1、,15:35:17,1,王 淑 栋 办公室：J13-409 电话：88032786（H）, 15269283087 E-mail：,数 值 分 析 （Numerical Analysis）,15:35:17,2,第三章 函数逼近与计算,数 值 分 析 （Numerical Analysis）,一、问题的提出,称为逼近的误差或余项。,如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是 函数逼近要解决的问题？,1 引 言,用简单函数,近似地代替函数,近似代替又称为逼近，,称为被逼近函数，,两者之差,，是计算数学中,最基本的概念和方法之一。,称为逼近函数，,函数,15:35:17,3,二、函数逼近问题
2、的一般提法,对于函数类 中给定的函数 ，要求在另一类较简 单且便于计算的函数类,中寻找一个函数,，使,与,之差在某种度量意义下最小。,注：本章中所研究的函数类 通常为区间 上的连续函数，记作 。函数类 通常是代数多项式、分式有理函数或三角多项式。,15:35:17,4,区间a, b上的所有实连续函数组成一个空间，记作Ca, b 函数范数概念是n维欧氏空间中向量范数概念的推广， 在数值分析中起着重要作用.,三、常用的度量标准,1. 连续函数空间和函数范数,6,则称 是 (或 )上的一个向量范数(或模).,如果向量 (或 )的某,个实值函数 ，满足条件：,(向量范数),当且仅当,（正定条件）,（三
3、角不等式）,7,几种常用的向量范数.,1. 向量的 -范数(最大范数)：,2. 向量的1-范数：,3. 向量的2-范数,也称为向量 的欧氏范数.,4. 向量的 -范数,其中 .,8,函数 的范数，记为,(函数范数),当且仅当,（正定条件）,（三角不等式）,满足条件：,为任意实数,几种常用的函数范数.,1. 函数的 -范数(最大范数),2. 函数的2-范数,的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近。,2. 一致逼近,若以函数f (x)和P(x)的最大误差,作为度量误差 f (x) - P (x) “大小”的标准，,在这种意义下,15:35:17,10,3. 平方逼近,采用,作为度量误差“大小”标准的函数
4、逼近称为平方逼近或均方逼近。,15:35:17,11,2 最佳一致逼近,一、最佳一致逼近的概念,设函数,是区间,对于任意,，如果存在多项式,，使得不等式,则称多项式,在区间,上一致逼近(或均匀逼近)于函数 。,上的连续函数，,给定的,成立，,15:35:17,12,存在吗?,存在！定理3.1作保障！,所谓最佳一致逼近问题就是对给定区间,上的连续函数,，要求一个代数多项式, 使得,其中，,是次数不大于n的多项式集合。,称为最佳一致逼近多项式,15:35:17,13,二、最佳一致逼近多项式的存在性,【定理 1】（维尔斯特拉斯（Weierstrass）定理）若f (x)是区间a, b上的连续函数，则
5、对于任意 0， 总存在多项式 P (x)，使对一切a x b 有,15:35:17,14,上的最佳一致逼近,在,能否在所有次数不超过n的代数多项式中找到一个,是次数不大于n的多项式集合,空间中的最佳一致逼近问题。,意义下:,，使得,其中，,这就是,三、,15:35:17,15,3 最佳一致逼近多项式,一、最佳一致逼近多项式的存在性,【定理2】（Borel定理),对任意的,15:35:17,16,二、相关概念,1、偏差,上的偏差。,则称,为,与,在,注：,，,集合，记作,，它有下界0。,显然，,若,的全体组成一个,15:35:17,17,2、最小偏差,则称,若记集合的下确界为,为,在,上的最小偏
6、差。,15:35:17,18,3、偏差点,设,若在,上有,则称,是,的偏差点。,若,若,则称,则称,为“正”偏差点。,为“负”偏差点。,15:35:17,19,偏差点总是存在的吗?,4、交错点组,若在 上存在,使得,这样的点组称为Chebyshev交错点组。,15:35:17,20,个点,三、,上最佳一致逼近的特征,【引理3.1】,若 是 的最佳逼近多项式，则,同时存在正、负偏差点。,15:35:17,21,画图证明！,15:35:17,22,【定理 3】 （ Chebyshev定理）,在区间 至少有 个轮流为“正”、“负”的偏差点。即有 个点 使,15:35:17,23,是 的最佳逼近多项式
