1、 网址： 地址：东莞市东城区御景大厦 512 室 电话：0769-33399808 第 1 页 共 8 页二次函数的复习讲义资料知识点 1.二次函数的定义1、一般地，如果 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数且 a0） ，那么 y 叫做 x 的二次函数，它是关于自变量的 次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据2、当 b=c=0 时，二次函数 y=ax2是最简单的二次函数练习（1）下列函数中，二次函数的是（ ）Ay=ax 2+bx+c B。 C。 D。y=x(x 1) 2)1()(xxy xy12练习（2）如果函数 是二次函数，那么 m 的值为
2、3(2m知识点 2.二次函数的图像及性质1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。（1） 、二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合) 轴的抛物线.cbxay2 y（ 2） 、 二次函数 ，当 时 抛 物 线 开 口 向 上 顶 点 为 其 最 低 点 ；0a当 时 抛 物 线 开 口 向 下 顶 点 为 其 最 高 点（3） 、对于 y=ax2+bx+c 而言，其顶点坐标为（ ，） 对于 y=a（xh） 2+k 而言其顶点坐标为（ ， ） 。 二 次 函 数 用
3、配 方 法 或 公 式 法 （ 求 h 时 可 用 代 入 法 ） 可 化 成 ：cbxy2的 形 式 ， 其 中 h= ,k= khxay2)(练习（）抛物线 的图象的开口方向是_, 顶点坐标是_ _.182xy练习（）若抛物线 的最低点在 轴上，则 的值为 23)(2mxm（4） 、二次函数 的对称轴为直线 x= ba运用抛物线的对称性求对称轴，由于cbxay2抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点 A（m,n） 、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线 x= 2pm练习（）已知 、 是抛物线 上
4、位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，AB243yx则点 、 的坐标可能是_ （写出一对即可）（5）增减性：二次函数 的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增cba2减性）网址： 地址：东莞市东城区御景大厦 512 室 电话：0769-33399808 第 2 页 共 8 页若 ， 当 x 时 （ 在对称轴 侧） ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ， 当 x 时 （ 在对称轴 0a侧） ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 若 ， 当 x 时 （ 在对称轴 侧） ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ， 当 x 0a时 （ 在对称轴 侧） ， y 随 x 的 增 大
5、而 减 小 ，练习（）已知抛物线 （ 0）的对称轴为直线 ，且经过点 21y， ， ， ，2bc1x试比较 和 的大小： _ （填“” ， “0 时，函数有最 值，并且当 x= 时，y 最 值= ；当 al C l D lm练习（12） 、若二次函数 y=ax2+bx+c 的 x 与 y 的部分对应值如下表：X -7 -6 -5 -4 -3 -2y -27 -13 -3 3 5 3则当 x=1 时，y 的值为 （可用多种解法）特性函数网址： 地址：东莞市东城区御景大厦 512 室 电话：0769-33399808 第 3 页 共 8 页2、画二次函数的图象：首先将一般式化为顶点式画对称轴确定顶
6、点确定与 y 轴交点关于对称轴对称的点确定与 x 轴的交点或另选一组较简的对称点连线练习（13）已知二次函数 .画出它的图象215yx3、抛物线的平移、对称、旋转：首先化二次函数的解析式为顶点式，抓住关键点顶点的变化，顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的形状大小完a全相同，只是顶点的位置不同.反之，若几条抛物线的形状大小相同，则二次项系数 的绝对值a相同。抛物线的平移、对称、旋转过程中， 的值不变。a 抛物线 y=ax2+bx+C 向上平移 n（n0）个单位后的解析式 y= 抛物线 y=ax2+bx+C 向左平移 n（n0）个单位后的解析式 y= 抛物线
7、 y=ax2+bx+c 关于 X 轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理） 抛物线 y=ax2+bx+c 关于 Y 轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）练习（14）将抛物线 23xy绕原点按顺时针方向旋转 180后，再分别向下、向右平移 1 个单位，此时该抛物线的解析式为（ ）A. 1)(32xy B. 1)(2 C. 1)(32xy D. )(32xy二次函数 的图像向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到函数图像的解析cb式为 ，则 与 分别等于（ ）2xyA、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、1
8、4网址： 地址：东莞市东城区御景大厦 512 室 电话：0769-33399808 第 4 页 共 8 页4、抛物线 y=ax2+bx+c 的位置与参数 a、b、c 及相关特殊代数式的符号的关系：a 的符号判别-开口向上 a 0；开口向下 a 0；c 的符号判别-由抛物线的与 Y 轴的交点来确定：若交点在 y 轴的正半轴 c 0； 若交点在 y 轴的负半轴 c 0；若交点在原点 c 0；b 的符号由对称轴来确定：（左同右异)对称轴在 Y 轴的左侧 a、b 同号； 对称轴在 Y 轴的右侧 a、b 异号。a+b+c 的符号由 x=1 时的点的位置决定;ab+c 的符号由 x=1 时的点的位置决定点
9、（1，a+b+c）在 x 轴上方 a+b+c 0 点（1，a+b+c）在 x 轴下方 a+b+c 0点（-1 ，a-b+c）在 x 轴上方 a-b+c 0 点（-1，a-b+c）在 x 轴下方 a-b+c 0b+2a 的符号由对称轴与 1 的大小关系确定；b2a 或 2a-b 的符号由对称轴与-1 的大小关系确定的符号由抛物线与 x 轴的交点个数确定0 0=1 2轴 有抛 物 线 与 x练习（16）已知二次函数的图像如图所示，下列结论：a+b+c0 a-b+c0 abc 0 b=2a 其中正确的结论的个数是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4知识点 3：确定二次函数的解析式1、二次函数解析式常
