1、人口模型在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特征往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是非常广泛的。从现在起，我们将向大家介绍一些很著名的微分方程模型，它们中，最简单，也是最直观的，就是人口模型。对于人口模型，我们向大家介绍两个模型。、MALTHUS模型世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后认为，在人口自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率）是常数。设时刻t的人口为（t），净相对增长率
2、为r，我们把（t）当作连续变量来考虑。按照Malthus的理论，在t到t+t时间内人口的增长量为,令t，则得到微分方程、,设t时人口为，即有,我们易求得微分方程在上面的初始条件下的解为,如果r0，上式则表明人口以指数规律无限增长。特别地，当t，我们将会有(t) , 这似乎不太可能。这个模型可以与世纪以前欧洲一些地区的统计资料很好地吻合，但是后来人们用它来与世纪的人口资料比较时却发现了相当大的差异。人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口比较符合指数模型，而同一血统的法国本士居民人口的增长却与指数模型大相径庭。分析表明，以上这些现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增
3、长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。因此，我们将对指数模型关于净增长率是常数的基本假设进行修改，以得到与实际情况相符合的某些结论。这个修改后的关于人口增长问题的数学模型就是我们现在称之为逻辑斯蒂模型（Logistic模型），这个数学模型与现有的人口增长数据能够充分吻合。下面，我们就简单地介绍一下修改后的人口增长的数学模型，即Logistic模型。,、Logistic模型荷兰生物数学家Verhulst引入常数m表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口，并假定增长率等于,即净增长率随着（t）的增加而减少。
4、当（t） m时，净增长率等于 零。这样，上面模型中的方程就变为,仍给出与Malthus模型相同的初始条件，即,则上面微分方程的解为,易看出，当t时，当（t） m。这个模型称为Logistic模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是Logistic模型的的图形。 你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。,捕鱼问题在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，会造成鱼量的急剧下降，势必影响日后鱼的总量。因此，我们希望在鱼的总量保持稳定的前提下，达到最大捕鱼量或者最多的经济效益。设时刻t鱼场中的鱼量为x(t)，鱼场资源条件所限制的x的最大值为xm，类似人口
5、模型中的Logistic模型，我们得到在无捕捞情况下的关于x(t)的微分方程,其中r为鱼量的自然增长。假设单位时间内捕捞量与渔场的鱼量成正比，捕捞率为K，则在有捕捞的情况下，x(t)应满足,我并不去求解上面的方程以了解x(t)的性质。下面我们介绍一种方法，可以利用上面的微分方程得到x(t)的平衡点，从而研究其稳定性。对于方程,我们把代数方程f(x)=0的的实根x0称为上面方程的平衡点。显然，x=x0是它的一个解。另外，在点x0附近，有,所以，若f(x0)x0时，dx/dt0，则x0是稳定的不平衡点。我们不难求出方程的平衡点为,若在上面的微分方程中，令,则易求得,根据上面关于平衡点的讨论易知，当
6、Kr时，上面所求的x0即为平衡的稳定点。换句话说，只要不是“竭泽而鱼”，Kr就是鱼业生产所必须遵守的基本条件。下面我们用图解法讨论在保持鱼量稳定的前提下，如何选取捕捞率使捕捞量最大。设,由上图可知，f1(x)在原点处的切线为y=rx，从而，当Kr时，曲线f1(x)与f2(x)必相交，其交点的横坐标为x0，也就是说，使渔场内捕鱼量保持稳定（Kr)即意味着曲线f1(x)与f2(x)必相交。由此不难看出，在所有与抛物线相交的直线中，选择过抛物线的顶点的直线将得到最大的捕捞量ym , 此时，稳定平衡点x0=xm/2，因此我们可得到,故我们得到结论：控制捕捞率r/2，或者说，控制使渔场内渔量保持在最大值
7、xm的一半时，就可保持鱼量稳定的条件下使捕捞量最大。下面我们还是在保持鱼场渔量稳定的前提下做进一步分析，如何使经济利润最大。设鱼的单价为p，设开支与捕捞率成正比，比例系数为c，则在保持鱼量稳定的条件下单位时间内捕捞利润是,请注意，上面我们所得到的式子,表示在Kr的条件下，渔场的稳定鱼量，从此式中，我们可以解出,将此式代入上面的第一个式子中，得,令(x0)=0，容易求得使(x0)最大的x0为,此时捕捞量为,3.3 新产品的推销与广告,1. 新产品推销模型 一种新产品问世，经营者自然要关心产品的卖出情况。下面我们根据两种不同的假设建立两种推销速度的模型。,广告模型,在当今这个信息社会中，广告在商品
