1、第 4 章 连通性重要知识点本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间41 连通空间本节重点: 掌握连通与不连通的定义 .掌握如何证明一个集合的连通与否?掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。我们先通过直观的方式考察一个例子在实数空间 R 中的两个区间（0，l ）和1，2） ，尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U l，2）（0，2）却是一个“整体” ；而另外两个区间（0，1）和（1，2） ，它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分” 产生上述不同情形的原因在于，对于前一
2、种情形，区间（0，l）有一个凝聚点 1 在1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形定义 411 设 A 和 B 是拓扑空间 X 中的两个子集如果)()(则称子集 A 和 B 是隔离的明显地，定义中的条件等价于 和 同时成立，也就是说，AB与 B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点应用这一术语我们就可以说，在实数空间 R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和1，2) 不是隔离的又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的定义 412 设
3、X 是一个拓扑空间如果 X 中有两个非空的隔离子集 A 和 B 使得X=AB，则称 X 是一个不连通空间；否则，则称 X 是一个连通空间显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间定理 411 设 X 是一个拓扑空间则下列条件等价：（l）X 是一个不连通空间；（2）X 中存在着两个非空的闭子集 A 和 B 使得 AB= 和 AB X 成立；（3） X 中存在着两个非空的开子集 A 和 B 使得 AB= 和 AB X 成立；（4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集证明（l）蕴涵（2）: 设（1）成立令 A 和 B 是 X 中的两个非空的隔离子集使得ABX，显然 AB
4、= ，并且这时我们有)()()(因此 B 是 X 中的一个闭子集；同理 A 也是一个 X 中的一个闭子集这证明了集合 A 和 B满足条件（2）中的要求（2）蕴涵（3） 如果 X 的子集 A 和 B 满足条件（2）中的要求，所以 A、B 为闭集，则由于这时有 AB /和 B= ，因此 A、B 也是开集，所以 A 和 B 也满足条件（3）中的要求（3）蕴涵（4） 如果 X 的子集 A 和 B 满足条件（3）中的要求，所以 A、B 是开集，则由 A 和 B= 易见 A 和 B 都是 X 中的闭集，因此 A、B 是 X 中既开又闭的真B（A、B ，AB=X，A 、BX ）子集，所以条件（4）成立（4）
5、蕴涵（l） 设 X 中有一个既开又闭的非空真子集 A令 B= 则 A 和 B 都是X 中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得 AB=X易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己） 因此（l）成立例 4. 11 有理数集 Q 作为实数空间 R 的子空间是一个不连通空间这是因为对于任何一个无理数 rR-Q，集合（-，r ）Q （，rQ 是子空间 Q 中的一个既开又闭的非空真子集定理 412 实数空间 R 是一个连通空间证明 我们用反证法来证明这个定理假设实数空间 R 是不连通空间则根据定理 411，在 R 中有两个非空闭集 A 和 B使得 AB= 和 AB R 成立任意选取 aA 和
6、 bB ，不失一般性可设 ab令=A a,b，和 =Ba,b于是 和 是 R 中的两个非空闭集分别包含 a 和 b，并且B使得 = 和 =a，b成立集合 有上界 b，故有上确界，设为 由于是一个闭集，所以 ，并且因此可见 b，因为 b 将导致 b ，而这AbAAB与 = 矛盾因此（ ，b 由于 是一个闭集，所以 这又导致BB ，也与 = 矛盾b定义 413 设 Y 是拓扑空间 X 的一个子集如果 Y 作为 X 的子空间是一个连通空间，则称 Y 是 X 的一个连通子集；否则，称 Y 是 X 的一个不连通子集拓扑空间 X 的子集 Y 是否是连通的，按照定义只与子空间 Y 的拓扑有关(即 Y 的连通
7、与否与 X 的连通与否没有关系 .)因此，如果 ，则 Y 是 X 的连通子集当且仅Z当 Y 是 Z 的连通子集这一点后面要经常用到定理 413 设 Y 是拓扑空间 X 的一个子集，A，B Y则 A 和 B 是子空间 Y 中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间 X 中的隔离子集因此，Y 是 X 的一个不连通子集当且仅当存在 Y 中的两个非空隔离子集 A 和 B 使得ABY(定义)当且仅当存在 X 中的两个非空隔离子集 A 和 B 使得 ABY证明 因为 )()()()()()( CBCCAXXXXYY 因此根据隔离子集的定义可见定理成立定理 414 设 Y 是拓扑空间 X 中的一个连通子集如果 X
8、中有隔离子集 A 和 B 使得 Y A U B，则或者 Y A，或者 Y B证明 如果 A 和 B 是 X 中的隔离子集使得 Y AUB，则)()( )ABYYA这说明 AY 和 BY 也是隔离子集然而（AY）（BY ）（A B ）Y Y因此根据定理 413，集合 AY 和 BY 中必有一个是空集如果 AY= ，据上式立即可见 Y B，如果 B Y ，同理可见 Y A定理 415 设 Y 是拓扑空间 X 的一个连通子集， Z X 满足条件 则 YZZ 也是 X 的一个连通子集证明 假设 Z 是 X 中的一个不连通子集根据定理 413，在 X 中有非空隔离子集 A 和 B 使得 Z=AB 因此
9、Y AUB由于 Y 是连通的，根据定理 414，或者 Y A， BBAZ或者 Y B,同理, 。这两种情形都与假设矛盾定理 416 设 是拓扑空间 X 的连通子集构成的一个子集族如果Y，则 是 X 的一个连通子集证明 设 A 和 B 是 X 中的两个隔离子集，使得 ，AB任意选取 xY，不失一般性，设 xA 对于每一个 ，由于 连通，根据定理 4. 1 Y 4，或者 或者 ；由于 x A ，所以 Y 根据定理 4 1 3，这就证明了 是连通BA Y的定理 417 设 Y 是拓扑空间 X 中的一个子集如果对于任意 x，y Y 存在 X 中的一个连通子集 使得 x，y Y，则 Y 是 X 中的一个