10、用的有三种形式：(1) 当已知抛物线上任意三点（题设中直接或间接给出）时，通常设一般式 yax 2bxc 形式。(2)当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式 ya(xh) 2k 形式。(3) 当已知抛物线与 x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式 ya(xx1)(xx2)练习（17）有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为 ，且 是 x 的二次函数，已知输入值为 ,0, 时, 相应的输出值分别为 5, , 此二次函数的解析式是_ 2134练习（18）抛物线与 x 轴一个交点的横坐标为2，顶点为(2,8),它的关系式为 练习（19）直线 交 轴于 A 点，交 轴于 B 点
11、，过 A、B 两点的抛物线交 轴于另一点3yy xC（3,0）. 抛物线的解析式为 练习（20）已知抛物线 经过点（0，3） ，请你确定一个 b 的值，使该抛物线与 x 轴2yxbc-1 1y网址： 地址：东莞市东城区御景大厦 512 室 电话：0769-33399808 第 5 页 共 8 页的一个交点在(1，0) 和(3，0) 之间你所确定的 b 的值是 练习（21）抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表：2yaxbcxyx 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 你能得到抛物线的哪些特征？（至少写出四条）解析式是什么？知识点 4：二次函数与一元二次方程1、二次函数与一元二
12、次方程的关系：(1) 二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的值等于 m 的自变量 x 的值就是一元二次方程 ax2+bx+c=m(即ax2+bx+c-m=0)的解。反过来,解方程 ax2+bx+c=0(a0)又看作已知二次函数 y=ax2+bx+c 值为 0 时求自变量 x 的值.(2)二 次 函 数 的 图 象 与 轴 的 交 点 的 横 坐 标 就 是 一 元 二 次 方 程 的cbxay2x 2cbxa根 二次函数 y=ax2+bx+c(a0)与一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的关系.一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的情况 二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交
13、点情况b2-4ac0 有两个不相等的根 有两个不同的交点b2-4ac=0 有两相等的根 只有惟一的一个交点b2-4ac0,则 m 的取值范围是( )A.m ; B.m ; C.m ; D.m14141414练习（26）已知关于 x 的函数 y（m1）x 22xm 图像与坐标轴有且只有 2 个交点，则 m 练习（26）已知抛物线 的图象与 x 轴有两个交点为 ，且2 ),0(1x，m= 521x练习（27）已知抛物线 yx 2mxm2. （1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB ，试求 m 的值；5（2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称
14、的两点 M、N，并且 MNC 的面积等于 27，试求 m 的值.练习（28）如图，抛物线的对称轴是直线 x=1，它与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，点A、C 的坐标分别是（-1，0） （0，1.5）（1）求此抛物线的函数关系式。（2）若点 P 是此抛物线上位于 x 轴上方的一个动点，求三角形 ABP 面积的最大值。（3）问：此抛物线位于 x 轴的下方是否存在一点 Q， ，使ABQ 的面积与ABP 的面积相等？如果有，求出该点坐标，如果没有请说明理由。网址： 地址：东莞市东城区御景大厦 512 室 电话：0769-33399808 第 7 页 共 8 页知识点 5：二次函数的
15、应用：1、解决实际问题时的基本思路：(1)分析理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)设谁为自变量 x，谁为函数 y， ，找到变量间的相等关系，用函数表达式表示出 y 与 x 之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等2、二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值，运用二次函数的性质求实际问题的最大为自变量， “什么”要设为函数；（2）问题的求解依靠方配法或最值公式，而不是解方程。值或最小值的一般步骤 :（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法
16、或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。（）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。练习（29）某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200 元时，房间可以住满当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用设每个房间每天的定价增加 元求：x（1）房间每天的入住量 （间）关于 （元）的函数关系式 yx（2）该宾馆每天的房间收费 p（元）关于 （元）的函数关系式 （3）该宾馆客房部每天的利润 （元）关于 （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多w少元时， 有最大值？
17、最大值是多少？ w网址： 地址：东莞市东城区御景大厦 512 室 电话：0769-33399808 第 8 页 共 8 页3、利用二次函数的关系式求解实际问题的一般步骤:(1).建立适当的直角系,并将已知条件转化为点的坐标(2).合理设出所求的函数的表达式,并代入已知条件或点的坐标 ,求出关系式, (3).利用关系式，解决相关问题抛物线 与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点左侧） ，直线 与抛物线交于 A、C 两点，其23yx l中 C 点的横坐标为 2。 （1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于
18、 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（2011 广东东莞，15，6 分）已知抛物线 与 x 轴没有交点 (1)求 c 的取值范围；21yxc(2)试确定直线 ycx+l 经过的象限，并说明理由（2010 年广东省深圳市）22 （本题 9 分）如图 9，抛物线 yax 2c（a0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上，其中 A（2,0 ） ，B（1, 3） （1）求抛物线的解析式；（3 分）（2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和最小时，求此时点 M 坐标；（2 分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点 P 使 SPAD 4S ABM 成立，求点 P 的坐标 （4 分）