8、推销中起着极其重要的作用。当生产者生产出一批产品后，下一步便去思考如何更快更多的卖出产品。由于广告的大众性和快捷性，其在促销活动中大受经营者的青睐。当然，经营者在利用广告这一手段时自然要关心：广告与促销到底有何关系，广告在不同时期的效果如何？,3.5 Van Meegeren 的艺术伪造品,在第二次世界大战末期，比利时解放后，德国战场安全部开始追捕纳粹同党。在与德国有业务往来的纪录中，他们发现一位银行家在拍卖17世纪荷兰著名画家Jan Vermeer的名画中曾充当过中间人。这位中间人后来承认，他担任过德国三流画家HA Van Meegeren的代理人。年月日Meegeren以通敌罪被逮捕。然而
9、，在年月日，Meegeren一口咬定，他从未拍卖过Jan Vermeer的名画，他声称这副画以及等四幅画都是他伪造的。同时伪造的还有世纪荷兰另一位画家de Hooghs的作品。为了证实这一切，他在狱中开始伪造Vermeer的画耶稣在学者中间。,当他的工作几乎要完成时，他获悉他可能以伪造罪被判刑。于是，他拒绝将他的画老化。为了解决这一问题，一个由著名化学家，物理学家和艺术史学家组成的国际调查小组受命调查此时。调查小组用X射线透视等现代手段来分析检验绘画所用的颜料，从而检验某些年代迹象。尽管Van Meegeren千方百计地去掩饰，专家调查小组还是在油画中发现了现代物质诸如钴蓝的痕迹。这样，伪造罪
10、成立。Van Meegeren也因此被判处一年徒刑。年月他在狱中心脏病发作死去。但是，许多人还是不相信 Emmaus的信徒们等名画是伪造的。他们的理由是，Van Meegeren在狱中快要完成的画耶稣在学者们中间的质量很差。调查小组解释说，由于Van Meegeren对他在艺术界的三流画家地位很不满，因此带着狂热的决心临摹了那副画。当他看到自己的“杰作未被识别而轻易出手后，他的决心也随之消失了。,下面， 我们需了解一些颜料方面的知识。画家曾用白铅作颜料已有年的历史了，而白铅中含有少量的铅和更少的镭。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿石中提炼出来的。在铅矿中铅210和镭226本是处在
11、放射平衡中，而在上述提取过程中，铅210随铅金属被提取出来，不过，90%-95%的镭以及它的派生物都随着炉渣中的废物排出了，从图3 6可以看出，铅210的提取物都被排掉了。为了使镭226与铅210 在达到放射平衡，铅210开始迅速衰减，其半衰期为22年。,为了使模型简化，我们作如下假定： （1）由图36可知，镭的半衰期为1600年，而我们只对300年这一段时间感兴趣，所以每分钟镭的衰变数可以近似看作常数。 (2)铅210的衰变大致为,观众厅地面的升起曲线,我们在影剧院看电影时，经常为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上看，如果场内地面不做成前高后低的坡度，那么，前面的观众
12、必然会遮挡住后面的视线。这样说来，地面坡度曲线应该如何设计呢？, 问题的假设与提出,我们先从观众厅纵剖面图入手，求出中轴线上地面的坡度升起曲线，这样，可以得到整个观众厅地面等高线。首先，做如下假设： （1） 同一排的席位在同一等高线上。 （2） 每个坐在席位上的观众的眼睛距地面都是一样高的。 (3)每个坐在席位上的观众的头与地面距离也相等，另外，我们所设计的曲线只要使观众的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过即可。, 总结与讨论,3.7 作战模型,混合型常规游击战 抛物律,3.8 地中海鲨鱼问题,20世纪20年代中期，意大利生物学家Umberto DAncona偶然注意到第一次世界大战期间在原
13、南斯拉夫的里耶卡港，人们捕获的鱼类中，鲨鱼等软骨鱼的百分比大量增加（见表3-2），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降。显然，战争使捕鱼量下降，食用鱼应该增加，鲨鱼等软骨鱼也随之增加，但为何其比例大幅度增加呢？,交通管理问题在交通十字路口，都会设置红绿灯，为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段黄灯。对于一位驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样进退两难的境地：要安全停车则离路口太近；而要想在红灯之前通过路口又得离路口太远。那么，一个问题就来了，黄灯应该亮起多长时间才最为合适呢？对于驶近交叉路口的驾驶员，在他看到黄色信号后要做出决定：是
14、停车还是通过路口。如果他以法定速度（或低于法定速度）行驶，当决定停车时，他必须有足够的停车距离。当决定通过路口时，他又必须有足够的时间使得他又完全能够通过路口，这当然包括作出停车决定的反应时间以及通过停车所需的最短距离的驾驶时间。能够很快看到黄灯的；驾驶员可以利用刹车距离将车停下。于是，黄灯状态应该持续的时间包括驾驶员的反应时间，他通过交叉路口的时间以及通过刹车距离所需要的时间。如果法定速度为v0，交叉路口的宽度为，典型的车身长度为。考虑到车通过路口实际上指的是车的尾部必须通过路口，因此，通过的时间为(I+L)/v0.现在我们来计算一下刹车距离。设为汽车重量，为按摩系数，显然，地面对汽车的按摩力为，其方向与汽车的运动方向相反。汽车在 停车过程中，行驶的距离x与时间t的关系右由下面的微分方程,求得，其中g为重力加速度.我们给出上面方程的初始条件,于是，刹车距离就是直到速度v=0时汽车所行驶的距离。首先，我们先求出上面微分方程的通解。将上面的方程从到t积分，再利用初始条件，得,在x(0)=0的条件下对上式从0到t进行积分，得,注意到dx/dt=0，得到刹车所用的时间为,从而得到,下面我们计算一下黄灯状态时间,其中是驾驶员的反应时间，于是,如果将与v0的图象描述出来，则大致如下图所示。,交通堵塞问题,