7、的充要条件是,只证充分性！,【推论1】,【推论2】,15:35:17,24,若 , 则在 中存在惟一的最佳逼近多项式,若 , 则其最佳逼近多项式 就是 一个Lagrange插值多项式。,反证法！,四、最佳一次逼近多项式,1、推导过程,设,，且,在,内不变号，,要求,在,上的最佳一次一致逼近多项式,由定理3，,在,上恰好有3个点构成的交错,且区间端点,属于这个交错点组，,点组，,设另一个交错点为,则,15:35:17,25,解得,即,即,15:35:17,26,2、几何意义,15:35:17,27,？,3、举例,求 在 上的最佳一次逼近多项式。,解：,由 可算出,故,解得,15:35:18,28
8、,由,得,于是得,的最佳一次逼近多项式为,故,误差限为,(*),在（*）式中若令 ，则可得一个求根的公式,29,4 最佳平方逼近,一、内积空间,1、权函数的定义,设 (x)定义在区间a, b上，如果具有下列性质：,(1) 对任意x a, b， (x) 0；非负函数,(2) 积分 存在，(n = 0, 1, 2, )；,(3) 对非负的连续函数g (x)， 若,则在(a, b)上g (x) 0。,称满足上述条件的 (x)为a, b上的权函数。,内积：设 ， (x)定义在区间a, b的权函数，积分,15:35:18,31,2、内积的定义和性质,称为函数 在a, b上的内积。,内积满足下列四条公理：
9、,（1）,（2）,32,c为常数;,（3）,（4）,当且仅当 时，,满足内积定义的函数空间称为内积空间。连续函数空间Ca, b上定义了内积就形成了一个内积空间,回忆向量内积的定义，比较向量内积和函数内积的异同！,3、Euclid范数及其性质,Euclid范数的定义,设,称为,的Euclid范数。,则称量,15:35:18,33,Euclid范数性质（定理4）,对于任何 下列结论成立：,（Cauchy-Schwarz不等式）,(三角不等式),(平行四边形定律),15:35:18,34,二、相关概念,1、距离,线性赋范空间中两元素 之间的距离为,连续函数空间 中， 与 的距离定义为,因此， 中两点
10、 与 之间的距离即为,也称为2-范数意义下的距离,15:35:18,35,2、正交,连续函数空间 中，设,则称f (x)与g (x)在a, b上带权 (x)正交。,进一步， 设在a, b上给定函数族 ，若满足条件,则称函数族 是a, b上带权 (x)的正交函数族。,若,15:35:18,36,特别地，当Ak 1时，则称该函数族为标准正交函数族。,若上述定义中的函数族为多项式函数族，则称之为a, b 上带权 (x)的正交多项式族。,并称 是 上,带权(x)的 次正交多项式。,15:35:18,37,【例】三角函数族 1，cosx, sinx, cos2x, sin2x, 就是区间 上的正交函数族
11、（权 ）,三、内积空间上的最佳平方逼近,1函数族的线性关系,【定义】,设函数 在区间 上连续，,如果关系式,当且仅当 时才成立，,函数在 上是线性无关的，否则称线性相关。,则称,15:35:18,38,是任意实数，则,并称 是生成集合的一个基底。,的全体是 的一个子集，记为,设 是 上线性无关的连,续函数,15:35:18,39,连续函数 在 上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式,【定理5】,其中,15:35:18,40,广义多项式,设函数族 ，线性无关，,则其有限项的线性组合,称为广义多项式。,15:35:18,41,四、函数的最佳平方逼近,1. 对于给定的函数,要求函数
12、,使,若这样的 存在，,中的最佳平方逼近函数。,则称为 在子集,特别地，若 是多项式，,则称,为,在,上的 次最佳平方逼近多项式。,15:35:18,42,求最佳平方逼近函数 的问题可归结为求它的系数 ， 使多元函数,取得极小值。,由于 是关于 的二次函数，故利用多元函数取得极值的必要条件，可得：,15:35:18,43,(k = 0, 1, 2, , n),得方程组：,15:35:18,44,如采用函数内积记号,方程组可以简写为：,15:35:18,45,写成矩阵形式为,法方程组！,15:35:18,46,由于0, 1, , n线性无关，故Gn 0，于是上述方程组存在唯一解 。,从而得到函数
13、f (x)在中，如果存在最佳平方逼近函数， 则必是,15:35:18,47,S*(x)一定是f(x)的最佳平方逼近函数吗？为什么？,平方误差为？,取k=xk, (x)=1, f(x)0,1, 求f(x)在0,1上的最佳平方逼近多项式S*(x),3、举例,求 在 中的一次最佳平方逼近多项式。,这是 上的最佳平方逼近问题， 。,解：,取,记,因为,且同样可求得,15:35:18,48,所以，关于,的法方程组为,解得,即,为,中对,的最佳平方逼近函数。,15:35:18,49,1、正交化手续,一般来说，当权函数 及区间 给定以后，可以由线性无关的幂函数族 利用正交化方法构造出正交多项式族,15:35
