1、1习题 10-1 二重积分的概念与性质1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1） 与 ，其中积分区域 是圆周 所围2()Dxyd3()DxydD22()(1)xy成；（2） 与 ，其中 是三角形闭区域，三顶点分别为 ，ln()Dxyd2ln()DxydD(1,0)， ；1,02.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1） ，其中 ；2sinDIxyd(,)|0,Dxyy（2） ，其中 .2(49)DIxyd 2(,)|4Dxy（3）. ，其中216DdIxy (,)|01,2Dxyy解 ，积分区域的面积等于 ，在 上 的最大值2,f2D,fx2，最小值104Mxy211,2534mx
2、y故 05I习题 10-2 二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1） ，其中 ；2()Dxyd(,)|1,|Dxy（2） ，其中 是顶点分别为 ， 和 的三角形闭区域。cos()DxydD(0,),(,)2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1） ，其中xyDed(,)|1xy3（2） ，其中 是由直线 ， 及 所围成的闭区域。2()DxydD2yx2y3.化二重积分 为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二(,)DIfxyd次积分） ，其中积分区域 是：（1）由直线 及抛物线 所围成的闭区域；24（2）由直线 ， 及双曲线 所围成的闭区域。yx21(0)yx44.求由曲面 及
3、 所围成的立体的体积。2zxy26zxy55.画出积分区域，把积分 表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域(,)Dfxyd是：D（1） ； 2(,)|xy（2） (,)|01,xyx66.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1） ；2320()xdfyd（2）210(,)xdfyd77.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1） ；2220()axdyd（2） 21120()xdyd88.利用极坐标计算下列各题：（1） ，其中 是由圆周 所围成的闭区域。2xyDed24xy（2） ，其中 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限内2ln(1)DxydD21xy的闭区域。9.选用适当的坐标
4、计算下列各题：（1） ，其中 是由直线 ， ， ， 所围2()DxydDyxay3a(0)成的闭区域。9（2） ，其中 是圆环形闭区域 . 2DxydD22(,)| xyayb（3）计算积分11224yyxxIdede解 211238yxxI习题 10-3 三重积分1.化三重积分 为三次积分，其中积分区域 分别是：(,)Ifyzd （1）由曲面 及平面 所围成的闭区域；2zx1（2）由曲面 及 所围成的闭区域；2zxy2zx102.计算 ，其中 是由曲面 及平面 ， 和 所围成的闭23xyzdzxyx10z区域。3.计算 ，其中 为球面 及三个坐标面所围成的在第一卦限xyzd221xyz内的闭
5、区域。114.计算 ，其中 是由锥面 与平面 所围成zdxy 2hzxyRzh(0,)R的闭区域。125.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1） ，其中 是由曲面 及 所围成的闭区域；zdv 2zxy2zxy13（2） ，其中 是由曲面 及平面 所围成的闭区域；2()xydv2xyz26.选用适当的坐标计算下列三重积分：（1） ，其中 是柱面 及平面 ， ， ， 所围成的xydv21xyz0x0y在第一卦限内的闭区域；（2） ，其中 是由曲面 及平面 所围成的闭区域；2()xydv2245()zxy5z147.计算 ，其中 是由 所围成。()xyzdv22,0xyzh解 由于 关于 坐标面都对称
6、，故,odvy原式 220xyhhxyDzdvzz22340 011h hdd8.求上、下分别为球面 和抛物面 所围成立体的体积。2xyz2zxy15习题 10-4 重积分的应用1.求球面 含在圆柱面 内部的那部分面积。22xyza2xya2.设薄片所占的闭区域 是介于两个圆 ， 之间的闭区Dcosacosb(0)ab域，求均匀薄片的质心：163.已知均匀矩形板（面密度为常量 ）的长和宽分别为 和 ，计算此矩形板对于通过其bh形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。4.设均匀柱体密度为 ，占有闭区域 ，求它对于位22(,)|,0xyzRzh于点 处的单位质量的质点的引力。0(,)Mah17复习题
7、十1.计算下列二重积分：（1） ，其中 是顶点分别为 ， ， 和 的梯形闭区()sinDxydD(0,)1,(,2)0,1域；（2） ，其中 是圆周 所围成的闭区域；22DRxydD2xyR18（3） ，其中 . 2(369)Dyxd 22(,)|DxyR2.交换下列二次积分的次序：（1） ；23010(,)(,)yydfxdfxd19（2） .210(,)xdfyd3.把积分 表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域(,)Dfxyd.2,|1,x4.计算下列三重积分：（1） ，其中 是两个球： 和2zdxy 22xyzR20的公共部分； 22xyzR(0)（2） ，其中 是由球面 所围成的闭区域；22ln(1)zxyzdv 221xyz5.求平面 被三坐标面所割出的有限部分的面积。1xyzabc216.计算积分 ，其中 为由 所围的区域.zdvyx)(22,zxyz解 由 24,zxyz积分区域 在 坐标面上的投影区域 ，o4:2yxDy用柱面坐标 0,2,2:rzr02/32)( rzddvyx 204381
