)B因为 ，所以 ，所以当直线 的斜率不存在时，直线20O OABl满足条件.:lx当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 .l l(1)ykx设 ， ，1(,)Axy2(,)B由 ，得29()k22214)40xkxk由于点 在圆
14、内部，所以 恒成立.(,0)C22221,2()(1)4)kkkx，2124k214xk要使 ，必须使 ，即： ，OAB0AOB120xy也就是：22124*()1kkx整理得： .22224() 0kk解得： ，所以直线 的方程为 .1kl1yx存在直线 和 ，它们与圆 交于 两点，且四边形 对角线相等.x1yxC,ABOASB21.解：（1）由题知 （ ） ，2 ()afxx0x当 时，由 得 且 ，a(0f2(1)98a，1984()x2984()ax当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；a(f0,1(1,)当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；1)x2)2x当 时， 在 上单调
15、递增；98(f,当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.a)x2(0)1(,)x21(,)x（2）当 时，要证 在 上恒成立，12lnfa(0,只需证 在 上恒成立，lnl1xa(0,)令 ， ，()Fxl()ga因为 ，1易得 在 上递增，在 上递减，故()x0,(1,)()1Fx由 得 （ ）.lnga 22lngx0当 ， ；当 时， .xe()e()x所以 在 上递减，在 上递增.()0,(,所以 .1gxea又 ， ，即 ，1aemaxin()()Fg所以 在 上恒成立，lnl(1)xx0,故 时，对任意的 ， 恒成立.,l()(1)fxx22.（1）圆 的普通方程为 ，又 ，
16、 ，所以圆 的极坐标方程为C2(ycossinyC；2cos（2）设 为点 的极坐标，则有 ，解得1(,)P112costan125tan设 为点 的极坐标， ，解得 .2(,)Q22(sicsi)44tan 253tan由于 ，所以 ，所以线段 的长为12125PPQ5123.（1） ， 3,1()12,xfxx当 时， ，得 ，即 ；1x323x当 时， ，得 ，即 ；x012当 时， ，得 ，即 .12x323x123x综上，不等式的解集为 .(0,)（2）由条件得 ，当且仅当21(21)()2gxxx时，其最小值 ，即 .13,xamn又 ，4414149()(5)(52)222nmmn所以 的最小值为 ，当且仅当 ， 时等号成立.193
