1、 第一讲 二次函数的定义知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次cbaxy,(2)0ayx函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为 0考点：二次函数的二次项系数不为 0，且二次函数的表达式必须为整式例 1、 函数 y=（m 2） x 2m2x1 是二次函数，则 m= 例 2、 下列函数中是二次函数的有（ ） y=x x； y=3 （x1） 22；y= （x3） 22x 2；y= 21xxA1 个 B2 个 C 3 个 D4 个例 3、已知函数 y=ax2bxc（其中 a，b，c 是常数） ，当 a
2、 时，是二次函数；当 a ，b 时，是一次函数；当 a ，b ，c 时，是正比例函数例 4、某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套据市场调查发现，这种服装每提高 1 元售价，销量就减少 5 套，如果商场将售价定为 x，请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表达式例 5 、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，P 是 BC 边上一点，QP AP 交 DC 于 Q，如果 BP=x，ADQ 的面积为 y，用含 x 的代数式表示 y例 6已知：如图，在 RtABC 中，C=90，BC=4，AC=8点 D 在斜边 AB 上，分别作DEAC，DF BC，垂足分别为
3、E、F ，得四边形 DECF设 DE=x，DF=y （1）AE 用含 y 的代数式表示为： AE= ；（2）求 y 与 x 之间的函数表达式，并求出 x 的取值范围；（3）设四边形 DECF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式第二讲 抛物线图像及性质知识点归纳：考点一、作图“三步取”：一般地，二次函数图像的作法和一次函数及反比例函数图像的作法过程相同，都是三步：列表、描点、连线。规律技巧：列表时注意以 0 为中心，对称取值（一般取 3-4 组值） 。观察图像，可得抛物线的开口方向、对称轴。例 1（1）作二次函数 y=x 和 y=-x2 的图象2抛物线 y=x2 y=-x2对称轴顶点
4、坐标开口方向位置增减性最值（2）作二次函数 y=2x +1 和 y=2 x -1 的图象22（3）作二次函数 y=（x+1 ） 和 y=（-x-1） 2 的图像2考点二、求抛物线的顶点、对称轴的方法1）公式法： ，顶点是 ，对称轴是直线abcxacbaxy4222 ），（ abc422.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( ,bx khxyh)，对称轴是直线 .khx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.考点三、次函数的图象及性质：（1）二次函数 y=
5、ax2 (a0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是 y 轴；当 a0 时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当 a0 时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大（2）二次函数 的图象是一条对称轴平行 y 轴或者与 y 轴重合的抛物线顶点为（ ，cbxy 2b） ，对称轴 x= ；当 a0 时，抛物线开口向上，图象有最低点，且 x ，y 随 x 的增大而增大，4acb2 2bax ，y 随 x 的增大而减小；当 a0 时，抛物线开口向下，图象有最高点，且 x ，y 随 x 的增大而2减小，x ，y 随 x 的增大而增大a（3）当 a0 时，当 x= 时，函数有最小值 ；当 a
6、0 时，当 xx= 时，函数有最大值2ba24cb2ba24acb考点四、图象的平移：左加右减，上加下减将二次函数 y=ax2 (a0）的图象进行平移，可得到 y=ax2c ，y=a(xh) 2，y=a(xh) 2k 的图象 将 y=ax2 的图象向上(c0）或向下(c0)或向下(k0,b0,c0 B.a0,b0,c=0C.a0,b0,b 0 Bb -2aCa-b+c 0 Dc0； a+b+c 0 a-b+c 0 b 2-4acbc，且 abc0，则它的图象可能是图所示的( )6二次函数 yax 2bxc 的图象如图 5 所示，那么 abc，b 24ac， 2ab，abc 1 xAyO1 xB
7、yO1xCyO1xDyO四个代数式中，值为正数的有( )A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个7.二次函数 y=ax2bxc 与一次函数 y=axc 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）8、在同一坐标系中，函数 y=ax2bx 与 y= xb的图象大致是图中的（ ）9.已知抛物线 yax 2bxc(a0)的图象如图所示，则下列结论： a，b 同号； 当 x1 和 x3 时，函数值相同； 4ab0; 当 y2 时，x 的值只能取 0；其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D411.已知二次函数 yax 2bxc 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线 yaxbc 不经过（
8、）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限12、二次函数 的图象如图，下列判断错误的是 （ ）)0(2abxA B C D0a0c042acb13、 二次函数 cy2的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）Aa0Bc 0C b420D a 0第 13 题图yxO 11第四讲 函数解析式的求法例一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式 y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1已知二次函数的图象经过 A（0，3） 、B（1，3） 、C（1，1）三点，求该二次函数的解析式。2已知抛物线过 A（1，0）和 B（4，0）两点，交 y 轴于 C 点且 BC5，求该二次函数的解析式。
9、例二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(xh) 2+k 求解。3已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，6） ，且经过点（2，8） ，求该二次函数的解析式。4已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，3） ，且经过点 P（2，0）点，求二次函数的解析式。例三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式 y=a(xx 1)(xx 2)。5二次函数的图象经过 A（1，0） ，B（3，0） ，函数有最小值8，求该二次函数的解析式。6抛物线 y=2x2+bx+c 与 x 轴交于（2，0） 、 （3，0） ，则该二次函数的解析式 。例 4、 一
10、次函数 y=2x3，与二次函数 y=ax2bxc 的图象交于 A（m，5）和 B（3，n）两点，且当 x=3 时，抛物线取得最值为 9（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随 x 的增大而增大（4）当 x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？例 5、 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图中的抛物线表示 （1）写出图中表示的市场售价与时间的函数表达式 P=f（t） ，写出图中表示的种植成本与
11、时间函数表达式 Q=g（t） ；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/10 2kg，时间单位：天）第五讲 二次函数的交点问题考点一：二次函数与一元二次方程的关系：二次函数 （ ，当 y=0 时，二次函数cbxay2)0a就变成了一元二次方程 ，因为 x 轴可以用 y=0 表示，所以cbxay2 02cbxa的根就是二次函数 与 x 轴交点的横坐标。0y考点二：直线与抛物线的交点（1）抛物线与 轴的交点x点 二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程cbxay2x1x2的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况
12、可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：02cbax有两个交点 抛物线与 轴相交；有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.0（2）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 的knyl 02acbyG解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; 方程组只有一组解时 与 只有一lGl个交点；方程组无解时 与 没有交点.lG例 1、已知抛物线 yx 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，且它的顶点为 P，求ABP 的面积例 2、如图，直线
13、经过 A（3，0） ，B（0，3）两点，且与二次函数 y=x21 的图象，在第一象限内相交于点C求：（1）AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点 A、B 组成的三角形的面积例 3、.如图，抛物线 经过直线 与坐标轴的两个交点2yxbc3yxA、B，此抛物线与 轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使 ： 5 ：4 的点 P 的坐标。APSCD例 4、已知抛物线 y= x2+x- 15（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长例 5、已知抛物线 y=mx2（32m）xm2（m0）与 x 轴有两个不同的交点（1）求 m 的取值范围；（2）判断点 P（1，1）是否在抛物线上；（3）当 m=1 时，求抛物线的顶点 Q 及 P 点关于抛物线的对称轴对称的点 P的坐标，并过 P、Q、P 三点，画出抛物线草图例 6已知二次函数 y=x2（m3）xm 的图象是抛物线，如图 2-8-10（1）试求 m 为何值时，抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 3？ （2）当 m 为何值时，方程 x2（m3）xm=0 的两个根均为负数？ （3）设抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交点 P、Q，求当 PQ 最短时MPQ 的面积