14、:18,50,5 正交多项式,2、正交多项式的性质,(1) 是最高次项系数为1的 次多项式.,(2) 任一 次多项式 均可表示为 的线性组合.,(3) 当 时, 且 与任一次数小于 的多项式正交.,15:35:18,51,(4) 递推性,其中,其中,15:35:18,52,且都在区间 内.,(5),设,是在,上带权,项式序列,的正交多,则,的,个根都是单重实根,15:35:18,53,Legendre(勒让德)多项式,(1)定义,多项式,称为n 次勒让德多项式(1814年Rodrigul（罗德利克）)。,15:35:18,54,3、常用的正交多项式,区间为-1,1,权函数 时，由 正交化得到的
15、多项式称为勒让德多项式。,15:35:18,55,因为 是2n次多项式，求n阶导数后得：,这样首项xn的系数是,所以最高项系数为1的勒让德多项式是,(2) 性质,性质1 正交性,勒让德多项式序列 是-1, 1上带权 的正交多项式序列。即：,15:35:18,56,性质2 奇偶性,当n为偶数时， 为偶函数；,当n为奇数时， 为奇函数。,15:35:18,57,性质3 在区间(-1, 1)内有n个不同的实零点,性质4 递推关系,相邻的三个勒让德多项式具有如下递推关系式：,15:35:18,58,根据递推公式，可依次计算P2(x), P3(x),性质5 在所有首项系数为1的 次多项式中，,多项式 在
16、 上与零的平方误差最小。,勒让德,证明：,设 是任意一个最高项系数为1的 次多项式，,它可表示为,于是,当且仅当,时等号才成立，,即当 时平方误差最小。,15:35:18,59,第一类切比雪夫多项式,(1)定义,15:35:18,60,区间为-1,1,权函数 时，由 正交化得到的多项式称为切比雪夫多项式（第一类）。,是多项式吗？,令 ，则,故Tn(x) 为关于 的 次代数多项式。,(2) 性质,性质1 正交性,切比雪夫多项式序列 Tn (x)是在区间-1, 1上带权,的正交多项式序列。,且,15:35:18,61,性质2 递推关系,相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：,由此可得：Tn(
17、x)的最高项系数是2n-1,且,性质3 在区间-1, 1上有 个不同的零点,15:35:18,63,性质4 只含x的偶次幂， 只含x的齐奇次幂,且,性质4 多项式 在 上与零的偏差最小。,15:35:19,64,定理3.7 在区间 上所有首项系数为1的 次多项式中， 与零的偏差最小，为 。,分析与最佳一致逼近多项式的关系！切比雪夫定理,【例】 利用定理3.7求 在-1,1上的最佳二次逼近多项式（自己看！）,其他常用的正交多项式,(1) 第二类Chebyshev(切比雪夫)多项式,第二类切比雪夫多项式的表达式为：,15:35:19,65,区间为-1,1,权函数 时，由 正交化得到的多项式称为切比
18、雪夫多项式（第二类）。, 相邻的三项具有递推关系式：,第二类切比雪夫多项式的性质：,15:35:19,66,(2) 拉盖尔(Laguerre)多项式,15:35:19,67,拉盖尔多项式的表达式为：,区间为 ,权函数 时，由 正交化得到的多项式称为拉盖尔多项式。, 是在区间0, +)上带权 的正交多项式序列。, 相邻的三项具有递推关系式：,拉盖尔多项式的性质：,15:35:19,68,(3) 埃尔米特(Hermite)多项式,为埃尔米特多项式。,15:35:19,69,区间为 , 权函数 时，由 正交化得到的多项式称为埃尔米特多项式。,埃尔米特多项式的表达式为：,的正交多项式序列。, 是区间(
19、-, +)上带权, 相邻的三项具有递推关系式：,埃尔米特多项式的性质：,15:35:19,70,6 函数按正交多项式展开,设,为,，其中,上带权,的正交多项式，,给定,若,为,在,上的 次最佳平方逼近多项式，,则由正交多项式的性质得：,即,15:35:19,71,若f(x)在Ca, b 上按正交多项式 展开，则,15:35:19,72,上式右端的级数称为广义Fourier级数，系数 广义Fourier系数,取函数 按Legendre多项式 展开的最佳平方逼近多项式 ，则,其中,平方误差为：,【例】,求,在,上的三次最佳平方逼近多项式。,解：,先计算,即,15:35:19,73,又：,所以得,所