10、连通子集yxy证明 如果 Y= ，显然 Y 是连通的下设 Y ,任意选取 a Y，容易验证 Y 并且 a 应用定理 416，可见 Y 是连通的xyayY我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见22） 所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其它概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质由于同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是
11、拓扑不变性质拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质由于拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质以下定理 418 指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映射下保持不变的性质因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质定理 418 设 f: XY 是从连通空间 X 到拓扑空间 Y 的一个连续映射则 f（X）是 Y 的一个连通子集证明 如果 f（X）是 Y 的一个不连通子集，则存在 Y 的非空隔离子集 A 和 B 使得f（X）A B于是 （A）和 （B）是 X 的非空子
12、集，并且1f1f )()( )(1 1111f fff Af所以 （A）和 （B）是 X 的非空隔离子集此外，1f（A） （B） （AB ）= (f(X)=Xf1f1f1f这说明 X 不连通与定理假设矛盾拓扑空间的某种性质 P 称为有限可积性质，如果任意 n0 个拓扑空间都具有性质 p，蕴涵着积空间 也具有性质 pn,.21 X.21例如，容易直接证明，如果拓扑空间 都是离散空间（平庸空间） ，则积空n,间 也是离散空间（平庸空间） ，因此我们可以说拓扑空间的离散性和平nX.21庸性都是有限可积性质根据定理 329 以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质 p 是一个拓扑不变性质为
13、了证明性质 p 是一个有限可积性质我们只要证明任何两个具有性质 p的拓扑空间的积空间也是具有性质 p 的拓扑空间定理 419 设 是 n 个连通空间则积空间 也是连通X,.21 nX.21空间证明 根据前一段中的说明，我们只要对于 n=2 的情形加以证明首先我们指出：如果 两个点有一个坐标相同，则212121),(),( Xyx有一个连通子集同时包含 x 和 y21X不失一般性，设 1x定义映射 k： 使得对于任何 有 22X2Xz),()21zxk由于是取常值 的映射，121:Xp1x为恒同映射，k它们都是连续映射，其中 分别是 到第 1 和第 2 个坐标空间的投21,p21X射因此，k 是
14、一个连续映射根据定理 418，k( )是连通的此外易见，因此它同时包含 x 和 y212)(Xx现在来证明： 中任何两个点 同时属于1 212121),(),( Xy的某一个连通子集这是因为这时若令 ，则根据前段结论，21 xz可见有 的一个连通子集 同时包含 x 和 z，也有 的一个连通子集 同X1Y212Y时包含 y 和 z由于 z ，所以根据定理 41. 6， 是连通的，它同时包含 x21Y和 y于是应用定理 417 可见 是一个连通空间21X由于 n 维欧氏空间 是 n 个实数空间 R 的笛卡儿积，而实数空间 R 又是一个连通空R间，所以应用这个定理可见，n 维欧氏空间 是一个连通空间
15、n作业: P.116 3. 5. 6. 8. 14.42 连通性的某些简单应用本节重点: 掌握实数空间 R 中的连通子集的”形状”掌握实数空间 R 的子集中常见的连通子集与不连通子集.掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.让我们回忆实数集合 R 中区间的精确定义： R 的子集 E 称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果 a，bE，a b，则有a，b=xR | axb E读者熟知，实数集合 R 中的区间共有以下九类：（-，） ， （a，） ， a，） ， （-，a） ，(-， a（a，b） ， （a，b ， a ，b） ， a，b因为，一方面以上九类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果
16、 E R 是一个区间，可视 E 有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E，而将 E 归入以上九类之一在定理 412 中我们证明了实数空间 R 是一个连通空间由于区间（a，） ，（，a）和（a ，b）都同胚于 R（请读者自己写出必要的同胚映射） ，所以这些区间也都是连通的；由于),(,(),),( ( babaa根据定理 415 可见区间a，） ， （，a，a，b） ， （a，b 和a，b都是连通的另一方面，假设 E 是 R 的一个子集，并且它包含着不少于两个点如果 E 不是一个区间，则 , 也就是说,存在 a0,当 i 时有 B(x,(x,y)/3)1N1ix对于
17、B(y,(x,y)/3),存在 0,当 i 时有 B(y,(x,y)/3)22i取 N=max , ,则当 iN 时有 B(x,(x,y)/3)B(y,(x,y)/3)12ix与 B(x,(x,y)/3)B(y,(x,y)/3)= .矛盾3.设 X 是一个拓扑空间,B 是一个基,xX,则Bx=BB|xB是点 x 处的一个邻域基.见 P.82 定理 2.6.74.在欧氏平面 R2 中令 Y=(0,y)|yR(x,0)|xR, 证明:Y 与实数空间R 不同胚.(提示:用反证法)证:设 Y 与实数空间 R 同胚.则仍有 Y-0,0与 R-0同胚.但 Y-0,0有四个连通分支,而 R-0却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的,得到矛盾.所以 Y 与实数空间 R 不同胚.5.设 f:X Y 的连续映射,X 为道路连通空间 ,则 f(X)也为道路连通空间.见 P.129 定理 4.5.2