20、以有,均方误差为,最大误差为,15:35:19,74,15:35:19,75,实验一,实验名称：插值算法编程与计算 实验目的： 学会Lagrange插值，Newton插值，Hermite插值和分段插值讨论插值的龙格现象，掌握分段插值的方法 学会Matlab提供的插值函数,15:35:19,76,实验任务：按照题目要求完成实验内容 写出相应的MATLAB程序 给出实验结果 对实验结果进行分析和讨论 写出相应的实验报告 实验步骤： 编写Lagrange 插值函数并调用函数进行计算，与教材计算结果进行比较分别用Lagrange 插值，分段线性插值和样条插值考察龙格现象，并绘图说明,7 曲线拟合的最小
21、二乘法,1.问题提出,已知测量数据：,要求简单函数,使得,总体上尽可能小。,称为“残差”,这种构造近似函数的方法称为曲线拟合；,合函数。,称为拟,77,注：,使,尽可能小的度量准则:,常见做法：,使 最小,较复杂,使 最小,不可导，求解困难,使 最小,15:35:19,78,线性拟合问题,|.|2 意义下的线性拟合,若记:,确定拟合函数,对于一组数据(xi, yi) (i =1, 2, , m) ，使得,达到极小，这里 n m。,15:35:19,79,则,15:35:19,80,记,则E 实际上是 c0, c1, , cn 的多元函数，在 E 的极值点处应有,15:35:19,81,于是，得
22、到关于c1,c2,cn的方程组,法方程组(或正规方程组),（8）,15:35:19,82,2、举例,给定 的一组数据,求拟合函数 。,解：,作图可知所有点都分布在一条直线的附近，即拟合函数 近似为一个线性函数，故可设,将数据带回，即可得拟合函数,15:35:19,83,15:35:19,84,3. 用正交函数作最小二乘拟合,给定,与正交函数系,可利用正交化手续进行构造,则最小二乘拟合函数为：,15:35:19,85,Tn (x) 在-1, 1上有n + 1个不同的极值点,使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。,切比雪夫多项式的极值性质,Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n
23、 = 1, 2, )。,15:35:19,86,在-1x 1上，在首项系数为1的一切n次多项式 中,与零的偏差最小，且其偏差为,即，对于任何 ， 有,该性质又被称为Chebyshev多项式的最小模性质.,注：,区间 上的最小零偏差多项式,15:35:19,87,(3)应用,多项式的降阶（最小零偏差问题）,在所有次数为 的多项式中求多项式 ,在给定的有界闭区间上与零的偏差最小。,使其,最小零偏差多项式问题。,这一问题被称为,不失一般性，可设 的首项系数为1，,有界闭区间为 .,所讨论的,对一般区间 ，,可先将 换为 ，,考虑 在 上的逼近 ，再将 换回 ，,得到 。,最后,15:35:19,88
24、,寻求最小零偏差多项式 的问题,求 的 次最佳一致逼近多项式的问题。,事实上等价于,即求 使其满足：,注：在 上首项系数为1的最小零偏差多项式为 。,15:35:19,89,设,为,上的,次多项式，,要求 在 上的不超过 次的最佳一,致逼近多项式 。,？,由于首项系数为1的 次Chebyshev多项式,无穷范数最小，,故有,于是,15:35:19,90,例1 设f(x)=4x42xx8x-5/2， |x|1. 求f(x)在-1,1中的3次最佳一致逼近元p3(x).,解 由f(x)的表达式可知b,首项系数为1的4次 Chebyshev多项式为T4(x)xx1/8. 由(1)式得 p3*(x)=f
25、(x)-4T4(x)=2xx8x-3.,注：对区间为a,b的情形，先作变换x=(b-a)t/2+(b+a)/2 (2) 然后对变量为t的多项式用(1)式求得pn(t)，然后再作(2)式的反变换得到a,b上的最佳一致逼近多项式.,15:35:19,91,近似最佳一致逼近多项式,设,且存在,阶连续导数,如何在 上确定互异的插值节点,使得 的 次插值多项式的余项最小？,15:35:19,92,由插值余项定理， 次插值多项式 的余项为,其中，,其估计式为：,15:35:19,93,因此，要使余项达到最小，只需使,尽可,能小。,是一个首项系数为1的 次多项式，,故由Chebyshev多项式的性质，,只要取,即可。,而,故只需取 为 次Chebyshev多项式的零点，,即,注意到,15:35:19,94,注：,15:35:19,95,
